训练目标
(1)掌握不等式(组)表示的平面区域的确定方法；(2)会求目标函数的最值；(3)了解目标函数的简单应用．
训练题型
(1)求平面区域面积；(2)求目标函数最值；(3)求参数值或参数范围；(4)求最优解；(5)实际应用问题．
解题策略 (1)根据不等式(组)画出可行域；(2)准确理解目标函数的变量及相关参数的几
何意义；(3)用好数形结合思想，将要解决的问题恰当的与图形相联系；(4)注
意目标函数的变形应用.
1．下列各点中，与点(1,2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0,0) B ．(－1,3) C ．(－1,1)
D ．(2，－3)
2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，x ≥1，
y ≥0，
则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )
A ．4和3
B ．4和2
C ．3和2
D ．2和0
3．设正数x ，y 满足－1<x －y <2，则z ＝x －2y 的取值范围为( ) A ．(0,2) B ．(－∞，2) C ．(－2,2)
D ．(2，＋∞)
4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥2，x ＋y ≤4，
－2x ＋y ＋c ≥0，
若目标函数z ＝3x ＋y 的最小值为5，则其最大值为( )
A ．10
B ．12
C ．14
D ．15
5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，
x ＋y ≥3，
若目标函数z ＝x ＋ky (k >0)的最小值为13，则实数k 等
于( ) A ．7 B ．5或13 C ．5或29
4
D ．13
6．(2016·贵州七校联考)一个平行四边形的三个顶点的坐标分别为(－1,2)，(3,4)，(4，－2)，点(x ，y )在这个平行四边形的内部或边上，则z ＝2x －5y 的最大值是( ) A ．16 B ．18 C ．20
D ．36
7．若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，
x ≥m
表示的平面区域是面积为16
9
的三角形，则m 的值为( )
A.1
2 B.2
3 C ．－23
D.56
8．已知x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y －1≤0，
2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小
值25时，a 2＋b 2
的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5 D ．2
二、填空题
9．已知实数x ，y 满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2y ＋1≥0，
|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．
10．(2016·辽宁五校联考)已知A ，B 是平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －y －4≤0，x ＋y －2≥0，
x －2y ＋4≥0内的两个动点，向量n ＝(3，－2)，
则AB →
·n 的最大值是________．
11．(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 12．已知函数f (x )＝x 2
－2x ，点集M ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤2}，N ＝{(x ，y )|f (x )－f (y )≥0}，则M ∩N 所构成平面区域的面积为______.
答案精析
1．B [由x ＋y －1＝0，将点(1,2)代入得1＋2－1>0，故所选的点代入直线方程大于零在同侧，将点(－1,3)代入得，－1＋3－1>0成立．]
2．B [在平面直角坐标系中，作出变量x ，y 的约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤2，x ≥1，
y ≥0
的区域，如图阴影部分所示，
由图可知，当z ＝2x ＋y 过点A (1,0)时，z 最小，z min ＝2，当z ＝2x ＋y 过点B (2,0)时，z 最大，z max ＝4，所以z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为4和2.故选B.]
3．B [作出x ，y 所满足的条件所对应的可行域，如图所示，当目标函数z ＝x －2y 经过点(2,0)时，z ＝x －2y 取得最大值(不能取到)2，所以z ∈(－∞，2)，故选B.]
4．A [画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示．作直线l ：y ＝－3x ，平移l ，从而可知当x ＝2，
y ＝4－c 时，z 取得最小值，z min ＝3×2＋4－c ＝10－c ＝5，所以c ＝5，当x ＝
4＋c 3＝3，y ＝8－c
3
＝1时，z 取得最大值，z max ＝3×3＋1＝10.]
5．C [作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，
x ＋y ≥3
表示的平面区域，如图所示，可知z ＝x ＋ky (k >0)过点A (12，5
2
)
或B (75，85)时取得最小值，所以12＋52k ＝13或75＋85k ＝13，解得k ＝5或294
.]
6．C [平行四边形的对角线互相平分，如图，当以AC 为对角线时，由中点坐标公式得AC 的中点为(3
2，0)，
也是BD 的中点，可知顶点D 1的坐标为(0，－4)．同理，当以BC 为对角线时，得D 2的坐标为(8,0)，当以
AB 为对角线时，得D 3的坐标为(－2,8)，由此作出(x ，y )所在的平面区域，如图中阴影部分所示，由图可知
当目标函数z ＝2x －5y 经过点D 1(0，－4)时，取得最大值，最大值为2×0－5×(－4)＝20，故选C.]
7.C [画出不等式组表示的平面区域如图所示，由图可得A (m ，m ＋2
2)，B (m ，m )，C (2,2)⇒S ＝12×2－m
2
×(2－m )＝?2－m ?2
4＝169⇒m ＝－23
，故选C.]
8．B [线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y －1＝0，
2x －y －3＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝1，
所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，
a 2＋
b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.]
9．8
解析 作出不等式组对应的平面区域如图所示．
由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .
平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点C 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最大．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2y ＋1＝0，x －y －1＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，
y ＝2，即C (3,2)，此时z ＝2×3＋2＝8.
10．10
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，则AB →
·n ＝3(x 2－x 1)－2(y 2－y 1)＝3x 2－2y 2－(3x 1－2y 1)．令z ＝3x －2y ，画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，可知z max ＝6，z min ＝－4，则AB →
·n 的最大值为z max －z min ＝10.
11．216 000
解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧
1.5x ＋0.5y ≤150，
x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y
≥0，x ∈N *，y ∈N *
，
目标函数z ＝2 100x ＋900y .
作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，z 在(60,100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 12．2π
解析 由f (x )＋f (y )＝x 2
－2x ＋y 2
－2y ≤2，得(x －1)2
＋(y －1)2
≤4， 于是点集M ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤2}
表示的平面区域是以(1,1)为圆心，半径r ＝2的圆面． 同理，由f (x )－f (y )＝x 2
－2x －y 2
＋2y ≥0， 可得(x －y )(x ＋y －2)≥0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ≤0，
x ＋y －2≤0.
于是点集N ＝{(x ，y )|f (x )－f (y )≥0}表示的平面区域就是不等式组所表示的平面区域．所以M ∩N 所构成的平面区域如图所示，
所以S ＝12
·π·r 2
＝2π.。