卢恩双, 宋世德, 郭满才
(西北农林科技大学 生命科学学院, 陕西 杨陵 712100)
[ 摘 要 ] 通过理论和实例着重论述了二次回归通用旋转设计中试验次数、设计的正交性、回归系数的计算
及回归系数间的相关性等, 说明了在应用通用旋转设计与二次正交设计上的不同, 并指出了在进行回归系数显著
性检验时需要注意的问题。
1 应用通用回归旋转设计的几个问题
1. 1 试验次数和臂 二次回归通用旋转设计与二次回归正交设计和 二次回归正交旋转设计一样都是组合设计。 设计次 数 n 由 3 部分组成: 即 n = m c+ m r+ m 0。m c 是析因 试验次数, m r 是在星号臂上进行的试验次数, m 0 是 在试验区域的中心点进行的试验次数。 在回归设计 中, 确定了自变量数和试验是全实施还是半实施等, m c 和 m r 就已经确定。 当设计选为二次回归正交设 计时, m 0 可以自由选定, 当 m 0 取定后 n 就确定了; 在这个设计中, 根据试验要满足正交性来计算星号
计与通用旋转设计的结构矩阵 (分别为 X 1 和 X 2)。
设响应变量
yδ =
b0 +
b1z 1 +
b2z 2 +
b12z 12 +
b11z
2 1
+
b22
z
2 2
式中, b0, b1, …, b22, 为回归系数, z 1, z 2 分别是自变量
x 1, x 2 的规范变量。
z0
z1
z2
z 1z 2
表 1 因素水平编码表 T ab le 1 Codes of the facto r levels
zj
上星号臂水平 (1. 682) L evel of upp er astrisk arm 上水平 (1) U pp er level 零水平 (0) Zero level 下水平 (- 1) L ow er level 下星号臂水平 (- 1. 682) L evel of low er astrisk arm ∃ j
致性。 因此, 在分析通用回归旋转设计的试验结果 时, 不可直接由 bjj 的大小判断各二次项作用的大 小, 也不能如正交设计一样, 任意去掉某个二次项,
而不改变其余回归系数。也正由于此, 在正交旋转设 计中, 回归系数的计算与显著性的检验都很容易。如
回归系数的计算公式为
b0 =
B0 16
,
bj =
Bj 8
,
bij =
B ij 4
,
bjj =
Bj 6
j
,
j = 1,
2。 而 在 通 用 旋 转 设 计 中: b0=
1 5
B
0
-
1 10
(B
11 +
B
22 ) ,
bj =Leabharlann 1 8Bj,
b12 =
1 4
B
12 ,
b11 =
-
1 10B
0
+
23 160B
11
+
3 160B
22
=
-
1 10B
0
+
20 160B
臂 r: r2=
(m c+ 2p + m 0)m c - m c。但当设计选用正 2
交旋转和通用旋转设计时, r 根据设计的旋转要求
确定: r= 4m c。 在这 2 个设计中, n 都是事先确定 的, m 0 不可以自由选定, 前者根据满足正交性条件 而定, 后者根据满足通用性条件而定, 这里计算公式
设系数 (信息) 矩阵 A = X TX , 由最小二乘法得
b= A - 1 B , B = (B 0, B 1, B 2, B 12, B 11, B 22 ) T , B 0 =
n
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ y i, B j =
z ij y i, B kj =
z ik z ij y i, B j j =
- Q 剩, 回归系数的显著性检验也不同, 这里不再一
一介绍。
2 实 例
以建立黄土高原春大豆综合农艺措施数学模型 为例, 采用 4 因子 (1 2 实施) 二次回归通用旋转组 合设计, 对影响陕北黄土高原春大豆产量最主要的 种植密度 (x 1)、施氮量 (x 2)、施磷量 (x 3)、施有机肥 量 (x 4) 等 4 项农艺措施进行田间试验, 以期建立黄 土高原春大豆综合农艺措施的数学模型, 优选最佳 农艺措施组合方案, 为提高大豆产量提供科学依 据[3 ]。 2. 1 确定变量变化范围及编码
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 15
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 16
