常微分方程解题方法总结
来源：文都教育
复习过半，课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来，如何将零散的知识点有机地结合起来，而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆，使知识自成体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴，他强调读
书要 “由薄到厚、由厚到薄 ”，对同学们的复习尤为重要 .
以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、
高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多，
遇到具体的题
目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法
. 下面以表格的形
式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询
.
常微分方程
通解公式或解法
( 名称、形式 )
当 g( y)
0 时，得到
dy f (x)dx ，
g( y)
可分离变量的方程
dy f ( x) g( y)
两边积分即可得到结果；
dx
当 g( 0 )
0 时，则 y( x)
0 也是方程的
解 .
解法：令 u
y xdu udx ，代入
，则 dy
齐次微分方程
dy g( y
)
x
dx
x
u g (u) 化为可分离变量方程
得到 x
du
dx
一 阶
线 性 微
分
方
程
dy
P ( x)dx
P ( x) dx
Q(x)
y ( e
Q( x)dx C )e
P( x) y
dx
伯努利方程解法：令
dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）
代入得到dx
—u y1 n，有 du(1 n) y n dy ，
du(1 n) P(x)u(1 n)Q(x) dx
求解特征方程：
2pq 0三种情况：
二阶常系数齐次线性微分方程
y p x y q x y0
二阶常系数非齐次线性微分方程y p x y q x y f ( x)
(1)两个不等实根： 1 ,2
通解： y c1 e 1x c2 e 2x
(2)两个相等实根：12
通解： y c1c2 x e x
(3)一对共轭复根：i ,
通解： y e x c1 cos x c2 sin x
通解为y p x y q x y 0 的通解与
y p x y q x y f ( x) 的特解之和.
常见的 f (x) 有两种情况：
x
（ 1）f ( x)e P m ( x)
若不是特征方程的根，令特解y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特
解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根，
令特解 y*x2Q m (x)e x；
（2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
当i不是特征值时，令
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—
y*e x[ Q ( x)cos x Q ( x)sin x]，当
n n
2
1
i是特征值时，令
y*xe x [Q n (x) cos x Q n ( x)sin x]以上以常微分方程为例总结了一些常见题型的解题方法，对于其他知识点也可用类似的
形式进行总结，一方面加深印象，另一方面梳理清楚知识点之间的联系，这也是复习中比较
实用的方法 .
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