称上式为久期，各个时刻点现金流的时间加 权平均。
显然久期介于第一笔现金流和最后一笔现金
流之间的某个时间。
现在计算每年支付m次，剩余期限为n，第k 期支付为ck的金融工具的麦考雷久期D。
n
Dk1(k/m )ck P /V [1(i/m )]k,PVkn 1[1(ic/km )]k
对于票面价值为1债券来说，每期支付相同， 债券的麦考雷久期为：
债券市场上存在一部分浮动利率债券，浮动 利率债券的价格怎么来确定呢？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§5.3债券的价格风险分析
从价格—收益率曲线可以看出，长期债券的 价格对短期债券价格对利率更加敏感。期限 仅仅是一个对利率敏感的模糊性描述。下面 我们将这种描述具体化。
D P V (t0)t0 P V (t1 )t1 L P V (tn)tn P V
D1m iimc1[( 1 ii)nn( c1]i)mi
价格随利率变化的规律
d d P i 1 (1 i/m )D P D M P ,D M 1 (i1 /m )D 价格随利率变化的规律是一个反向变化过 程。微分后可以近似的计算价格随利率变化 的数值。如何来规避这种利率带来的价格风 险呢？ 一般来构造投资组合来分散风险，选择一些 债券组合规避风险，这个过程叫免疫。涉及 到优化问题。
F n C /m F
P [ 1 ( i/m ) ] n k 1 [ 1 ( i/m ) ] k [ 1 ( i/m ) ] n a n i/m C /m
化简有
P[1(iF /m )]nC i 1[1(i1 /m )]n
到期收益率可以看做是一种内部收益率。 债券是一种基本的投资工具，债券收益率受 多种因素影响，特别是市场利率的影响，例 如市场提供10%的利率，假如是银行存款， 若债券的收益率为6%就无人购买。这些影响 直接的表现是债券价格的波动。当收益率变 化时价格也产生了变化，用价格—收益率曲 线描述这种变化。
画出几种债券的价格—收益率曲线，如下：
这三种债券到期期限相同。 横轴为到期收益率，纵轴为债券价格，位置 较高的曲线表示息票率较高。
从价格—收益率曲线可以看出，当收益率上 升时，债券价格下降。也就是说，当市场利 率上升时，债券市场的债券价格普遍下降， 反之价格上升。债券价格主要受市场利影 响。例如央行加息，债券价格下降。 下面我们分析一下几种息票率相同，期限不 同的债券。同样画出价格—收益率曲线。
也可以是不分离的。
债券的种类
按照付息方式分类：累积债券和零息债券 按照登记方式分类：记名债券和无记名债券 按照信用方式分类：抵押债券和信用债券 按照期限分类：短期债券、中期债券和长期 债券 按照风险水平分类：收入债券、调整债券和 垃圾债券。风险水平由专业的评级机构来评 判。
债券补充
可转换债券：在一定期限内可转换为相应的 股票。 优先股：比普通股票要有优先破产时的资产 分配权利。 累积优先股、参与优先股、可转换优先股
§5.2债券基本定价
债券定价的思想是债券的当前价格等于未来 现金流的现值。 P为债券当前价格； F为券面价值； m为每年支付息票的次数； C为每年息票支付总额； i为到期收益率； n为剩余期限；
到期收益率：使得未来现金流等于现值的利 率。 债券现金流为 （0，C/m， C/m ，…，F+ C/m）
习题
1 一张18年期的利率为8%的债券，其收益 率为9%，计算这张债券的价格。 2 计算10年期债券、利率为8%，收益率为 10%的价格及久期。 3 当市场利率上调0.1%时，计算2中债券价 格的变化。 注：不做特别说明的情况下，债券的面值为 100，年付息一次，剩余期限为到期期限。
横轴为到期收益率，纵轴为债券价格，初始 位置较高的曲线表示投资期限较高。 回忆现金流交叉的例子，说明这三种曲线有 交叉点。 当天投资期限增大时，曲线变得陡峭了，价 格对收益率的变化更敏感。
债券的价格（投资）风险主要来源于两个方 面： （1）市场利率的变化 （2）债券的期限 用价格—收益率曲线可以定性描述这种风 险；如何定量化的描述这种风险呢？
第五章 固定收益证券
固定收益证券是一种最基本的金融工具， 对持有者承诺在一定时间支付一笔固定的收 益。代表的是一笔确定现金流的所有权。
证券简介
债券的特征 发行人：主要是政府、金融机构、企业等机 构，它是资金的借入者。 到期期限：指债券从发行之日起至偿清本息 之日止的时间。 本金和息票收入：发行人（借入者）需要在 一定时期还本付息；本金和利息可以分离，