小学奥数练习卷（知识点：一笔画定理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共4小题）1．如图，某展览馆，甲场有2×2个展室，乙场有2×3个展室，丙场有2×4个展室，丁场有2×5个展室，各场内相邻展室之间都有门相通．从左上角“→”处进场，既不重复又不遗漏地走遍每个展室，然后从右下角的“0”处出场，能走成的是（）A．甲场B．乙场和丁场C．丙场D．都不能2．如图是小马新家的平面图．新家有6个房间，房间之间有门相通．小马想从某个房间出发，不重复地穿过所有的门走到F房间．那么，他出发的房间是（）房间．A．A B．B C．C D．D3．十八世纪俄国的哥尼斯堡城，一直困扰人们的七色桥引起了一个著名的数学家的注意，经过他的猜想，研究证明，得出了一笔画的几何规律．这位数学家是（）A．欧拉B．高斯C．牛顿4．近年来智能手机兴起，手机应用的图标也是纷繁多样，下面的几个图标中，能不重复地一笔画完的图标有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共23小题）5．如图最少笔可以画完．6．请你一笔画出下面的图形（从起点到终点，将依序过点的字母依次填在横线上，写出一种即可）：（起点）→→→→→→→→→→→→（终点）．7．一辆洒水车给一个社区街道洒水，地图如图．你能否设计一条洒水路线，使洒水车不重复地走遍所有街道，再回到出发点？你的答案为：（填“能”或者“不能”）．8．一辆洒水车给如图线段表示街道洒水，不重复、不遗漏地走遍这些街道．请用图中字母标出一种成功的走法：．→→…→．9．如图图形（填“能”或“不能”）一笔不重复得画出．如不能，请在图上添一条线，使它成为一笔画图形（如果能，则不必再填线）10．如图是可以一笔画出的，一共有种不同的一笔画法（起点、终点或顺序只要有一种不同，就算不同的画法）．11．瑞士数学家欧拉为解决“七桥问题”，提出了“一笔画问题”，成为后来解析几何的基础．．（判断对错）12．如图的图形（填“可以”或者“不可以”）用一笔画出．如果可以，应从点开始画（若第一个空格填“不可以”，则第二个空格不填；若第二个空格有多个点满足要求，需要将所有的点都写出来）．13．如图，你最少需要笔才能画出这个图形．14．如图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度行进．如果允许选择最短路径的话，能先走遍所有的街道（填“甲”或“乙”）15．如图为一个花园，线段表示花园中供行人行走的小路．园林工人要为花园里的花草浇水．如果要不重复地走遍毎条小路，应该以为入口，以为出口．16．如图一笔画是不可能的，最少添上条连线就可以一笔画成了．17．如图的图形中能不重复地一笔画出的有个．18．如图，四个三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一个大方形．从中去掉一些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是厘米．19．有16个点排成的4×4方阵，如图．请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点．20．某花园一套豪宅的房间（包括卫生间，厨房）的平面图如图所示．每相邻两房间都有门相通，问：从某个房间出发，不重复地走完每个房间．（注：在括号里填“能”或“不能”．）21．如图的图形，要求画出的线段不能重复画，那么这个图形最少笔才能画出．22．在3×5的棋盘上，一个棋子每次可以沿水平或竖直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动．从某些特定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不须回到原来出发的小方格上．在这15个小方格中，则有个小方格可以作为这个棋子的起点．23．从P点出发，一笔画出如图，不许走重复路线，一共有种不同的画法．24．在一个连通图中判断一笔画时，大于个奇数点的图形不能一笔画出．25．判断下面连通图，能一笔画的有．（填写代号）26．从图中的点出发到点结束，可以让你用笔在纸上连续不断且不重复地一笔画出图．27．图能一笔画出来吗？若能，请写出画的先后顺序；若不能，请说明理由．三．解答题（共23小题）28．如图能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？29．某花园的小径如右图所示．一个人能不能从图中第1个点的位置出发，不重复地走过所有小径？如果能，请标出所经过各点的顺序（如：1→2→3→ (1)如果不能，请标出至少必须重复的小径（如1→2，2→3，8→9或11→12等等）．30．如图，有一些写有数字的圆圈，请你用线段将水平或竖直方向的相邻圆圈连接起来，使得该图形成为一个连通的图形，要求水平或竖直方向的相邻两个圆圈之间最多只能连2条线段，而且每个圆圈里面的数字表示的是与该圆圈相连接的线段的条数．