在3个变量情况下，二次回归模型为：
3
3
y xxxxx oo
jj
ij i j
2
ij j ij
j 1
ipj
j 1
y x x x x x x x x x x 即 0 1 2 2 3 3 1 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 3 1 1 2 1
x x 2 2 2 2 3 3 2 3
第九章 回归的旋转设计
本章内容：
§1 旋转设计的基本原理 §2 二次正交旋转组合设计及其统计分析 §3 通用旋转组合设计及其统计分析
本章学习目的与要求：
1. 2. 3.
.
§1 旋转设计的基本原理
1.1 回归设计的旋转性
§1 旋转设计的基本原理
“回归的正交设计” 具有试验处理数比较少，计算简便，消除了回归 系数之间的相关性等优点。但它也存在一定的缺点，即二次回归预测y 值 的方差随试验点在因子空间的位置不同而呈现较大的差异。由于误差的干 扰，就不易根据预测值寻找最优区域。为了克服这个缺点，人们通过进一 步研究，提出了回归的旋转设计（whirly design）。
。实际操作上主要借助于组合设计来实现。因为组合设计中 N 个试验
点 N ＝ mc+mγ +m0 ，分布在3个半径不相等的球面上。即
mc个点分布在半径
c
m 的球面上；
mγ个点分布在半
的球面上；
因此，采m用0个组点合分设布计在选半取径的试0 验 0点的，球完面全上能；够满足非退化条件式(13－
x xx 事实上只要
4
j
3
2
i
2
j
求出
γ
值就行了。
在组合设计下，当 mc＝2m （全实施）时，则前式变为
2m2432m
解此方程，即可建立全实施时 γ 值的计算式，即
m
24
(13－31)
同理
m2 2 当
m 1（ 1实 施 ）
c
2
m 1 4
m2 2 当
m 2（ 1实 施 ）
c
4
m 2 4
m2 2 当
30) ，即信息矩阵 A 不会退化。此外，采用组合设计，其信息矩阵 A 的
元素中
xj xixj x 2ixj0
而它的偶次方元素
x2 i
mc2
2
x4 i
mc2
4
均不等于零，完全符合式(13－29)的.要求。
x x m 2 2
i j
c
§1 旋转设计的基本原理
为了获得旋转设计方案，还必须根据旋转性条件式(13－29)确定 γ 值，
此外，为了使旋转设计成为可能，还必须使信息矩阵 A 不退化（满秩）。 为此，必须有不等式
4
2
m m
2
2
(13－30)
式 (13－30) 就是 m 元二次旋转设计的非退化条件。已经证明，只要使 N 个试验点不在同一个球面上，就能满足非退化条件。
最简单的情况是把 N 个试验点分布在 2 个或 3 个半径不等的球面上。如 m0 个点分布在半径为 0 的球面上（即在中心点重复 m0 次试验），另外 m1 ＝N－m0 个点均匀分布在半径为 ρ (ρ≠0)的球面上。
旋转性对试验设计有什么要求以及获得旋转性必须满足哪
些基本条件。首先必须明确的是：在旋转设计中，试验处
理的预测值
y
的方差仅与因素空间中从试验点到试验中心
的距离 ρ 有关而与方向无关，从而克服了通常因为不知道
最优点在什么方向的缺陷。
.
§1 旋转设计的基本原理
这里应该解决的是二次回归正交的旋转性问题。下面以试验设计中常用的 三元二次回归方程来讨论这个问题。
所谓旋转性是指试验因素空间中与试验中心距离相等的球面上各处理
组合的预测值 y 的方差具有几乎相等的特性，具有这种性质的回归设计称 回归旋转设计。利用具有旋转性的回归方程进行预测时，对于同一球面上 的点可直接比较其预测值的好坏，从而找出预测值较优区域。
.
如何才能使试验设计具有旋转性呢？这就需要弄清楚
12 13
11
12
13
1 x x x xx xx xx x x x
X
21
22
23
21 22
21 23
22 23
2
2
2
21
22
23
MM M M M M M M M M
1 x x x xx xx xx x x x
N1
N2
N3
N1 N2
N1 N3
N2 N3
2 N1
2 N2
2 N3
.
§1 旋转设计的基本原理
m 3（ 1实 施 ）
c
8
m 3 4
.
§1 旋转设计的基本原理
为了便于设计，现将 m 个因素不同实施情况下的 γ 值列于表13－24。
表13－24 二次正交旋转组合设计参数表
.
§1 旋转设计的基本原理
1.2 正交性的获得
2次旋转组合设计具有同一球面预测值 y 的方差相等的优点，但回归 统计数的计算较繁琐。如果使它获得正交性就能大大简化计算手续。
在2次旋转组合计划中，1次项和交互项的回归系数 bi 和 bij 仍保持正 交，但 b0 与 bij 之间，以及 bii 与 bjj 之间都存在相关，即不具正交性，它 们之间的协方差分别为：
cov（ bo， bjj） 224t2
N
cov（ bii， bjj)=(
2
2
4)t
2
N
(13－32)
.
§1 旋转设计的基本原理
综上所述，为了获得 m 元二次旋转设计方案，就要求既要满足旋转性
条件式 (13－29) ，又要满足非退化条件式 (13－30) 。满足条件式
(13－29)是旋转设计的必要条件，满足非退化条件式 (13－30)是使旋
转性成为可能的充分条件。两者结合起来才能使旋转性设计得以实现
其中
t24(m21)4m22
.
§1 旋转设计的基本原理
对于 m 个因素的二元旋转组合设计，式（13－33）中的m、mc和 γ 都是固
定的。因此，只有适当地调整 N 才能使 λ4 /λ22 ＝1 ，而试验处理数 N ＝ mc+mγ +m0
同样，对于 m 元二次旋转组合设计，上式中的 mc 和 mγ 也都是固定的。这 样就只能通过调整中心点的试验处理数 m0 使 λ4 /λ22 ＝1。由此可见，适当 地选取 m0 ，就能使2次旋转组合设计具有一定的正交性。为了方便设计， 已将 m 元不同实施的 m0 和 N 列入表13－24中。
1,2,,NA 的 元 素 分 类 1 2 ..其 其 指 指 数 数 1 1 ， ， 2 2 ， ， L L ， ， m m 都 中 是 至 偶 少 数 有 或 1 个 零 为 奇 数
它的结构矩阵为：
1 x x x xx xx xx x x x
2
2
2
11
12
13
11 12
11 13