恒定磁场一、基本要求1、了解电流密度的概念。

2、掌握磁感应强度的概念及毕奥—萨伐尔定律，能利用叠加原理结合对称性分析，计算一些简单问题中的磁感应强度。

3、理解稳恒磁场的两个基本规律：磁高斯定理和安培环路定理。

掌握应用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法，并能熟练应用。

4、掌握洛伦兹力公式，能分析运动电荷在磁场中的受力和运动。

掌握安培力公式，理解磁矩的概念，能计算简单几何形状的载流导线和载流平面线圈在均匀磁场中或在无限长直载流导线产生的非均匀磁场中所受的力和力矩。

二、主要内容 1、稳恒电流电流：电荷的定向运动。

电流强度：单位时间通过导体某一横截面的电量，即dtdq I =。

电流密度)(δ：通过与该点的电荷移动方向相垂直的单位面积的电流强度，方向与该点的正电荷移动方向一致。

电流密度是描述电流分布细节的物理量，单位是2/m A 。

电流强度⎰⋅=SS d Iδ。

2、磁场在运动的电荷（电流）周围，除了形成电场外，还形成磁场。

磁场的基本性质之一是它对置于其中的运动电荷或电流有作用力。

和电场一样，磁场也是一种物质。

3、磁感应强度磁感应强度B是描述磁场性质的物理量。

当电荷在磁场中沿不同方向运动时，磁场对它的作用力不同，沿某方向运动时不受力，与该方向垂直运动时受力最大，定义B 的方向与该方向平行，由v q F⨯max 决定。

B 的大小定义为qvF B max=。

如右图所示。

B 的单位为T （特斯拉）。

4、毕奥—萨伐尔定律电流元：电流元l Id是矢量，其大小等于电流I 与导线元长度dl 的乘机，方向沿电流方向。

毕奥—萨伐尔定律：电流元l Id 在P 点产生的磁感应强度为 30r rl Id B d⨯=μ式中0μ为真空磁导率，A m T /10470⋅⨯=-πμ，r由电流元所在处到P 点的矢量。

运动电荷的磁场：304rrqv B πμ ⨯= 本章判断磁场方向的方法与高中所学方法相同。

几种特殊形状载流导线的磁场()012 cos cos 4I B aμθθπ=- a I B πμ20= a I B πμ40= )1(cos 40+=θπμa IB0=B5、磁场的高斯定理磁感应线：磁感应线为一些有向曲线，其上各店的切线方向为该点的磁感应强度方向，磁感应线是闭合曲线。

磁通量：穿过任意曲面S 的磁通量定义为 ⎰⋅=SS d Bφ在数值上等于穿过曲面S 的磁感应线数目，单位为Wb （韦伯）。

磁场的高斯定理：在磁场中通过任意闭合曲面S 的磁通量等于零，即⎰=⋅SS d B 0它表明磁场是无源场。

6、安培环路定理在真空磁场中，磁感应强度B沿任意闭合路径L 的积分等于通过环路的电流的代数和乘以0μ，即⎰∑=⋅LI l d B 0μ它表明磁场是有旋场。

当电流方向与闭合电路绕行方向满足右手螺旋关系时取电流为正，反之为负。

7、带电粒子在磁场中的运动洛伦兹力：电荷为q 的粒子以速度v在磁场中运动时所受磁力为B v q F ⨯=（q 自带正负号），洛伦兹力对运动电荷不作功。

回转半径和回转周期：质量为m 、电荷为q 的粒子以速度v进入均匀磁场B时，粒子将沿磁场方向作等螺距的螺旋运动，半径为qB m v R ⊥=，螺距为qB mv h //2π=，周期为qBmT π2=。

8、霍尔效应磁场中载流导体上出现横向电势差的现象。

如下图所示。

霍尔电压dIBR U HH =，H R 为霍尔系数，d 为金属板厚度，I 为流过金属板的电流。

9、磁场对电流的作用安培定律：任意形状的载流导线在磁场中所受安培力为⎰⨯=LB l Id F均匀磁场中任意载有电流I 的导线所受磁力为B l I F⨯=l 为从电流始点指向终点的有向直线段。

