(2) (D 2 A A ) c 1 2 2 A 0 2 tA 2 ( 0 J ( A 0 A t 0) c 1 t 2 ( t0) 2 A t0 J ) 0tA
2 c 1 2 2 t2 t( A c 1 2 t) 1 0
(x ,t)410Q(t rr/c)
—— 是点源的势
若点电荷不在原点 r = 0 处，而在 x’ 处，则rxx'
(x,t)410rQ(x',
tr) c
推迟势
在 x’ 处的点电荷的势
(x,t)410rQ(x',
tr) c
连续分布电荷的势
同样可得矢势
A ((x x ,, tt)) 4 4 0 1 r0 J r(x '(,x t', tc r )d c rV )d'V'
向外传播 向球心汇聚
参照 静电场： Q 4 0r
可设： f(tr) 1 Q(tr)
c 40 c
推迟势
验证在 r = 0 处， = f / r 是否满足原方程：
2c122t2 10Q(t)(r)
以原点为球心，作一小球面，半径 0，考察积分
V(2c12 t22)410Q(t rr/c)dV
0 ( 2c 1 2 t2 2)410Q (t rr/c)4r2dr
'A '
t
t
AA
对应同样的
E和B
t t
t
规范变换： (A,)
(A',')
一种规范 另一种规范
规范不变性：在规范变换下， E和B不变
3. D’Alembert 方程
(1) H B J ( D t A ) ( ( 真 A ) D 2A 0 E 空 ,0 JB 00 H 0 E ) t
和 A方程形式一致 —— 解的形式也相同
可先求解 ，再推广到 Ax，Ay，Az
2c12 2t2 10
点 ( x , 电 ) tQ ( t ) ( x 荷 )
球对称（与, 无关），选用球坐标（p.346/式 I.42）
2 r 1 2 r(r 2 r) r 2 s 1i n (s i) n r 2 s 1 2 in 22
D’Alembert 方程（库仑规范）
2 A c 1 2 2 tA 2 ( A c 1 2 t) 0 J
库仑规 2 范 ：c 1 2 2 t 2 tA ( 0 A c 1 2 t) 1 0
2 A c 1 2 2 tA 2 c 1 2 t 0 J
1 r
2u r 2
2 1 2u
t2 r t2
r2u2 c12 t2u2 0 一维波动方程
推迟势
标准一维波动方程：
2u 1 2u r2 c2 t2 0
解为： u(r,t)f(tr)g(tr)
c
c
式中 f, g 可以是任意函数 —— 由源 Q(t) 决定
(r,t)1f(tr)1g(tr)
r cr c
洛仑兹规范： A 10
c2 t
2A c12 2 tA 2 0J
2c12
2 1
t2
0
(1) 非齐次波动方程（J = 0, = 0 时，即为波动方程）
(2) 静态时（ / t = 0）即为泊松方程
(3) 和 Ax，Ay，Az 满足的方程，形式一样
§2. 推迟势
达朗伯方程线性 —— 解可叠加
可先求点源的解，再对源求和 / 积分
2 1 0
第二式简单（泊松方程，同静电）
第一式 A 和 都有，不能单独求解
D’Alembert 方程（洛仑兹规范）
2 A c 1 2 2 tA 2 ( A c 1 2 t) 0 J
2 c 1 2 2 t 2 t( A c 1 2 t) 1 0
0 第~ 二 2 0 项 , 第一Q 项 (tr)中 Q (t) c
积分 4Q (t)00(21r)dV4Q(t)0 0[4(r)]dV
推迟势
V(2c12 t22)410Q(t rr/c)dV4Q(t)0 0[4(r)]dV
010 Q(t)(r)dV
( 2 c 1 2 t2 2)4 10Q (t rr/c ) 1 0Q (t)(r)
P
电场和磁场 ,A E,B
推迟？
(x,t)~(x',tr)
c
t 时刻 P 点的势由源点在 t – r/c 时刻的电荷决定，并非同一时刻。
源点对场点的影响需要时间 r/c来传递，速度为 c 。
地球上今天看到某星的光，也许是它在几千年前发出的？
也许今天它已不存在？
§3. 电偶极辐射（简介）
A (x ,t)4 0 rJ (x ',tc r)dV '
t
( )0
B D 0 ( A )B 0 A ： A 矢势E：标势A t
E0 （E 不是保守场）
变化电磁场： 不再代表势能
与静电比较：
E
(
0 )
t
2. 规范变换和规范不变性
用 A 和 描述电磁场不唯一
A A ' A
A ' A A
'
t
(A ',')和 (A ,)
A (x ,t) A (x )e i t
B 410c3Reik pR n
A(x)
0eikR
p
4R
E 41 0c2Reik(c3R2
作业
推导真空中，洛仑兹规范下的达朗伯方程。
第五章 电磁波的辐射
§1. 电磁场的矢势和标势 §2. 推迟势 §3. 电偶极辐射（简介）
变化电流 J 辐射
电磁波 E, B
§1. 电磁场的矢势和标势
1. 用势描述电磁场 2. 规范变换和规范不变性 3. D’Alembert 方程
1. 用势描述电磁场
EB
A
(E A )0
H JtD
t
t
r1 2 r(r2 r)c 1 2 2 t 21 0Q (t)(r)
推迟势
在 r 0 处，（除点电荷所在的原点外）
r12r(r2r)c122t2 0 —— 波动方程
球对称，解不可能是平面波，而应是球面波
r 设： (r,t)1u(r,t)
r
r2r r2(1rurru2)
r
u r
u
r1 2 r(r2 r)r1 2( u rr r 2u 2 u r)