高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 函数：f(x)=3+xlnx 的单调递增区间是( )A. (0,1e )B. .(e,+∞)C. (1e ,+∞)D. (1e ,e)【答案】C【解析】解：由函数f(x)=3+xlnx 得：f(x)=lnx +1，令f′(x)=lnx +1>0即lnx >−1=ln 1e ，根据e >1得到此对数函数为增函数， 所以得到x >1e ，即为函数的单调递增区间．故选：C ．求出f(x)的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题． 2.函数f(x)=lnx−2x x的图象在点(1,−2)处的切线方程为( )A. 2x −y −4=0B. 2x +y =0C. x −y −3=0D. x +y +1=0【答案】C【解析】解：由函数f(x)=lnx−2x x知f′(x)=1−lnx x 2，把x =1代入得到切线的斜率k =1， 则切线方程为：y +2=x −1， 即x −y −3=0． 故选：C ．求出曲线的导函数，把x =1代入即可得到切线的斜率，然后根据(1,2)和斜率写出切线的方程即可． 本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3. 已知A(2,−5,1)，B(2,−2,4)，C(1,−4,1)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为( ) A. 30∘ B. 45∘ C. 60∘ D. 90∘【答案】C【解析】解：因为A(2,−5,1)，B(2,−2,4)，C(1,−4,1)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,1,0)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ═0×(−1)+3×1+3×0=3，并且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3√2，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2， 所以cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ||AC |=3√2×√2=12， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60∘故选：C ．由题意可得：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = (−1,1,0)，进而得到AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，再由cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB||AC |可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题 4.已知椭圆x 225+y 2m =1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)，则m =( )A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B 【解析】解：∵椭圆x 225+y 2m 2=1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)，∴25−m 2=16， ∵m >0， ∴m =3， 故选：B ． 利用椭圆x 225+y 2m=1(m >0)的左焦点为F 1(−4,0)，可得25−m 2=16，即可求出m ． 本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5.∫(10e x +2x)dx 等于( )A. 1B. e −1C. eD. e +1【答案】C【解析】解：∵(e x +x 2)′=e x +2x ，∴∫(10e x +2x)dx═(e x +x 2)|01=(e +1)−(1+0)=e ， 故选：C ．由(e x +x 2)′=e x +2x ，可得∫(10e x +2x)dx =(e x +2x)|01，即可得出． 本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6. 若函数f(x)=x(x −c)2在x =3处有极大值，则c =( )A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A【解析】解：函数f(x)=x(x −c)2的导数为f′(x)=(x −c)2+2x(x −c) =(x −c)(3x −c)，由f(x)在x =3处有极大值，即有f′(3)=0， 解得c =9或3，若c =9时，f′(x)=0，解得x =9或x =3，由f(x)在x =3处导数左正右负，取得极大值， 若c =3，f′(x)=0，可得x =3或1由f(x)在x =3处导数左负右正，取得极小值． 综上可得c =9． 故选：A ．由题意可得f′(3)=0，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件． 本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7. 函数y =e x (2x −1)的示意图是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由函数y =e x (2x −1)， 当x =0时，可得y =−1，排除A ；D当x =−12时，可得y =0，∴x <12时，y <0．当x 从12→+∞时，y =e x 越来越大，y =2x −1递增，可得函数y =e x (2x −1)的值变大，排除B ； 故选：C ．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题． 8.若AB 过椭圆x 225+y 216=1中心的弦，F 1为椭圆的焦点，则△F 1AB 面积的最大值为( )A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】解：设A 的坐标(x,y)则根据对称性得：B(−x,−y)， 则△F 1AB 面积S =12OF ×|2y|=c|y|． ∴当|y|最大时，△F 1AB 面积最大，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其△F 1AB 面积最大， 则△F 1AB 面积的最大值为：cb =√25−16×4=12． 