如右图所示。

磁偶极矩（磁矩）：载流平面线圈的磁矩m P的大小等于电流I 乘以线圈平面的面积S ，即0n IS S I P m==，方向按右手螺旋法则 确定，如右图所示。

磁矩的单位是2m A ⋅。

若线圈有N匝，则0n NIS S NI P m==。

磁力矩：磁矩为m P 的任意形状的载流平面线圈，在磁感应强度为B的均匀磁场中所受力矩为 B P M m⨯=磁力矩总是力图使磁矩m P转向磁感应强度B 的方向。

三、习题及解答1、由毕奥—萨伐尔定律可导出无限长直线电流的磁感强度公式为rIB πμ20=，当该点无限接近导线时，∞→B ，公式无意义，应怎样解释？ 答：公式rIB πμ20=仅对线电流适用，当0→r 时，线电流的概念不再适用，所以此公式不再成立。

2、在同一磁感应线上，各点B的数值是否都相等？为何不把作用于运动电荷的磁力方向定义为磁感应强度B 的方向？答: 在同一磁感应线上，各点B的数值一般不相等。

因为磁场作用于运动电荷的磁力方向不仅与磁感应强度B的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁场决定的，所以不把磁力方向定义为B的方向。

3、用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场？答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路定理并不适用。

4、如果一封闭曲面S 上的磁感强度B 大小处处相等，则根据磁学中的高斯定理0SB dS ⋅=⎰，可得到0SB dS B S =⋅=⎰，又因为0S ≠，故可以推知必有0B =。

答：错误。

因为0SSB dS B dS B S ⋅==⋅=⎰⎰不正确，得不出必有0B =的结论。

正确的应该写成cos 0SSB dS B dS B S θ⋅==⋅=⎰⎰，上式当封闭面上各点2πθ=或cos 0SdS θ=⎰时即可成立，所以B 不一定要得零。

5、真空中有一载有稳恒电流I 的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S 的磁通量ϕ 0 。

若通过S 面上某面元dS 的元磁通为ϕd ，而线圈中的电流增加为I 2时，通过同一面元的元磁通为ϕ'd ，则='ϕϕd d : 1:2 。

磁感线是闭合的曲线，如果穿入闭合曲面，则必定也传出闭合曲面。

BdS d =ϕ，此题中可假定dS 的半径为r ，则在dS 处的磁场θμcos 20rIB =。

B 与I 成正比。

6、下列说法正确的是 (C)（A ）一个电流元能够在它的周围任一点激起磁场。

（B ）圆电流在其环绕的平面内，产生磁场是均匀场。

（C ）方程式nI B 0μ=对横截面为正方形或其他形状的无限长螺线管内的磁场都成立。

7、在图 (a ) 和 (b ) 中各有一半径相同的圆形回路 L 1、L 2，圆周内有电流 I 1、I 2，其分布相同，且均在真空中，但在 (b ) 图中L 2 回路外有电流 I 3， P 1、P 2 为两圆形回路上的对应点，则：(C)空间的磁场是由空间所有电流共同激发的，磁场的环路定理只是一种数学上的计算。

8、取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：（B ）(A) 回路L 内的 ∑I 不变，L 上各点的B 不变。

(B) 回路L 内的 ∑I 不变，L 上各点的B 改变。

(C) 回路L 内的 ∑I 改变，L 上各点的B 不变。

(D) 回路L 内的 ∑I 改变，L 上各点的B 改变。

9、有一边长为l 电阻均匀分布的正三角形导线框abc ，与电源相连的长直导线1和2彼此平行并分别与导线框在a 点和b 点相接，导线1和线框的ac 边的延长线重合。

