第四章 大数定律与中心极限定理例1．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式有≤≥+}6{Y X P 。

分析：切比雪夫不等式：2{}DXP X EX εε−≥≤或2{}1DX P X EX εε−<≥−，显然需用到前一不等式，则只需算出()E X Y +与()D X Y +即可。

解：由于 0)(=+Y X E ，()2(,)2XY D X Y DX DY Cov X Y DX DY ρ+=++=++14212(0.5)3=++×××−=，故由切比雪夫不等式 1216)(}6{2=+≤≥+Y X D Y X P 。

注：还是用到第三章数字特征的一些性质。

除了切比雪夫不等式本身，这也是另外的知识点。

例2．设()0(0)g x x ><<+∞，且为非降函数。

设X 为连续型随机变量且[()]E g X EX −存在。

试证对任意0ε>，有[()]{}()E g X EX P X EX g εε−−≥≤。

分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的证明思想试试看。

证明：设随机变量X 的概率密度为()f x ，则有{}()x EX P X EX f x dx εε−≥−≥=∫由于()0g x >，且非降，故当X EX ε−≥时，有()()g X EX g ε−≥，()1()g X EX g ε−≥，所以(){}()()()x EX x EX g X EX P X EX f x dx f x dx g εεεε−≥−≥−−≥=≤∫∫ 1()()()g X EX f x dx g ε+∞−∞≤−∫ [()]()E g X EX g ε−=。

注：这是切比雪夫不等式的推广。

当2()g x x =时，即为切比雪夫不等式。

例3．设随机变量序列12,,,n X X X L 相互独立，且都服从参数为2的指数分布，则当n →∞时，211nn i i Y X n ==∑依概率收敛于 。

(A ) 0 (B ) 12 (C ) 14(D ) 1 分析：出现依概率收敛就要考虑应用大数定律，题设给出的是一列独立同分布的随机变量序列，自然会想到辛钦大数定律。

解：由题设12,,,n X X X L 独立同分布于参数为2的指数分布，因此22212,,,n X X X L 也都独立同分布，且它们共同的期望值为222111()422i i i EX DX EX ⎛⎞=+=+=⎜⎟⎝⎠。

根据辛钦大数定律，当n →∞时，211nn i i Y X n ==∑依概率收敛于其期望值12，故应选择选项B 。

注：几个大数定律条件、结论都非常相似，下面对其条件进行一下比较： 伯努利大数定律和辛钦大数定律都要求随机变量序列有独立性、同分布和有限数学期望。

切比雪夫大数定律对条件有所放宽，不要求同分布，但要求有某种独立性。

但是只有辛钦大数定律不要求方差存在。

同时要注意大数定律中所给的假设条件都是大数定律成立的充分条件，切不要认为条件不满足的随机变量序列就一定不服从大数定律。

几个大数定律的适用场合：伯努利大数定律仅适用于伯努利试验，讲的是频率收敛于概率。

切比雪夫大数定律用于独立序列且具有有界方差，比伯努利大数定律应用范围大为扩展。

辛钦大数定律用于独立同分布场合，最适宜于在数理统计中应用。

显然，伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情形，但是辛钦大数定律不是切比雪夫大数定律的推广，因为它要求同分布。

例4．设随机变量12,,,n X X X L 相互独立，12n n S X X X =+++L ，则根据林德伯格-列维中心极限定理，当n 充分大时，n S 近似服从正态分布，只要12,,,n X X X L 满足 。

(A )有相同的数学期望。

(B )有相同的方差。

(C )服从同一指数分布。

(D )服从同一离散型分布。

分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是12,,,,n X X X L L 相互独立、同分布、方差存在，这时，当n 充分大时，n S 才近似服从正态分布。