31．“九点连线”是一道著名的数学题，你能用一笔画4条连续的直线段，把图中所有的9个点都连起来吗？请你在下图画出来．32．用4条直线，一笔画将这12个点连在一起．33．下面是一张地图，从A点到B点，走遍每一条路，不能重复走，应该怎么走？（从A点到B点的线用编号表示）34．在由25个边长为1的正方形组成的5×5的方格网中有3个方格内已经标有3个数3、4、5（如图1所示）．请你用一条封闭的折线沿水平或竖直方向把其余22个方格的中心连接起来，要求这条折线在标有数字的方格的所有邻格（邻格指至少有一个公共边界点的两个方格）内发生拐弯的次数恰好与该数相等．问：这条封闭的折线有多少个拐弯处？（示例图2中折线有10个拐弯处）35．如图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？36．请你将下面的图形改成能一笔画成的图形：37．图中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？38．在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁（见图），它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D．已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？39．如图能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？40．下面哪个图形能一笔画出？在下面的□里画“√”41．你能不能笔尖不离开纸面地画出四条直线，使得他们通过下图中的九个点，不重不漏．42．下图是一个游乐场的平面图，要使游客走遍每一条路且不重复，问出入口应该设在哪里？43．游动物园．1．小明去猴山有条路．2．设计一条能参观所有景点的线路，线路不重复且能回到起点．用彩笔在图上画出来．44．能否沿此图上的线画出一条线，使得每个节点都恰好经过一次．45．在下面各图形中，加一条或几条线段后，一笔画出每个图形．46．下图是某少年宫的平面图，共有五个大厅，相邻两厅之间都有门相通（D 与E 两厅除外），并且有一个入口和一个出口．问游人能否从入口入，一次不重复地穿过所有的门？如果可以，请指明穿行路线；如果不能，请你想一想，关闭哪扇门后就可以办到？47．如图，两条河流的交汇处有两个小岛，有7座桥连接这两个岛及河岸，一个散步者能不能一次走遍这7座桥，而且每座桥恰好经过1次？48．图中哪些图形可以一笔画出，哪些不能？不能一笔画出的图形最少需要画几笔？49．如图是一座博物馆的示意图，游客从入口进入博物馆，是否能找到一条参观路线，每扇门恰好经过一次？50．在图中，哪些图形可以一笔画出？参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，某展览馆，甲场有2×2个展室，乙场有2×3个展室，丙场有2×4个展室，丁场有2×5个展室，各场内相邻展室之间都有门相通．从左上角“→”处进场，既不重复又不遗漏地走遍每个展室，然后从右下角的“0”处出场，能走成的是（）A．甲场B．乙场和丁场C．丙场D．都不能【分析】如图所示，甲丙情况类似，乙丁情况类似，由图可得结论．【解答】解：如图所示，甲丙情况类似，乙丁情况类似，由图可得从左上角“→”处进场，既不重复又不遗漏地走遍每个展室，然后从右下角的“0”处出场，能走成的是乙场和丁场，故选：B．【点评】本题考查一笔画定理，考查数形结合的数学思想，正确画出图形是关键．2．如图是小马新家的平面图．新家有6个房间，房间之间有门相通．小马想从某个房间出发，不重复地穿过所有的门走到F房间．那么，他出发的房间是（）房间．A．A B．B C．C D．D【分析】首先把图片转换成点线图，同时找到奇点个数，如果有0个或者是2个奇点是可以完成一笔画的，2个奇点一个做为起点另一个作为终点即可．【解答】解：依题意可知：把图进行转换成点线图为：奇点个数是2个分别是A，F两个，那么一个是终点，另一个就是起点一笔画问题，奇数点出发奇数点回．所以出发的是A．故选：A．【点评】本题考查对一笔画的理解和运用，关键问题是找到对应的奇点个数．问题解决．3．十八世纪俄国的哥尼斯堡城，一直困扰人们的七色桥引起了一个著名的数学家的注意，经过他的猜想，研究证明，得出了一笔画的几何规律．这位数学家是（）A．欧拉B．高斯C．牛顿【分析】根据数学知识可知：18世纪在哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，这一困扰人们的七色桥引起了一个著名的数学家的注意，经过他的猜想，研究证明，得出了一笔画的几何规律．这位数学家是欧拉；由此解答即可．【解答】解：十八世纪俄国的哥尼斯堡城，一直困扰人们的七色桥引起了一个著名的数学家的注意，经过他的猜想，研究证明，得出了一笔画的几何规律．这位数学家是欧拉；故选：A．【点评】本题属于基础性的数学常识，对于一些数学家和其主要研究成果要知道．