Y X
0
1
2
0 0.1 c 0.1
1 0.2 0.1 0.2
求：(1) c；(2) X ,Y 的边缘分布；(3) P( X Y 1) . 解 (1) 0.1 c 0.1 0.2 0.1 0.2 1 c 0.3 .
9
例2 设二维随机变量(X,Y )的联合分布为
Y X
0
1
2
0 0.1 0.3 0.1 0.5
0.1 0.3 0.2 0.6 .
11
例5 设(X,Y)的概率密度是
cy (2 x), 0 x 1,0 y x
f (x, y)
0,
其他
求 (1) c的值；(2) 两个边缘密度； y
(3)概 率 P{ X Y 1} .
解 (1)
f ( x, y)dxdy
1
x
0
0 dx0 cy(2 x)dy
2 e2 xdx x e y dy
0
0
y
2 e2 x (1 e x )dx 0 O
1.
x
3
5
例1 袋中有2只白球3只
XY 0
黑球，有放回摸球两次，
9
定义X为第一次摸得的白
0 25
球数，Y为第二次摸得的 白球数，则(X,Y)的联合
6
1 25
分布律为
3
Y的边缘分布
5
所以 X,Y 的边缘分布律分别为
7
若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为
XY 0
3
0 10
1
3 10
3
5
1
33 10 5 12 10 5 2 5
XY 0 1
9
6
3
0 25
25
5
6
4
2
1 25
25
5
3
2
5
5
边缘分布为
与有放回的情况比较，两者的联合分布完全不同，
但边缘分布却完全相同。
8
例2 设二维随机变量(X,Y )的联合分布为
15
例1 已知 ( X, Y ) 的联合密度函数为
4xy, 0 x 1, 0 y 1
(1)
f1(x, y)
0,
其他
(2)
8xy,
f2(x, y)
0,
0 x y, 0 y 1 其他
讨论X ,Y 是否独立？
16
4xy, 0 x 1, 0 y 1
1 0.2 0.1 0.2 0.5 0.3 0.4 0.3
求：(1) c； (2) X ,Y 的边缘分布；(3) P( X Y 1) .
解 (1) 0.1 c 0.1 0.2 0.1 0.2 1 c 0.3 .
(2) 边缘分布
X 01
Y
01
2
P 0.5 0.5
P
0.3
0.4
0.3 10
P{X
1, Y
1}
22 52
4 25
1
P{X
0, Y
0}
32 52
9 25
P{X
1, Y
0}
23 52
6 25
P{X
0, Y
1}
32 52
6 25
22 4
P{X 1, Y 1}
52
25
XY
0
1
9
6
0
25
25
6
1
25
4 25
2
例2 令随机变量 X 表示在 1,2,3,4 中等可能地取一个值，
令随机变量 Y 表示在 1 到 X 中等可能地取一个值。求
( X , Y ) 的联合分布律及 P{X 3, Y 2}.
解 由于 Y 的取值依赖于 X 的取值,由乘法公式得( X , Y )
的联合分布律为
Y
pij P{ X i, Y j} X
P{X i)P{Y j | X i) 1
11, 1 j i 4
(2)求 概 率 P{Y X } .
解 (1) 由规范性
f ( x, y)dx dy A
e2 xdx
e ydy
0
0
1 A 1， 2
A2.
4
2e(2x y) , x 0, y 0
f (x, y)
0,
其他
x
(2) P{Y X} 0
dx 0 f ( x, y) dy
X0 1
P32
55
Y0 1
P32
55
1
6
3
25 5
4
2
25 5
2
5 X的 边缘 分布
6
若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为
XY 0
3
0 10
1
3 10
3
5
边缘分布为
1
33 10 5 12 10 5 2 5
A32 A52
3 10
23 3
A52
10
3 2 A52
3 10
A22 1 A52 10
2
4i
3
P{X 3, Y 2}
111 1 1 2. 4
4 8 8 12 12 3
1234
1
40
11 88 11 12 12
11 16 16
00
00 10
12 11 16 16
3
例1 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
f
(
x,
y)
Ae(2 x
0,
y)
,
x 0, y 0
其他
(1)求系数 A ；
2y
y2 ),
2
0,
0 y1
其他
yx
1x
14
f
(x,
y)
24 5
y
(2
x),Байду номын сангаас
0 x 1,0 y x
0 ,
其他
(3) P{ X Y 1}
24
1
1 y
2 dy y(2 x)dx
50
y
24
1 2
3 (
y
3 y2
y3 )dy
5 02
x y1
y
(1 , 1) 22
yx
0
1x
24 5 3 . 5 64 8
例2 设二维随机变量(X,Y )的联合分布为
Y X
0
1
2
0 0.1 0.3 0.1 0.5
1 0.2 0.1 0.2 0.5 0.3 0.4 0.3
求：(1) c； (2) X ,Y 的边缘分布；(3) P( X Y 1) .
解 (3) P( X Y 1)
P( X 0,Y 0) P( X 0,Y 1) P( X 1,Y 0)
c
1
(2
x)
x
2
dx
5
c 1，
c 24 .
20
24
5
yx
1x
12
f
(x,
y)
24 5
y
(2
x),
0 x 1,0 y x
0 ,
其他
(2)
fX (x)
f ( x, y)dy
y
x 24
0 5 y(2 x)dy
12 x2(2 x) , 0 x 1 5
0
所以
f
X
(
x)
12 5
x2(2
x),
0 x1
0,
其他
yx
1x
13
f
(x,
y)
24 5
y
(2
x),
0 x 1,0 y x
0 ,
其他
(2)
fY ( y)
f ( x, y)dx
y
1 24 y(2 x)dx
y5
24 3
y2
y( 2 y ) , 0 y 1 0
52
2
所以
fY ( y)
24 5
y( 3 2
例1 袋中有2只白球3只黑球，有放回摸球两次，每 次摸一只。定义X为第一次摸得的白球数，Y为第二 次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。
解 X 的可能取值为 0,1，Y 的可能取值为 0,1，
P{X
0, Y
0}
32 52
9 25
P{X
0, Y
1}
32 52
6 25
P{X 1, Y 0} 2 3 6 52 25