《解析几何》期末试卷及答案
一、 填空（每题3分，共30分）
1
1=, 2=⋅，则摄影= 2 。
2．已知不共线三点)5,2,3(),5,1,2(),3,2,1(--C B A 则三角形ABC 的 BC 边上的高
为 8 。
3．，
= 时+平分，夹角。
4．自坐标原点指向平面：035632=-++z y x 的单位法矢量为 ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧32,31,92 。
5．将双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-0
1
22
22x c z b y 绕虚轴旋转的旋转曲面方程为 1222
22=-+c z b y x 。
6．直线⎩⎨⎧=+++=+++00
22221111D z C y B x A D z C y B x A 与X 轴重合，则系数满足的条件为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧====00,02
2
1
122
1
1
21A C A C C B C B D D 。
7．空间曲线⎩⎨⎧=+=-0042
2z x z y 的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=242t z t y t x 或⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=-=2
4
2t z t y t
x 。
8．直纹曲面0222=-+z y x 的直母线族方程为 ⎩⎨⎧-=-=+)
()()(y w y x u uy
z x w ，或
⎩
⎨
⎧=--=+sy y x t y t z x s )()
()( 。
9．线心型二次曲线0),(=y x F 的渐近线方程为 0131211=++a y a x a 。
10．二次曲线027522=+-++y x y xy x 在原点的切线为 02
1
=+-y x 。
二、选择题（每题3分，共15分）
1. 二次曲线0126622=-++++y x y xy x 的图象为（ B ）
A 椭圆型
B 双曲型
C 无心型
D 线心型 2. 点O 到平面0522:=++-z y x π的距离为（ D ）
A 5
B 95
C 56
D 35
3. 设,,a b c r r r
满足关系0a b c ++=r r r r ，则c a b b c a ⨯+⨯+⨯=r r r r r r （ C ）
A 、0r
B 、0
C 、3()a b ⨯r r
D 、b c ⨯r r
4. 若直线
11112x y z λ-+-==，与11111
x y z
++==相交，则必有（ B ）。
A 、1λ= B 、32λ= C 、34λ= D 、5
4
λ=
5. 二次曲线012),(22=-+-≡y xy x y x F 的渐近方向为（ A ）
A 、1:1
B 、 2:1
C 、1:1-
D 、2:1-
三、计算题（6×5=30分）
1． 已知{}1,2,3=a ，{}2,1,0-=b ，{}0,5,6=c
① 试证a ，b ，c 共面
② 把c 分解为a ，b 的线性组合。
解 Θ0306240562101
2
3
),,(=-+=-=c b a ，∴a ，b ，c 共面
而a ，b 不共线，所以c 可以分解为a ，b 的线性组合-=2
2． 求与平面05=-++z y x 垂直且通过直线3
1
2211:
-=
+=-z y x l 的平面π的方程 解 平面π的方程为03
2
1
111
1
21=-+-z y x ，
即0)1()2(2)1(=-++--x y x ， 整理得062=--y x
3． 求过单叶双曲面116492
22=-+
z y x 上点()8,2,6p 的两条直母线方程 解 单叶双曲面116
492
22=-+
z y x 上的两族直母线方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+)21()43()21()43(y w z
x u y u z
x w 和⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+)2
1()43()21()4
3(y s z
x t y
t z
x s 将点()8,2,6p 代入得2:1:=u w ，0=s 所以，过点()8,2,6p 的两条直母线方程为
⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-+-012
2320243z y x z y x 和⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0
43021z x y 4． 求通过点()1,0,4-p 且与x 轴平行的直线的参数式、对称式、一般式及摄影式方程
解 所求直线的参数式方程为⎪⎩
⎪
⎨⎧-==+=104z y t
x
对称式方程为
1
014+=
=-z y x 一般式方程为⎩⎨⎧-==10
z y
摄影式为⎩⎨⎧-==1
z y
5． 求两条二次曲线0:221=----y x y xy x l 与02:222=+-++y x y xy x l 的公共直径
解 对于0:221=----y x y xy x l ，0454111
2
121
12≠-=--=---
=
I 为中心型
从⎪⎩⎪⎨⎧
=---=--0
212
102121y x y x 解出中心坐标为)53,51(-
而对于02:222=+-++y x y xy x l ，011112==I 但是2
121
1
1
11-
≠=，为无心型，它的
渐近方向为1:1::1112-=-=a a Y X ，
因此公共直径方程为
1
53
151+=--
y x ，整理得052=++y x 即0255=++y x 四、证明题（2×5=10分）
1. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以
构成一个三角形.
证明 因为)(2
1
),(21),(21+=+=+=
所以
)(21
)(21)(21=+++++=
++CB CA BC BA AC AB CN BM AL
因此AL , BM , 可 以构成一个三角形.
2. 证明直线453231-=
-+=-z y x 与直线⎪⎩
⎪
⎨⎧+-=+=+=1
2227
3t z t y t x 共面并求它们所在的平面的方程 证明 因为02448364824362234334
4
6
=+--+-=---=∆，所以两直线共面
而它们所在的平面方程为
02
2
3
433
5
21=---+-z y x ，整理得03715182=---z y x
五、利用坐标变换化简二次曲线04222=-++-y x y xy x 并作图（15分）
解 因为0431
2
121
1
2≠=-
-
=
I ,所以曲线为中心二次曲线，解方程组
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=-+-≡=+-≡0221),(012
1),(21y x y x F y x y x F
得中心的坐标为2,0==y x ，取)2,0(为新的原点，作移轴⎩⎨⎧+==2''
y y x x
原方程变为04''''22=-+-y y x x
再转轴消去''y x 项，设旋转角为α，则022cot 12
22
11=-=
a a a α 即
0tan 2tan 12=-α
α
， 从而可取4
π
α=
，所以得转轴公式为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧+=-=)""(21')""(21'y x y y x x ，经转轴后曲线的方程化简为最简形式 04"2
3"212
2=-+y x 或者写成标准形式
13
8"8
"2
2=+y x 这是一个椭圆，它的图形如图所示。