根据条件分析选项即可。

解：显然选项A 与B 不能保证12,,,n X X X L 同分布，可排除。

选项C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布，方差肯定存在，故满足定理条件。

选项D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。

但却不能保证方差一定存在，因此也应排除。

故选C 。

注：本例重在考察中心极限定理的条件。

例5．假定某电视节目在S 市的收视率为15%，在一次收视率调查中，从该市的居民中随机抽取5000户，并以收视频率作为收视率，试求两者之差小于1%的概率。

分析：这个抽样调查中的重要问题用伯努利概型作为数学模型是很自然的，所求的是0.01np n µ−<发生的概率，其中5000,0.15,n n p µ==为5000户中收视该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态分布为极限定理。

解：设n µ为5000户中收视该节目的户数，则~(,)n B n p µ，其中5000,0.15n p ==。

由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，近似服从(0,1)N 分布，从而0.01n P p P n µ⎫⎧⎫−<=<⎨⎬⎩⎭212(1.98)1⎛≈Φ−=Φ−⎜⎜⎝20.9761510.9523=×−=。

注：在实际工作中当然关心这个概率。

这是典型应用之一，即棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理直接用于二项分布的近似计算，也用于频率与概率误差的计算，体现在下式：21ˆn P p P n µεβ⎛⎧⎫−<=≈Φ−=⎜⎨⎬⎜⎩⎭⎝。

本例即应用了此式，解决的是三类常见问题之一：已知,,n p ε，求β。

例6．在例5中为使该节目收视频率与收视率之差小于1%的概率达到99%，则至少要抽多少户？分析：模型没变，所以还是要用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，只不过是问题的变形。

解：由例5知1ˆP β−=，则得 12β⎛+Φ=⎜⎜⎝， 问题相当于已知0.01,0.15p ε==及0.99β=求n，即0.995⎛Φ=⎜⎜⎝。

反查标准正态分布表()1z ααΦ=−，得0.9950.01 2.58z ==。

因此 22580.150.858487n =××≈。

注：这是棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理典型应用之二：已知,,p εβ，求最小n 。

例7．设在某种重复独立试验中，每次试验事件A 发生的概率为14，试问能以0.9997的概率保证在1000次试验中A 发生的频率与概率相差多少？此时发生的次数在哪个范围内？分析：贝努利概型下，求解事件发生的频率与概率的误差，用到棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。

解：设A µ为在1000次试验中A 发生的次数，同时其频率与概率的绝对偏差为ε，则10.999710004A P µε⎧⎫−<=⎨⎬⎩⎭。

由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得1210.999710004A P µε⎛⎜⎧⎫−<≈Φ−=⎜⎨⎬⎩⎭⎜⎜⎝， 即(73.03)0.99985εΦ=，查标准正态分布表可得，73.03 3.62ε=，从而0.0496ε=。

此时事件A 发生的次数A µ满足10.0496,200.4299.610004AA µµ−<<<。

因此事件A 发生的次数在201到300次之间。

注：这是棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理典型应用之三：已知,,n p β，求ε，在p 未知时，利用1(1)4p p −≤可得ε的估计式。

例8．据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的。

求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。

分析：题设为这16只元件的寿命独立且同为指数分布，典型的独立同分布场合，要求的是寿命总和的取值概率，这与林德伯格-列维中心极限定理的应用条件结论完全吻合。

解：设i X 表示第i 只元件的寿命(1,2,,16)i =L ，设T 为16只元件的寿命总和，则有161i i T X ==∑，由题设知2100,100i i EX DX ==，由林德伯格-列维中心(0,1)N分布，故所求概率为{1920}1{1920}11400P T P T P >=−≤⎧⎫=−≈−Φ⎝⎠=1-0.7881=0.2119。

注：林德伯格-列维中心极限定理同棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理一样，可类似引出三类计算问题。

由定理可知在n足够大以后，有近似式()()ˆn i i X EX P x x p ⎧⎫−⎪⎪⎪<≈Φ=⎬⎪⎪⎩⎭∑。

第一类问题：求p ；第二类问题：求最小的n ； 第三类问题：求在一定概率下1ni i X =∑的取值范围。

本例即解决的第一类问题。