修远中学2018-2019学年度第一学期第一次阶段测试高二数学(理科)试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答卷横线上） 1．已知命题p: ∀x ∈R ，cosx >1，则¬p 是_________________ 2．抛物线y 2=16x 的准线方程是________.3．某学校高一、高二、高三共有2400名学生,为了调查学生的课余学习情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本已知高一有820名学生,高二有780名学生,则在该学校的高三应抽取_________名学生.4．从A 、B 、C 、D 、E ， 5名学生中随机选出2人， A 被选中的概率为__________． 5．如图是某学生8次考试成绩的茎叶图，则该学生8次考试成绩的标准差s =____．6．“1<x <2”是“x <2”成立的________条件． 7．以230x y ±=为渐近线，且经过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛1,253的双曲线标准方程是 8．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为________．9．已知正方形ABCD ，则以A,B 为焦点，且过C,D 两点的椭圆的离心率为__________． 10．若命题2:[1,3],250p x x ax ∀∈-+>是真命题，则实数a 的取值范围是11．已知椭圆 1422=+y m x 的离心率13e = ，则m 的值等于__________．12．双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，其渐近线与圆()422=+-y a x 相切，则该双曲线的方程为__________．13．下列四个命题中真命题的序号是__________． ①“x =1”是“x 2+x −2=0”的充要条件；②命题p:∀x ∈[1,+∞),lgx ≥0，命题q:∃x 0∈R,x 02+x 0+1<0，则p ∧q 为真命题； ③命题“∀x ∈R,e x >0”的否定是“∃x 0∈R,e x 0≤0”； ④“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题. 14．在平面直角坐标系xOy 中,记椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，若该椭圆上恰好有6个不同的点P ,使得ΔF 1F 2P 为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是____________.二、解答题（本大题共小题，共分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．求适合下列条件的曲线的标准方程：⑴ 4,1a b ==，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程； ⑵ 4,3a b ==，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程；⑶ 焦点在x 轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程.16．某陶瓷厂在生产过程中，对仿制的100件工艺品测得其重量（单位；kg）数据，将数据分组如下表：⑴在答题卡上完成频率分布表；⑵统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[2.20，2.30)的中点值是2.25)作为代表．据此，估计这100个数据的平均值．17．为迎接党的“十九”大的召开，某校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”党史知识竞赛，从参加考试的学生中抽出50名学生，将其成绩（满分100分，成绩均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后绘制频率分布直方图（如下图所示）⑴求频率分布图中a的值；⑵从这50名学生中，随机抽取得分在[40,60]的学生2人，求此2人得分都在[40,50]的概率.焦点坐标；⑵ 设点K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段K F 1的中点M 的轨迹方程.19．已知m R ∈，命题p ：对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[1,1]x ∈-，使得m ax ≤成立 ⑴ 若p 为真命题，求m 的取值范围；⑵ 当1a =，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围。

⑶ 若0a >且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围。

20．已知椭圆C 长轴的两个顶点为A （－2，0），B （2，0），且其离心率为2.⑴ 求椭圆C 的标准方程；⑵ 若N 是直线x=2上不同于点B 的任意一点，直线AN 与椭圆C 交于点Q ，设直线QB 与以NB 为直径的圆的一个交点为M （异于点B ），求证：直线NM 经过定点．命题、审校人：葛志刚高二数学理科答案1. 1.∃x ∈R ，cosx ≤12.4-=x 3．40. 4．255．√15． 6．充分不必要 7.14922=-y x 8．9 9．√2−1 10．5<a 11．638或 12．11631622=-y x13．③ 14．(13,12)∪(12,1)15．：（1）根据题意知4,1a b ==，焦点在x 轴上，∴2216,1a b ==，………3分故椭圆的标准方程为：221161x y +=，即22116x y +=.………6分 （2）解:由题意，设方程为()222210,0y x a b a b-=>>，∵4,5a b ==，∴2216,25a b ==，………8分所以双曲线的标准方程是2211625y x -=.………10分 （3）∵焦点到准线的距离是2， ∴24p =，………12分∴当焦点在y 轴上时，抛物线的标准方程为24x y =或24x y =-.………14分 16．（1）一空一分共8分（2）这100个数据的平均值约为：2.25×0.04+2.35×0.26+2.45×0.30+2.55×0.28+2.65×0.10+2.75×0.02=2.47．………14分17．（1）因为(0.004+a +0.0018+0.022×2+0.028)×10=1，所以a =0.006………4分（2）所抽出的50名学生得分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为A 1,A 2,A 3;………6分得分在[40,50)的有： 50×0.004×40＝2（人），即为B 1,B 2.………8分 从这5名学生中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种， 它们是{A 1,A 2},{A 1,A 3},{A 1,B 1},{A 1,B 2},{A 2,A 31},{A 2,B 1},{A 2,B 2},{A 3,B 1},{A 3,B 2},{B 1,B 2},………12分又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1,B 2}，故所求的概率为p =110.………14分18．（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到1F 、2F 两点的距离之和是6， 得2a=6，即a=3.………2分又点A 在椭圆上，因此268193b+=得28b =于是21c =.………6分所以椭圆C 的方程为22198x y +=，……………………………………………7分 焦点1(1,0)F -2(1,0)F ……………………………8分（2）设椭圆C 上的动点为11(,)K x y ，线段1F K 的中点Q （x ，y ）满足112x x -=，12y y =；即121x x =+，12y y =.…………………10分因此()()22212198x y ++=即()2221192x y ++=为所求的轨迹方程.……………（16分） 19．（1）∵对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立∴2min (22)3x m m -≥-.....................1分即232m m -≤-.........................2分 解得12m ≤≤..............................3分即p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2].......................4分 （2）∵1a =，且存在[1,1]x ∈-，使得m ax ≤成立∴1m ≤ 即命题q 满足1m ≤................6分∵p 且q 为假，p 或q 为真∴p 、q 一真一假...........................7分 当p 真q 假时，则121m m ≤≤⎧⎨>⎩，即12m <≤.......................9分 当p 假q 真时，则121m m m <>⎧⎨≤⎩或，即1m <......................11分 综上所述，1m <或12m <≤（也可写为21m m ≤≠且）......................12分 （3）∵0a >存在[1,1]x ∈-，使得m ax ≤成立∴命题q 满足m a ≤...........................14分∵p 是q 的充分不必要条件∴2a ≥.......................16分 20．(1)设(,)P x y ,由1214k k =-得 1224y y x x ⋅=-+-,其中2x ≠±,………2分 整理得P 点的轨迹方程为221(0)4x y y +=≠. (4分)（2）设点)0)(,2(≠m m N ，则直线AN 的方程为)2(4+=x my ，………6分 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=44)2(422y x x m y ，消去y 得01644)4(2222=-+++m x m x m ，9分 设),(11y x Q ，则44)2(221+-=-+m m x ，∴42844222221+-=+-+=m m m m x ，（8分）从而)44,428(222++-m mm m Q ，………11分 又)0,2(B ，m m m m m k QB142844222-=+-+=………12分 直线QB 与以NB 为直径的圆的另一个交点为M ，∴QB MN ⊥，………14分MN ∴方程为(2)y m m x -=-,即(1)y m x =-,过定点(1,0)C ……… 16分。