Ξ [ 收稿日期 ] 2002204205 [ 作者简介 ] 卢恩双 (1952- ) , 男, 陕西南郑人, 副教授, 主要从事应用数学的研究。
第5期
卢恩双等: 回归通用旋转设计的几个问题
111
z0
z1
z2
z 1z 2
余平方和 (Q 剩= S S T - U , S S T 为总平方和) , 而在通
n
p
∑ ∑ 用旋转设计中要先计算Q 剩=
y
2 i
-
b0B 0-
bjB j
i= 1
j= 1
p- 1 p
p
∑ ∑ ∑ - E
bk jB k j -
bjjB jj , 然后再计算 U = S S T
k= 1 j= k+ 1
j= 1
较繁, 不再给出, 但都有现成的表可查[1]。
1. 2 设计的正交性和回归系数计算及其显著性检验
在通用旋转设计中, 为达到精度的一致性是以
牺牲部分的正交性为代价的, 因此回归系数的计算
及其显著性检验以及分析变量的重要性等, 都与二
次回归正交设计和二次回归正交旋转设计不同, 应
特别注意。下面以 p = 2 为例, 比较回归正交旋转设
归方程检验 F 在 0. 05 水平上显著, 说明试验所选 分 析 结 果 作 参 考, 本 试 验 所 建 立 模 型 中 的 x 1x 3,
因子对黄土高原春大豆产量有显著影响。 回归系数 x 1x 4, x 2x 3, x 2x 4 的交互作用较 x 1x 2, x 3x 4 大, 但都在
0 4 500
2. 3 回归方程与拟合度及回归方程显著性检验
各 bj 与交互项、平方项的回归系数间都是不相关
由计算回归系数公式可得回归方程: yδ= 1 056. 902- 3. 097z 1+ 106. 190z 2+ 89. 665z 3+
的, 因此, 可以由回归系数绝对值的大小来直接比较 各因素一次项对大豆产量的影响。 这里 x 2> x 3> x 4
X 1= 1 0 - 1. 414 0 - 0. 5 1. 5 8
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 9
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 10
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 11
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 12
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 13
10
0
0 - 0. 5 - 0. 5 14
x1 (株·hm - 2)
135 000
120 000 97 500 75 000 60 000 22 500
x2 (kg·hm - 2)
150
120 75 30 0 45
x3 (kg·hm - 2)
150
120 75 30 0 45
x4 (kg·hm - 2)
15 000
12 000 7 500 3 000
112
西北农林科技大学学报 (自然科学版)
第 30 卷
播种, 小区面积为 13. 34 m 2, 锄地 4 次, 1991210210 温 为 3 349 ℃, 试 验 安 排 及 试 验 结 果 见 参 考 文 献 收 获, 单 收 单 打, 风 干 称 重, 大 豆 生 育 期 降 雨 [ 3 ]。 390. 3 mm , 前期降雨偏多, 后期旱象严重, 生育期积
z ′ij y i
i= 1
i= 1
i= 1
i= 1
n
∑ (对 X 1) 或B j j =
z
2 ij
y
i
(
对
X
2
)
。称
A
-
1为相关矩阵,
i= 1
它正好是回归系数的相关阵。
A
1
1=
d iag (1
16, 1
8, 1
8, 1
4, 1
6, 1
6)
1 5
0
0
0
-
1 10
-
1 10
0
1 8
0
0
0
0
0
A
2
1=
0
1 8
z
′ 1
z
′ 2
11
1
1 0. 5 0. 5 1
11
- 1 - 1 0. 5 0. 5 2
1 -1
1 - 1 0. 5 0. 5 3
1 -1
- 1 1 0. 5 0. 5 4
1 1. 414
0
0 1. 5 - 0. 5 5
1 - 1. 414 0
0 1. 5 - 0. 5 6
10
1. 414 0 - 0. 5 1. 5 7
0
0
0
0
0
0
1 4