故选：B ．先设A 的坐标(x,y)则根据对称性得：B(−x,−y)，再表示出△F 1AB 面积，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其△F 1AB 面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出△F 1AB 面积的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题． 9.设函数f(x)=13x 3−x +m 的极大值为1，则函数f(x)的极小值为( )A. −13B. −1C. 13D. 1【答案】A【解析】解：∵f(x)=13x 3−x +m ，∴f′(x)=x 2−1，令f′(x)=x 2−1=0，解得x =±1， 当x >1或x <−1时，f′(x)>0， 当−1<x <1时，f′(x)<0；故f(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上是增函数，在(−1,1)上是减函数； 故f(x)在x =−1处有极大值f(−1)=−13+1+m =1，解得m =13 f(x)在x =1处有极小值f(1)=13−1+13=−13，故选：A ．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查.熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．10. 设抛物线y 2=4x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A. [−12,12]B. [−2,2]C. [−1,1]D. [−4,4]【答案】C【解析】解：∵y 2=4x ，∴Q(−1,0)(Q 为准线与x 轴的交点)，设过Q 点的直线l 方程为y =k(x +1)． ∵l 与抛物线有公共点，∴方程组{y 2=4x y=k(x+1)有解，可得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0有解． ∴△=(2k 2−4)2−4k 4≥0，即k 2≤1． ∴−1≤k ≤1， 故选：C ．根据抛物线方程求得Q 点坐标，设过Q 点的直线l 方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于等于0求得k 的范围．本题主要考查了抛物线的应用.涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理或判别式解决问题．11. 已知函数f(x)=ax −ln x ，若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. (1,+∞)D. [1,+∞)【答案】D【解析】解：∵f(x)=ax −ln x ，f(x)>1在(1,+∞)内恒成立， ∴a >1+lnx x在(1,+∞)内恒成立．设g(x)=1+lnx x，∴x ∈(1,+∞)时，g′(x)=−lnx x 2<0，即g(x)在(1,+∞)上是减少的，∴g(x)<g(1)=1， ∴a ≥1，即a 的取值范围是[1,+∞)． 故选：D ．化简不等式，得到a >1+lnx x在(1,+∞)内恒成立.设g(x)=1+lnx x，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的两条渐近线与直线x =a 2c分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点.若60∘<∠AFB <90∘，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A. (1,√2)B. (√2,2)C. (1,2)D. (√2,+∞)【答案】B【解析】解：双曲线x 2a2−y 2b 2=1的两条渐近线方程为y =±ba x ，x =a 2c时，y =±ab c，∴A(a 2c ,abc)，B(a 2c,−ab c)，∵60∘<∠AFB <90∘， ∴√33<k FB <1， ∴√33<ab c c−a 2c<1，∴√33<ab <1，∴13<a 2c 2−a 2<1，∴1<e 2−1<3， ∴√2<e <2． 故选：B ． 确定双曲线x 2a2−y 2b 2=1的两条渐近线方程，求得A ，B 的坐标，利用60∘<∠AFB <90∘，可得√33<k FB <1，由此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 双曲线x 2−y 2=1的顶点到其渐近线的距离等于______． 【答案】√22【解析】解：双曲线x 2−y 2=1的a =b =1， 可得顶点为(±1,0)， 渐近线方程为y =±x ， 即有顶点到渐近线的距离为d =√1+1=√22． 故答案为：√22．求得双曲线的a =b =1，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值． 本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=3x 2+2xf′(2)，则f′(5)=______． 【答案】6【解析】解：f′(x)=6x +2f′(2) 令x =2得 f′(2)=−12∴f′(x)=6x −24 ∴f′(5)=30−24=6 故答案为：6将f′(2)看出常数利用导数的运算法则求出f′(x)，令x =2求出f′(2)代入f′(x)，令x =5求出f′(5)． 本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,5，−2)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1，2)，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,−3,6).若DE//平面ABC ，则x 的值是______． 【答案】−23【解析】解：∵DE//平面ABC ，∴存在事实m ，n ，使得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{x =m +3n−3=5m +n 6=−2m +2n ，解得x =−23． 故答案为：−23．由DE//平面ABC ，可得存在事实m ，n ，使得DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用平面向量基本定理即可得出．