考点七 指数与指数函数知识梳理1．根式如果a ＝x n ，那么x 叫做a 的n 次实数方根(n >1且n ∈N *)，当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数，记为：na ；当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±n a .式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (1)两个重要公式① na ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （n 为奇数），|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a <0）（n 为偶数）； ② (n a )n ＝a (注意a 必须使na 有意义)． (2)0的任何次方根都是0． (3)负数没有偶次方根． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的概念：①正分数指数幂：a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：am n -＝1a m n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a r s (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a r (a >0，r 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4．指数函数的图象与性质图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过点(0,1)，即x ＝0时y ＝1当x >0时，y >1； 当x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1； 当x <0时，y >1 是R 上的增函数是R 上的减函数典例剖析题型一 指数幂的化简与求值 例1 的值是 ．答案 －3 解析.变式训练 下列各式正确的是 ．(填序号) ① ②④a 0＝1答案解析 根据根式的性质可知正确．，a ＝1条件为(a ≠0)，故①、②、④错．例2 化简或求值(1)(2)(a 23·b －1)12-·a12-·b136a ·b 5解析 (1)原式==.(2)原式＝a13-b 12·a 12-b13a 16b56＝a111326---·b115236+-＝1a. 解题要点 指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．题型二指数函数的图象和性质例3函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是．(填序号)①a>1，b<0 ②a>1，b>0 ③0<a<1，b>0 ④0<a<1，b<0答案④解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.变式训练指数函数y=恒过的定点为．答案(，2)解析由函数y=a x恒过(0，1)点,可得当3x－2=0，即时，y=2恒成立,故函数恒过点(，2).故答案为：(，2)．题型三指数值的大小比较例4设，则y1、y2、y3的大小关系是．答案y1＞y3＞y2解析．因为函数y=2x在定义域上为单调递增函数，所以y1＞y3＞y2．变式训练若，则x的取值范围是．答案(－∞，－3)解析原不等式可化为，而指数函数y=是定义在R上的减函数,所以x＜－3.解题要点比较大小时，首先要观察有无同底或是同指数的，①若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性；②若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性；③若底数不同，指数也不同，应寻找中间值(常用0，1)进行比较.当堂练习1．11222111323⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，的大小关系是________．答案11 222 111 332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解析函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，由123>，知1221133⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；又1122121211322112133⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭==>⎪ ⎪⎝⎭⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭，由函数32xy⎛⎫= ⎪⎝⎭的性质，知12312⎛⎫>⎪⎝⎭，故11221123⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以11222 111 332⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．函数y＝a x－3＋3恒过定点________．答案(3，4)解析当x＝3时，f(3)＝a3－3＋3＝4，所以f(x)必过定点(3，4)．3. 已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域．答案[1,9]解析由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，因f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.4．化简的结果是．答案解析5．若指数函数y=(a－2)x在(－∞，+∞)上是减函数，那么解得．答案A解析 ∵指数函数y =(a －2)x 在(－∞，+∞)上是减函数， ∴0＜a －2＜1，解得2＜a ＜3．课后作业一、 填空题1.设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝ ． 答案 [1，3)解析 由|x －1|<2，解得－1<x <3，由y ＝2x ，x ∈[0,2]，解得1≤y ≤4， ∴A ∩B ＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．2．若a ＝⎝⎛⎭⎫3413-，b ＝⎝⎛⎭⎫3414-，c ＝⎝⎛⎭⎫3214-，则a 、b 、c 的大小关系是 ． 答案 c <b <a解析 由y ＝⎝⎛⎭⎫34x 在R 上单调递减，知⎝⎛⎭⎫3414-<⎝⎛⎭⎫3413-， 而⎝⎛⎭⎫3214-<1<⎝⎛⎭⎫3414-，所以⎝⎛⎭⎫3214-<⎝⎛⎭⎫3414-<⎝⎛⎭⎫3413-. 即c <b <a .3．的值为 ．答案 0解析 .4．的值是 ．答案 0或2(a －b )解析 当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b <0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0.5．设a ＝40.7，b ＝0.30.5，c ＝log 23，则a 、b 、c 的大小关系是 ． 答案 b <c <a解析 a ＝40.7>412＝2,0<b ＝0.30.5<1,1<c ＝log 23<2，所以b <c <a .6．函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为 ．答案 (－3,0]解析 若使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0x ＋3>0，解得－3<x ≤0.7．已知f (x )＝2x ＋2－x ，若f (a )＝3，则f (2a )等于 ． 答案 7解析 由f (a )＝3得2a ＋2－a ＝3，两边平方得22a ＋2－2a＋2＝9，即22a ＋2－2a＝7， f (2a )＝7.8．如果指数函数y =(a 2)x 在x ∈R 上是减函数，则a 的取值范围是 ．答案 (2，3)解析 因为指数函数y =(a 2)x 在x ∈R 上是减函数，所以有0＜a 2＜1，解得2＜a ＜3，即a 的取值范围为(2，3)．9．函数y =a x －1+1过定点 ． 答案 (1，2)解析 ∵函数f (x )=a x 过定点(0，1)，∴当x －1=0时，x =1，∴此时y =a x －1+1=1+1=2， 故y =a x －1+1过定点(1，2)．故答案为：(1，2)．10．函数119xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域是________．答案 (－∞，0]解析 由题意得(19)x －1≥0，即(19)x ≥1，x ≤0.11．计算：23×31.5×612＝________. 答案 6解析 原式＝2×312×(32)13×1216＝2×312×313×213-×316×213＝2×3111236++×21133-+＝6.二、解答题12．计算下列各式的值(1)×＋80.25×＋(×)6－；(2).解析 (1) 原式＝×1＋×＋(×)6－＝2＋4×27＝110；(2)原式.13．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．解析 当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (2)＝a 2，f (x )最小＝f (1)＝a . ∴a 2－a ＝a 2.即a (2a －3)＝0.∴a ＝0(舍)或a ＝32>1.∴a ＝32.当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，在x ∈[1,2]上，f (x )最大＝f (1)＝a ，f (x )最小＝f (2)＝a 2. ∴a －a 2＝a2.∴a (2a －1)＝0，∴a ＝0(舍)或a ＝12.∴a ＝12.综上可知，a ＝12或a ＝32.。