研究生学位课程（5）
电磁场理论
Theory of Electromagnetic fields
主讲 哈工大 江滨浩 教授
第五章 电磁波辐射和衍射
5.1 电磁场的矢位和标位 5.2 推迟位 5.3 偶极辐射
5.4 电磁衍射
辐射问题
– 静态的电荷、电流 – 动态的电荷、电流 – 因果关系确定的时间延迟 – 电磁场的边值问题（激发） 静态的电磁场 动态的电磁场
同一个客观实在的不同描述
直接描述：一个球（这包含了平时对球的了解） 间接描述：将它翻一下，看起来一样；左翻一下，还是一样；这 样翻一下，一样; ……（瞎子也知道是个球对称的东西）
物理规律实际上是简单的，不会比球形的几何体更难于表述
一种变换的不变性就基本确定了
附：洛伦兹规范一定可以得到
若对某组位，洛伦兹规范不成立： 作规范变换，
对称性，求解一个即可 与场矢量的波动方程比较，优点：矢量位可能与电流的方向一致
直角坐标下波动方程的解：平面行波
一维齐次波动方程：
2 1 2 2 2 =0 2 x c t
一般解
( x, t ) = uF ( x ct ) + uB ( x + ct )
x ct ， η x + ct
2 d 2u B 2 2 d uF =c + 2 2 t dξ dη 2
1 v ( x, t ) = t 4πε 0 1 1 v ρ ( x′, t ′ ) dV ′ = ∫∫∫ r t 4πε 0 1 v ρ ( x′, t ′ ) dV ′ ∫∫∫ r t ′
说明 （证明）库仑规范也一定可得到吗！
5.2
推迟位
达朗贝尔方程 达朗贝尔方程解 推迟位
达朗贝尔方程
洛伦兹规范下
v 1 1 + A = 0, v 2 = v 2 t ε
电磁位满足波动方程－d’Alembert 方程：
v v v A 2 A ε 2 = J t
2
(1)
2 ρ 2 ε 2 = t ε
f 的具体表达式（在无界情况下）由波源确定，见后页
点源产生的电磁波
原点处 x′ = 0 时变的点电荷产生（激发）电磁场的方程：
1 2 1 2 1 r 2 2 = Q (t )δ ( r ) ε0 r 2 r r c t
r
r≠0
f (t r c ) δ ( r ) = 0, ( r , t ) = r
uF ( r ct ) uB ( r + ct ) ( r, t ) = + r r
f (t - r/c) / r
f (t r c ) g (t + r c ) + r r
表示向外传播的球面波（ r = ct ）
g (t + r/c) / r 表示向内传播的球面波（ r = -ct ） 波动方程的解可表示向外、向内运动的球面行波的叠加 现研究是源的电磁能向外辐射问题，应取 u B , g = 0
5.1
电磁场的矢位和标位
电磁场矢位与标位的引出 电磁矢位标位满足的方程 规范变换与规范不变性 洛伦兹规范、库仑规范
电磁场矢位与标位的引出
真空中麦克斯韦方程： v v B × E = t v r E v +J × H = ε t v ρ E = v ε B = 0
r v 由 B = 0 和 × A ≡ 0 可引入矢位 :
d’Alembert方程 方程
v 洛伦兹：取 ε + A = 0 ， t
洛伦兹规范
洛伦兹规范
v v 1 2 A v v 1 2 洛伦兹规范下矢位和标位方程相互独立 A 2 2 2 + A = 0 J c t c t
电流是矢位之源，电荷是标位之源 v ρ 2 + ( A) = 洛伦兹规范矢位、标位完全对称 t ε0
推迟位满足洛伦兹条件
推迟位是 d’Alembert 方程的解，必须满足洛伦兹规范条件，才是电 磁波解 v v v v v v v v J ( x′, t ′ ) J ( x′, t ′ ) ′ J ( x′, t ′ ) t′ 0 0 dV ′ A ( x, t ) = ∫∫∫ r dV ′ = 4π ∫∫∫ ′ r + 4π r v v v v ′ J ( x′, t ′ ) t′ J ( x′, t ′ ) v 0 0 = dV ′ ∫∫ r dS ′ + 4π ∫∫∫ 4π r v v ′ J ( x′, t ′ ) t′ 0 = dV ′ t ′ t r c , = ′ ∫∫∫ 4 = + 2 2 x dξ dη 2
uF ( x ct ) 表示向前传播的行波
uB ( x + ct ) 表示向后传播的行波
( x ± ct ) — 波宗量
一维波动方程的解可表示向前、向后运动的行波叠加
球对称波动方程的解：球面行波
球对称波动方程：