本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 已知抛物线C ：y 2=−4x 的焦点F ，A(−1,1)，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为______． 【答案】2【解析】解：∵抛物线方程为y 2=−4x ，∴2p =4，可得焦点为F(−1,0)，准线为x =1 设P 在抛物线准线l 上的射影点为Q 点，A(−1,1)则由抛物线的定义，可知当P 、Q 、A 点三点共线时，点P 到点(−1,1)的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和最小，∴最小值为1+1=2． 故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P 、A 和P 在准线上的射影点Q 三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q 和焦点F 距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知函数f(x)=x 3+x −16．(I)求曲线y =f(x)在点(2,−6)处的切线的方程；(Ⅱ)直线L 为曲线y =f(x)的切线，且经过原点，求直线L 的方程及切点坐标． 【答案】解：(I)函数f(x)=x 3+x −16的导数为f′(x)=3x 2+1， 可得曲线y =f(x)在点(2,−6)处的切线的斜率为3×4+1=13，即有曲线y =f(x)在点(2,−6)处的切线的方程为y −(−6)=13(x −2)， 即为13x −y −32=0；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=3x 2+1，设切点为(m,n)，可得切线的斜率为3m 2+1， 即有3m 2+1=n m=m 3+m−16m，即为2m 3+16=0， 解得m =−2，n =−8−2−16=−26，可得直线L 的方程为y =13x 及切点坐标为(−2,−26)．【解析】(I)求出f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；(Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=3x 2+1，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m 的方程，解方程可得m 的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．18. 如图，在四棱锥S −ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，且SD =AD =√2AB ，E 是SA 的中点．(1)求证：平面BED ⊥平面SAB ；(2)求平面BED 与平面SBC 所成二面角(锐角)的大小．【答案】(1)证明：∵SD ⊥底面ABCD ，SD ⊂平面SAD ， ∴平面SAD ⊥平面ABCD …(2分)∵AB ⊥AD ，平面SAD ∩平面ABCDAD ， ∴AB ⊥平面SAD ， 又DE ⊂平面SAD ， ∴DE ⊥AB ，…(4分)∵SD =AD ，E 是SA 的中点，∴DE ⊥SA ， ∵AB ∩SA =A ，DE ⊥AB ，DE ⊥SA ， ∴DE ⊥平面SAB ， ∵DE ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面SAB.…(6分)(2)解：由题意知SD ，AD ，DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ，不妨设AD =2．则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,√2,0)，C(0,√2,0)，S(0,0，2)，E(1,0，1)，∴DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√2,0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，CS ⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,2)…(8分) 设m ⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面BED 的法向量，则{m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x 1+√2y 1=0x 1+z 1=0，令x 1=−1，则y 1=√2,z 1=1，∴m ⃗⃗⃗ =(−1,√2,1)是平面BED 的一个法向量．设n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)是平面SBC 的法向量，则{n ⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅CS ⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x 2=0−√2y 2+2z 2=0，解得x 2=0，令y 2=√2，则z 2=1， ∴n ⃗ =(0,√2,1)是平面SBC 的一个法向量.…(10分) ∵cos〈m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√3=√32， ∴平面BED 与平面SBC 所成锐二面角的大小为π6.…(12分)【解析】(1)证明平面BED ⊥平面SAB ，利用面面垂直的判定定理，证明DE ⊥平面SAB 即可；(2)建立空间直角坐标系，求出平面BED 与平面SBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED 与平面SBC 所成二面角(锐角)的大小．本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19. 如图所示，斜率为1的直线过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点且|AB|=8，M 为抛物线弧AB 上的动点． (1)求抛物线的方程； (2)求S △ABM 的最大值． 【答案】解 (1)由条件知l AB ：y =x −p2， 与y 2=2px 联立，消去y ，得x 2−3px +14p 2=0， 则x 1+x 2=3p.由抛物线定义得|AB|=x 1+x 2+p =4p ． 