每日一练6.18
1．已知函数()f x 满足()12f =，()()
()
111f x f x f x ++=-，
则()()()()1232007f f f f ⋅⋅⋅⋅L 的值为 。
-3
2．若圆0422
2
2
=-+-+m mx y x 与圆084422
2
2
=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的
取值集合是 _________}2,0,2
5
,512{--
3.已知()x f ＝x 3-3ax ，R x ∈。
（1）若当x=1时，()x f 取得极值，求证：对任意x 1，x 2()1,1-∈都有()()421<-x f x f ； （2）若()x f 是[)+∞,1上的单调函数，求实数a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若x 01≥，()10≥x f 有()[]00x x f f =，求证：()00x x f = 解：（1）∵()x f '＝3x 2
-3a ，x=1是y=()x f 的一个极值点
∴()1f '＝3-3a=0 ∴()x f '＝3x 2
-3 ()x f ＝x 3-3x
∵当-1≤x ≤1时, ()x f '≤0 ∴()x f 在[]1,1-上是减函数 ∴当x ∈[]1,1-时，()x f 的最大值为()1-f ＝1，最小值为()1f ＝-2 ∴对任意x 1，x 2()1,1-∈时都有()()()()41121<--<-f f x f x f 。
（2）()x f '＝3x 2
-3a
若()x f 在[)+∞,1上是减函数，则3x 2
-3a ≤0在[)+∞,1上恒成立，
即a ≥x 2在[)+∞,1上恒成立，此时a 不存在
若()x f 在[)+∞,1上是增函数，则3x 2
-3a ≥0在[)+∞,1上恒成立，
即a ≤x 2在[)+∞,1上恒成立，∴a ≤1。
（3）若()100≥>x x f ，由（2）知()[]()00x f x f f > ∵()[]00x x f f = ∴()00x f x >这与假设矛盾。
若()100≥>x f x ，由（2）知()()[]00x f f x f >
∵()[]00x x f f = ∴()00x f x <这与假设矛盾，因此()00x x f =
每日一练6.19
1. 已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则
△OAB 面积的最小值为 ____________。
当2
1
-=k 时，OAB S ∆有最小值4 2.两圆1)1(22=+-y x 和1)1(2
2=-+y x
3.已知4()log (41)x
f x kx =++()k R ∈是偶函数．
(1) 求k 的值；
(2) 证明：对任意实数b ，函数()y f x =的图象与直线b x y +=2
1
最多只有一个交点； (3)设⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
⋅=a a x g x
342log )(4，若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围．
.解：(1) 由题设()()f x f x -=，即44log (4
1)log (41)x
x kx kx -+-=++
整理得 kx kx x x
x
++=-+)14(log 4
14log 44, 44log (41)(1)log (41)x x k x kx +-+=++，解得2
1-=k .
(2)由(1)得41()log (41)2
x f x x =+-
. 令b x x x +=-+2121)14(log 4，得4144x b x
+=⋅．
假设方程有两个不相同的实根x 1、x 2，则 1
1
4414x b x ⋅=+， ① 2
2
4414x b x ⋅=+，② ②-①得 )44(4441
2
1
2
x x b x x -=-． 因为21
44
x x ≠，所以4b =1，即b =0，
代入①或②不成立，假设错误，命题成立． （注：本小题也可利用函数单调性质求解如下： 对于22
4414
x b x ⋅=+，若0b =，则414x x +=，矛盾；若0b ≠，则1
441
x b =
-， 当0b <时，40x
<，方程4144x b x
+=⋅无解； 当0b >时，1
4041
x
b
=
>-，由指数函数的性质可知，x 的值存在且唯一， 所以4144x
b x
+=⋅有唯一解，命题成立．
(3) 由()()f x g x =得 4414log (41)log 22
3x x x a a ⎛⎫+-=⋅- ⎪⎝
⎭
，
即2
414(2)3
4x x x a +=-，4412(2)3
x x x a +=⋅-，整理得0123
42)1(2=---x x a a 令2x
t =，则0t >
由题设，方程24(1)103
a a t t ---=只有一个正实根.
① 当a =1时，方程4103t --=无正实根；
② 当a ≠1时，若0)1(49162=-+=∆a a ，解得4
3
=a 或a=-3. 而 43=a 时，t=-2；a=-3时，t =21
>0 ．
若0)1(49162>-+=∆a a ，即a <-3或43>a ，则应有t 1t 2=1
1--a <0，所以a >1．
综上所述，当a ∈{-3}∪(1，∞)时，函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点。