1 2 1 2 r 2 2 = 0 2 r r r c t 2 2 2 2 1 2 1 ( r ) 1 ( r ) 0= + 2 2 2 = 2 2 t 2 r r r c t r r c 利用前述结果，有
电磁矢位和标位共同描述电磁场
v v v 六个分量电磁场（ E 、B）最多四个独立（ A 、 ）
标位不再具有“位能”的含义，相应“电压”概念不确切
电磁矢位标位满足的方程
电磁矢位、标位满足的方程
v v v × ( × A) = ( A) 2 A
v v 电磁矢位标位的定义满足了麦克斯韦方程的 B 和 × E 方程
洛伦兹规范一定可得到吗？
Yes
例：自由空间的平面电磁波 v v 1 2 A 1 2 2 2 A 2 2 = 0 2 2 = 0 c t c t v v 2 洛伦兹规范 = (ω k ) k A v v v v B = × A = ik × A v v v v v v E = i k + iω A = i ( c k ) k × ( k × A) v v = (c k ) (k × B)
v 2 v v 2 A = J A ε 2 ε t t 2 = ρ ε
v v v v A 2 A ε 2 ε + A = J t t
v ρ + ( A) = t ε
2
库仑规范之外的条件 例：自由空间的平面电磁波 = const = 0 自由空间，无电荷、电流 v v 1 2 A v v i( kv x ωt ) 2 平面波解: A = A0e A 2 2 = 0 (ω 2 k 2 = c 2 ) c t v v v v v v v v k ×E v v v A kA=0 E = B = × A = ik × A = = iω A t ω
v ε + A = u ≠ 0 t
v v ′ 2ψ ′ = ε ε + A ε 2 + A + 2ψ t t t 2ψ 2 = ψ ε 2 + u t
v v A′ = A + ψ ψ ′ = t
2
2ψ 方程, ψ ε 2 = u 一定有解。因此我们可以通过规范变换， t v ′ 使得新的位满足洛伦兹规范 ε + A′ = 0 t
v v B = × A
电场已非无旋场，但: v v v v A B × E = = × A = × t t t v v × ( E + A t ) = 0 利用 × ≡ 0 可引入标位
v v E + A t = v 因此，任何电磁场可以用一标量场 和一矢量场 A 所描述: v v v v A B = × A E = t
v v i( kv x ωt ) A = A e 0 v i ( k x ωt ) = 0 e
2 2 1 ω k = = c2 ε
洛伦兹规范下，描述平面波的 位仍有变换的自由度，可以取
v v = (ω k ) k A = 0
2
库仑规范
v 库仑：让 A = 0 ，
2
库仑规范
同理，对变化的电流分布，矢位为，
v v 0 A ( x, t ) = 4π
∫∫∫
v v J ( x′, t r c ) r
dV ′
迟 位
v X'
O
v X
物理意义： 物理意义：推迟位表达式表明了t 时刻对场点处的电磁场是 t－r /c 时刻 电流电荷的贡献，电源的物理作用不能瞬时地到达观察点，而是有一定的 推迟，r /c 是从源到场点电磁波的传播时间。自然界无超时空作用。
另外两个方程则给出矢位、标位满足的方程 v v v v v v v 2 A A 2 A ε 2 ε + A = 0 J × ( × A ) = J ε + t t t t v v A ρ ρ 2 = + ( A) = t ε t ε0 电磁场矢位和标位运动方程是相互耦合的，不便于应用 矢量位的散度方程需要确定（赫姆霍兹定理） 如何利用矢量位的散度来简化上述方程？
推迟位
既有
f (t ) =
Q (t ) 4πε 0
( r, t ) =
1 f (t r c ) = 4πε r Q ( t r c ) 4πε 0 r 0
1
r 处时变电荷的标位为 ( r, t ) = x′
1 4πε 0 r
r Q ( x′; t r c )
P (t )
V 由波动方程的解的叠加性，对体分布的电荷，标位为， v v ρ ( x′, t r c ) 1 v dV ′ ( x, t ) = ρ (t r c) r ∫∫∫ 4πε 0 r 推
库仑规范下，只须矢位描述平面波（波动性） 矢位只有横向分量，正好描述平面电磁波两种偏振态 库仑规范下标位与静电情况下一致（描述粒子性）
附：规范不变性与电磁场性质讨论
一种变换不变描述了一种对称性，给出了一个守恒量，例如