导线1和2的电流为I ，如图所示。

令长直导线1、2和导线框在线框中心点O 产生的磁感应强度分别为B 1、B 2和 B 3，则点O 的磁感应强度大小：（ D ）（A ）0=B ，因为0321===B B B.,.,.,.,2121212121212121B B l B l B (D)B B l B l B (C )B B l B l B (B)B B l B l B (A)P P L L P P L L P P L L P P L L d d d d d d d d ≠⋅≠⋅≠⋅=⋅=⋅≠⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（B ）0=B ，因为021=+B B ，03=B （C ）0≠B ，因为虽然021=+B B ，但03≠B （D ）0≠B ，因为虽然03=B ，但021≠+B B根据毕奥-萨伐尔定律，参考书中例题进行计算。

10、一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管( R 2r )，两螺线管单位长度上的匝数相等。

两螺线管中的磁感应强度大小B R 和B r 应满足：（B ）r R B B 2)(=A r R B B =)(B r R B B =2)(C r R B B 4)(=D11、在一个磁性很强的条形磁铁附近放一条可以自由弯曲的软导线，如图所示。

当电流从上向下流经软导线时，软导线将：（D ） （A ）不动. （B ）被磁铁推至尽可能远。

（C ）被磁铁吸引靠近它，但导线平行磁棒。

（D ）缠绕在磁铁上，从上向下看，电流是逆时针方向流动的。

判断安培力的方向。

12、如图所示，I 是稳定的直线电流，在它下方有一电子射线管。

欲使图中阴极所发射的电子束不偏转，可加上一电场。

该电场的方向应是：（B ） （A ）竖直向上 （B ）竖直向下（C ）垂直纸面向里 （D ）垂直纸面向外 判断安培力的方向。

13、如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈发生转动，其方向是：（A ）（A ）ab 边转入纸内，cd 边转出纸外。

（B ）ab 边转出纸外，cd 边转入纸内。

（C ）ab 边转入纸内，bc 边转出纸外。

（D ）ab 边转出纸外，bc 边转入纸内。

判断安培力的方向。

14、在xy 平面内，有一宽度为L 的“无限长”载流薄金属板，沿x 方向单位长度上的电流（线电流密度）为 δ。

试求：（1）x 轴上P 点的磁感应强度的大小和方向；（2）当d >> L 时，结果又如何？ 解：在x 处取宽度为dx 的无限载流窄长条其电流 dx dI δ=其在 P 点的磁感应强度为)(2/0x d L dI dB -+=πμ)(2/0x d L dx dB -+=πδμ ⊗方向：整个载流金属板在P 点的磁场⎰=dB B ⎰-+=Lx d L dx0)(2πδμdLd +=ln 20πδμ ⊗方向： L d >>当)2(x d L )1ln(+⋅⋅⋅-+-=3232x x d LdL B πδμ20=∴d Lπμ20=15、内外半径分别为R 1和R 2，面电荷密度为σ的均匀带电非导体圆环，绕轴线以匀角速度ω旋转，求圆环中心的磁感应强度的大小。

解：如图所示，取半径为r ，宽度为dr 的细圆环，细圆环上的电流为rdr rdr dI σωπωπσ=⨯⨯=22 圆环中心产生的磁感应强度为dr rdIdB 2200σωμμ==因为各个细圆环在中心点的B d的方向相同，所以整个圆环在圆心处产生的磁感应强度为)(22122100R R dr dB B R R -===⎰⎰σωμσωμ16、一半径为R 2带电薄圆盘，其中半径为R 1的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为+σ，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为–σ，当圆盘以角速度ω旋装转时，测得圆盘中心点O 的磁感应强度为零， 问R 1与R 2满足什么关系？解：当带电圆盘转动时，可看作无数个圆电流的磁场在 o 点的迭加，半径为 r ，宽为 dr 的圆电流 dI σ 2πrdr ω / 2π σ rdr ω磁场 dB μ0dI/2r =μ0ωσR/2 阴影部分产生的磁场感应强度为⎰=+10021R dr B σωμ210R σωμ= 其余部分： )(2121211200⎰-==-R R R R dr B σωμσωμ 122R R B B ==-+则有已知：17、一半径为R 的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的长直导线载有等值反向的电流I 。