4．近年来智能手机兴起，手机应用的图标也是纷繁多样，下面的几个图标中，能不重复地一笔画完的图标有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件：即图形是封闭联通的和图形中的奇点（与奇数条边相连的点）个数为0或2；据此解答即可．【解答】解：图一有6个奇点，不能一笔画；图二没有奇点，能一笔画；图三有2个奇点，能一笔画；图四有4个奇点，不能一笔画；综上所述，能不重复地一笔画完的图标有2个；故选：B．【点评】本题考查的是笔画问题，能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画．对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答．二．填空题（共23小题）5．如图最少5笔可以画完．【分析】先数出图形中奇点的个数，共有10个，然后根据“奇点数÷2=笔画数”解答即可．【解答】解：图中共有10个奇点，那么需要的笔画数是：10÷2=5（笔）；答：最少5笔可以画完．故答案为：5．【点评】笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成．公式如下：奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n．6．请你一笔画出下面的图形（从起点到终点，将依序过点的字母依次填在横线上，写出一种即可）：（起点）E→A→B→E→F→G→E→D→G→C→F→B→（终点）．【分析】首先找到题中的奇点是B和E．只有两个奇点可以完成一笔画．一个是起点一个是终点即可．【解答】解：依题意可知：E和B是奇点．故答案为：E→A→B→E→F→G→E→D→G→C→F→B→（终点）．（不唯一）【点评】本题考查对一笔画的理解和运用，关键找到题中的奇点，问题解决．7．一辆洒水车给一个社区街道洒水，地图如图．你能否设计一条洒水路线，使洒水车不重复地走遍所有街道，再回到出发点？你的答案为：不能（填“能”或者“不能”）．【分析】由题意，奇点为商场与服装城，其余均为偶点，两个奇点必然一个为起点、一个为终点才能一次不重复的走遍，可得结论．【解答】解：由题意，奇点为商场与服装城，其余均为偶点，两个奇点必然一个为起点、一个为终点才能一次不重复的走遍，所以不能再回到出发点．故答案为：不能．【点评】本题只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点．8．一辆洒水车给如图线段表示街道洒水，不重复、不遗漏地走遍这些街道．请用图中字母标出一种成功的走法：→→→→→→→．．→→…→．【分析】在这题中奇数点是E和A，其他点都是偶数点，从奇数点出发到另一个奇数点结束．【解答】解：→→→→→→→．【点评】走法不唯一，也可以从E点出发到A点结束．9．如图图形不能（填“能”或“不能”）一笔不重复得画出．如不能，请在图上添一条线，使它成为一笔画图形（如果能，则不必再填线）【分析】有 2 个奇点或0 个奇点的图形才能一笔画成．该图中有 4 个奇点，所以不能一笔画成．【解答】解：有 2 个奇点或0 个奇点的图形才能一笔画成．该图中有4 个奇点，所以不能一笔画成．添线如上图红色部分（方法不唯一）．故答案为不能【点评】本题考查一笔画问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用有 2 个奇点或0 个奇点的图形才能一笔画成．10．如图是可以一笔画出的，一共有12种不同的一笔画法（起点、终点或顺序只要有一种不同，就算不同的画法）．【分析】首先分奇点数为2分别是A，B可以完成一笔画，同时A，B一个是起点一个是终点．考虑其中的一个再乘2即可．【解答】解：依题意可知：首先分析奇点数为2分别是A，B．那么先考虑从A﹣B过程．如果是A﹣C﹣B后面就是2种；如果是A﹣D﹣B后面还是有2种；如果是A﹣B后面有2种；所以从A﹣B共6种．那么从B﹣A也是6种共12种．故答案为：12【点评】本题考查对一笔画的理解和运用，关键问题是找到起点和终点同时枚举法直接易懂．问题解决．11．瑞士数学家欧拉为解决“七桥问题”，提出了“一笔画问题”，成为后来解析几何的基础．×．（判断对错）【分析】瑞士数学家欧拉为解决“七桥问题”，提出了“一笔画问题”，由此引导了图论和拓扑学的发展；而不是解析几何的基础，由此求解．【解答】解：瑞士数学家欧拉为解决“七桥问题”，提出了“一笔画问题”，由此引导了图论和拓扑学的发展；解析几何是在笛卡尔发表的《几何学》的基础上发展而来的；原题说法错误．故答案为：×．【点评】熟知一些数学常识是解决本题的关键．12．如图的图形可以（填“可以”或者“不可以”）用一笔画出．如果可以，应从N或M点开始画（若第一个空格填“不可以”，则第二个空格不填；若第二个空格有多个点满足要求，需要将所有的点都写出来）．【分析】这幅图上有两个奇点N和M，所以能一笔画，可以从一个奇点开始到另一个奇点结束．【解答】解：如图的图形可以用一笔画出，应从N或M点开始画．