又因为|AB|=8，即p =2， 则抛物线的方程为y 2=4x ；(2)由(1)知|AB|=4p ，且l AB ：y =x −p 2，设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +m ， 代入抛物线方程，得x 2+2(m −p)x +m 2=0． 由△=4(m −p)2−4m 2=0，得m =p 2．与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +p2 两直线间的距离为d =√22p ，故S △ABM 的最大值为12×4p ×√22p =√2p 2=4√2．【解析】(1)根据题意，分析易得直线AB 的方程，将其与y 2=2px 联立，得x 2−3px +14p 2=0，由根与系数的关系可得x 1+x 2=3p ，结合抛物线的定义可得|AB|=x 1+x 2+p =4p =8，解可得p 的值，即可得抛物线的方程；(2)设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +m ，代入抛物线方程，得x 2+2(m −p)x +m 2=0，进而可得与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20. 函数f(x)=ax +xlnx 在x =1处取得极值．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若y =f(x)−m −1在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(Ⅰ，…(1分)，解得a =−1，当a =−1时，f(x)=−x +xlnx ，…(2分)即，令0'/>，解得x >1；…(3分) 令，解得0<x <1；…(4分)∴f(x)在x =1处取得极小值，f(x)的增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1)…(6分) (Ⅱ)y =f(x)−m −1在(0,+∞)内有两个不同的零点， 可转化为f(x)=m +1在(0,+∞)内有两个不同的根，也可转化为y =f(x)与y =m +1图象上有两个不同的交点，…(7分) 由(Ⅰ)知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， f(x)min =f(1)=−1，…(8分)由题意得，m +1>−1即m >−2①…(10分) 当0<x <1时，f(x)=x(−1+lnx)<0； 当x >0且x →0时，f(x)→0；当x →+∞时，显然f(x)→+∞(或者举例：当x =e 2，f(e 2)=e 2>0)； 由图象可知，m +1<0，即m <−1②…(11分) 由①②可得−2<m <−1…(12分)【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f′(1)，求出a 的值，从而求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)问题转化为f(x)=m +1在(0,+∞)内有两个不同的根，结合函数的图象求出m 的范围即可．本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21. 已知椭圆x 23+y 2=1，已知定点E(−1,0)，若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆交于C 、D 两点.问：是否存在k的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k 值，由{x 2+3y 2−3=0y=kx+2得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0． ∴△=(12k)2−36(1+3k 2)>0. ① 设C(x 1,y 1)、D(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−12k1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2②而y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4．要使以CD 为直径的圆过点E(−1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，则y 1x 1+1⋅y 2x 2+1=−1，即y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0． ∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0. ③将②式代入③整理解得k =76.经验证，k =76，使①成立．综上可知，存在k =76，使得以CD 为直径的圆过点E ．【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD 为直径的圆过E 点，则CE ⊥DE ，将它们联立消去x 1，x 2即可得出k 的值．本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22. 设函数f(x)=x −ae x−1．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)f′(x)=1−ae x−1当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在R 上是增函数；当a >0时，令f′(x)=0得x =1−lna若x <1−lna ，则f′(x)>0，从而f(x)在区间(−∞,1−lna)上是增函数；若x >1−lna ，则f′(x)<0，从而f(x)在区间(1−lna,+∞上是减函数．(2)由(1)可知：当a ≤0时，f(x)≤0不恒成立，又当a >0时，f(x)在点x =1−lna 处取最大值，且f(1−lna)=1−lna −ae −lna =−lna ，令−lna <0得a ≥1，故若f(x)≤0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a 的值小于进行讨论，得到函数的单调区间．(2)这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当a ≤0时，f(x)≤0不恒成立，又当a >0时，f(x)在点x =1−lna 处取最大值，求出a 的范围．本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。