，故
．从而
．
（ 4）应有
．因若
而
，这与已知
，则 矛盾．
．又
，故
，这样
．又因
，故
（5）应有
．因若
，则
．又
，故
．从而
，这与已知
矛盾．
小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．
，这样有
．又因
，且
．从 ，故
2 曲线
分别是指数函数
,
和
的图象 , 则
与 1 的大小关系是 ( ).
(
分析 : 首先可以根据指数函数单调性 , 确定
当 0 a 1 时，∵ x 1，1 ，
∴ a ≤ a x ≤ 1 ，即 a ≤ t ≤ 1 ，
a
a
∴t
1
时，
ymax
a
2
1 1 2 14 ，
a
1 解得 a 或 a
3
1
1
（舍去），∴ a 的值是 3 或 ．
5
3
评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．
5．解指数方程
5、设
，求函数
的最大值和最小值．
分析：注意到 的求法，可求得函数的最值．
解：设
，由
，设 知，
，则原来的函数成为
，利用闭区间上二次函数的值域
，函数成为
，
，，故函数的最大值为
6（9 分）已知函数 y a 2x 2a x 1(a 1) 在区间 [ －1,1]上的最大值是 14，求 a 的值 .
1
∴f(x) 的值域为｛ y ｜-1 ＜y＜ 1 } .
ax
(2) ∵f(-x) ＝
ax
1 1 ax
＝
＝ -f(x) 且定义域为 R，∴ f(x) 是奇函数 .
1 1 ax
(a x 1) 2
2
(3)f(x) ＝
＝ 1-
.
ax 1
ax 1
1°当 a>1 时，∵ ax+1 为增函数，且 ax+1>0.
2
，当
时，
有最小值为
（2）
，解得
当
时，
；
当
时，
8（10分）（ 1）已知 f ( x)
2 3x 1
．
m 是奇函数，求常数 m的值；
（2）画出函数 y | 3 x
1 | 的图象，并利用图象回答：
k为何值时，方程
Ｘ
|3
－１｜＝
k无
-6-
取值范围． 即
解？有一解？有两解？ 解： （1）常数 m=1
（2）当 k<0 时，直线 y=k与函数 y | 3 x 1 | 的图象无交点 ,即方程无解 ; 当k=0或k 1时, 直线 y= k与函数 y | 3 x 1 | 的图象有唯一的交点，所以方程有一解 ; 当 0<k<1 时 , 直线 y= k 与函数 y | 3 x 1 | 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。
-5-
轴右侧令 题则是由图到
1
1
解： (1) ∵x-3 ≠ 0，∴ y＝ 2 x 3 的定义域为｛ x ｜ x∈R 且 x ≠3｝ . 又∵ 1 ≠ 0，∴ 2 x 3 ≠ 1，
x3
1
∴y ＝ 2 x 3 的值域为｛ y ｜y>0 且 y≠ 1｝.
(2)y ＝ 4x+2x+1 +1 的定义域为 R. ∵2x>0, ∴y ＝4x+2x+1+1＝(2 x) 2+2· 2x+1＝(2 x+1) 2>1.
指数函数题型总结
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作者： 日期：
2
指数函数
指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考 考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．
4
2
2
2
令 t=（ 1 ）x（ 1 t 1）
2
4
则
y=f
（
t）
=4t
2
-4t+2=4
（
t-
1
）
2
+1
2
1
当 t= 即 x=1 时， ymin=1
2
当 t=1 即 x=0 时， y max=2
11．已知
，求函数
的值域．
解：由
得
，即
，解之得
求函数的值域为
y 2 12. (9 分) 求函数
x2 2x 2 的定义域，值域和单调区间
-7-
，于是
，即
，故所
解：设 y＝
u
1 ,u ＝ x 2-3x+2,y
3
关于 u 递减，
3
当 x∈(- ∞， ) 时， u 为减函数，
2
3
∴y 关于 x 为增函数；当 x ∈［ ， +∞) 时， u 为增函数， y 关于 x 为减函数 .
