河南省十所名校2018一2019学年高中毕业班阶段性测试（七）
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|2}A y y x ==+，{
}2
|B x y x ==，则A B ⋂=（ ）
A. {1,2}-
B. {1,4}
C. [0,)+∞
D. R
2.某校进行青少年法律知识测试，
测试成绩经过统计得到如图所示的频率分布直方图，若用扇形统计图表示，则在扇形图中[70,80)分所对应的圆心角大小为（ ）
A.
5
π
B.
25
π C.
35
π D.
45
π 3.设复数z a i =+，z 是其共轭复数，若34
55
z i z =+，则实数a =（ ） A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
4.抛物线顶点为坐标原点O ，对称轴为y 轴，直线3260x y --=过抛物线的焦点，则该抛物线的方程为（ ） A. 212x y =-
B. 212y x =
C. 28x y =
D. 28y x =
5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若257,2,S S S -成等差数列，且2743a a a =，则1a =（ ） A.
316
B.
332
C. 316
±
D. 332
±
6.在Rt ABC ∆中，2BA BC ==，点D 在斜边AC 上，且2AD CD =，E 为BD 的中点，
则CE BD ⋅=（ ）
A.
1
18
B.
2
9
C.
1
18
- D.
2
9
-
7.已知双曲线
22
22
1
x y
a b
-=（0
a>，0
b>）的顶点到渐近线的距离为
3
则该双曲线的方程为（）
A.
22
1
95
x y
-= B.
22
1
45
x y
-= C.
22
1
59
x y
-= D.
22
1
54
x y
-=
8.已知某四棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该四棱锥的体积是（）
A. 4
3
B.
8
3
C.
16
3
D.
32
3
9.小张从家出发去看望生病的同学，他需要先去水果店买水果，然后去花店买花，最后到达医院.相关的地点都标在如图所示的网格纸上，网格线是道路，则小张所走路程最短的走法的种数为（）
A. 72
B. 56
C. 48
D. 40
10.如图所示，两半径相等的圆A，圆B相交，CD为它们的公切线段，且两块阴影部分的面积相等，在线段AB上任取一点M，则M在线段EF上的概率为（）
A. 22
π
-
B. 14
π-
C.
4
1π
- D. 2
1π
-
11.已知函数,0,()ln ,0,
x e x f x x x ⎧=⎨
>⎩…若1
()()3F x f x x a =+-的两个零点分别在区间(1,0)-和(1,)e 内，则实数a 的取值范围为（ ） A. 11
,13
3e e ⎛⎫-+
⎪⎝⎭
B. 1,13e ⎛
⎫+
⎪⎝⎭
C. 111,33e ⎛⎫-
⎪⎝
⎭ D. 1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
12.已知实数a ，b ，c ，d 满足ln 12
113
a c
b d +-==+-，则22()()a
c b
d -+-的最小值为（ ） A. 8
B. 4
C. 2
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若x ，y 满足约束条件230,
260,0,x y x y x y +-≥⎧⎪+-⎨⎪-⎩
……，则2
y z x +=的取值范围为______. 14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若615S =，156S =，则11a =______.
15.已知函数1()cos 2f x ax x =+在区间,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有最大值12π+，则实数a =______. 16.已知棱长为2
正方体内接于球O ，点P 是正方体的一个顶点，点Q 是正方体一条棱的中点，则直线PQ
被球O 截得线段长的最大值为__.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a b c +=，3
B π
=
，ABC ∆
的面积为
（Ⅰ）求边c ；
（Ⅱ）D 为BC 边上一点，若13
cos 14
CAD ∠=
，求CD . 的
18.如图所示，在五棱锥E ABCDF -中，侧面AEF ⊥底面ABC ，AEF ∆是边长为2
正三角形，四边形
ABDF 为正方形，BC CD ⊥，且BC CD =，G 是AEF ∆的重心，O 是正方形ABDF 的中心.
（Ⅰ）求证：OG ∥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角B AE D --的余弦值.
19.著名魔术师刘谦表演过一个“日历预言”的魔术，本质是根据日历上日期排列的特点玩的一个数字游戏.如图是2019年6月的日历的一部分
（Ⅰ）在阴影部分任选三个数，求这三个数之和为42的概率；
（Ⅱ）在阴影部分每一行中各选一个数，记三个数之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
20.已知椭圆22
221x y a b
+= (0)a b >>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，且a ，b ，c 成等比数列.
()00,P x y 是椭圆上一点，设该椭圆的离心率为e .
（Ⅰ）求e ；
（Ⅱ）求证：10PF a ex =+；
（Ⅲ）若点P 不与椭圆顶点重合，作PM x ⊥轴于M ，12F PF ∠的平分线交x 轴于(,0)N n ，试求||
||
ON OM 的
值.
21.已知函数()ln(1)1(1)f x ax x a =+-+…
. 的
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 最大值；
（Ⅱ）若1()e f x e +…
对1,x a ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
恒成立，求实数a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,,2x a y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为2
8
53cos 2ρθ
=-，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.
（Ⅰ）求曲线C
直角坐标方程；
（Ⅱ）若线段AB 的长度为
5
，求实数a 的值. 23.已知()|1|||(0)f x ax x a a =+++>.
（Ⅰ）当2a =时，求不等式()6f x <的解集；
（Ⅱ）若()(1)||3f x a x a +-+…
恒成立，求a 取值范围.
的的的。