2
ax
14 已知函数 f(x) ＝
ax
1
(a>0 且 a≠ 1).
例 6 为了得到函数 y 9 3x 5 的图象，可以把函数 y 3x 的图象（
）．
A ．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 B．向右平移 9 个单位长度，再向下平移 C．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 D．向右平移 2 个单位长度，再向下平移
5 个单位长度 5 个单位长度 5 个单位长度 5 个单位长度
（1）证明：设 x1＜x2
2( 2x2 2x1 )
f（x2）－ f（x1） =
(1
2x1 )(1
＞0
2x2 )
故对任何 a∈ R，f（ x）为增函数．
（2） x R ，又 f （x）为奇函数
f (0) 0 得到 a 1 0 。即 a 1
16、定义在 R 上的奇函数 f ( x) 有最小正周期为 2，且 x ( 0,1) 时， f ( x)
．解： y a 2x 2a x 1( a 1) ， 换元为 y t 2 2t 1( 1 t a) ，对称轴为 t 1 . a
当 a 1， t a ，即 x=1 时取最大值，略
解得 a=3 (a= －5舍去 )
，故函数最小值为 ．
7．已知函数 （ 1）求
的最小值；
（ （ 2）若
且
）
，求 的
．解：（ 1）
2x 4x 1
（1）求 f ( x) 在 [ －1，1] 上的解析式；（2）判断 f ( x) 在（ 0，1）上的单调性；
（3）当 为何值时，方程 f (x) = 在 x [ 1,1] 上有实数解 .
解（ 1）∵ x ∈R 上的奇函数 ∴ f (0) 0
评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参 数进行讨论．
2．求解有关指数不等式
例 2 已知 (a2 2 a 5)3 x (a2 2a 5)1 x ，则 x 的取值范围是 ___________．
分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．
定义域为 R 值域（ 0，8〕。（3）在（ - ∞， 1〕上是增函数 在〔 1， +∞）上是减函数。
x2 3x 2
1
13 求函数 y＝
的单调区间 .
3
分析 这是复合函数求单调区间的问题
可设 y＝
u
1
,u
＝x
2
-3x+2
，其中
y＝
3
u
1
为减函数
3
∴u＝ x 2-3x+2 的减区间就是原函数的增区间 ( 即减减→增 ) u＝x2-3x+2 的增区间就是原函数的减区间 ( 即减、增→减 )
例 5 解方程 3x 2 32 x
80 ．
解：原方程可化为 9 (3 x )2 80 3x 9 0 ，令 t 3x (t 0) ，上述方程可化为 9t 2 80t 9 0 ，解得 t 9 或 t
∴ 3x 9 ，∴ x 2 ，经检验原方程的解是 x 2 ．
评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题
∴函数 f ( x) 在 ∞ ，1 上递减，在 1， ∞ 上递增．
若 x ≥ 0 ，则 3x ≥ 2 x ≥ 1 ，∴ f (3x ) ≥ f (2 x ) ；
若 x 0 ，则 3x 2x 1 ，∴ f (3 x ) f (2 x ) ．
综上可得 f (3x ) ≥ f (2 x ) ，即 f (c x ) ≥ f (b x ) ．
1
(1) 求 f(x) 的定义域和值域； (2) 讨论 f(x) 的奇偶性； (3) 讨论 f(x) 的单调性 . 解： (1) 易得 f(x) 的定义域为｛ x｜ x∈R｝.
ax
设 y＝
ax
1
, 解得
ax＝ -
y
1
y
1 ①∵ ax>0 当且仅当 - y
1
y
1
y
>0 时，方程①有解 . 解-
1
y
1
>0 得 -1<y<1.
t 的取值范围．
解：令 t a x ，则 t 0 ，函数 y a2 x 2a x 1 可化为 y (t 1)2 2 ，其对称轴为 t 1 ．
∴当 a 1 时，∵ x 1，1 ，
∴ 1 ≤ a x ≤ a ，即 1 ≤ t ≤ a ．