故答案为：可以，N或M．【点评】本题考查的是笔画问题，能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画．对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答．13．如图，你最少需要2笔才能画出这个图形．【分析】笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成．公式如下：奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n．据此解答即可．【解答】解：图中共有4个奇点，那么需要的笔画数是：4÷2=2（笔）；答：最少需要2笔才能画出这个图形．故答案为：2．【点评】本题属于一笔画的规律，关键是正确找到奇点的个数．14．如图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度行进．如果允许选择最短路径的话，甲能先走遍所有的街道（填“甲”或“乙”）【分析】由题意，A，D的节点的个数为奇数，其余点的节点的个数为偶数，所以甲能先走遍所有的街道．【解答】解：由题意，A，D的节点的个数为奇数，其余点的节点的个数为偶数，所以甲能先走遍所有的街道，A为起点，D为终点．故答案为甲．【点评】一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点．15．如图为一个花园，线段表示花园中供行人行走的小路．园林工人要为花园里的花草浇水．如果要不重复地走遍毎条小路，应该以A或G为入口，以G 或A为出口．【分析】图中有2个奇点（A和G），6个偶点，有2个奇点，偶数个偶点，可以一笔完成；根据一笔画定理：奇数进，奇数出即可求解．【解答】解：根据一笔画定理以奇点为入口，奇点为出口所以：A点为入口，G 点为出口或者G点为入口，A点为出口．故答案为：A，G或G，A．【点评】凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点．16．如图一笔画是不可能的，最少添上2条连线就可以一笔画成了．【分析】只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画．原图中有6个奇点，把这6个奇点中的4个分成2组，分别加上一条线段变成偶点，就可以一笔画成了．【解答】解：如图，加上2条线段，变成只有2个奇点，就可以一笔画成：故答案为：2．【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图才能一笔画成．17．如图的图形中能不重复地一笔画出的有3个．【分析】根据一笔画的特性，图中都是连通图，与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点，与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点，凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成，凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．【解答】解：第1、3个图，全是偶点，能一笔画出；第2个图，1个奇点；第4个图，2个奇点，能一笔画出；第5个图，4个奇点，所以能不重复地一笔画出的有3个．故答案为3．【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图猜能一笔画成，难度适中．18．如图，四个三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一个大方形．从中去掉一些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是7厘米．【分析】首先分析能完成一笔画需要有2个奇点或者没有奇点．图中8个奇点变成2个即可．【解答】解：依题意可知：图中有8个奇点，需要去掉三条边剩余2个奇点，无论去掉两条长度为3的和长度为1的，还是去掉长度为5的和两条长度为1的总和都是7．故答案为：7【点评】本题考查对一笔画的理解和运用，关键是枚举最短的即可，问题解决．19．有16个点排成的4×4方阵，如图．请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点．【分析】要能一笔完成，需要都是偶点，或者只有两个奇点，只使用横竖无论怎么样都不能够完成，因此使用斜线构造．【解答】解：如下图：【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图才能一笔画成．20．某花园一套豪宅的房间（包括卫生间，厨房）的平面图如图所示．每相邻两房间都有门相通，问：不能从某个房间出发，不重复地走完每个房间．（注：在括号里填“能”或“不能”．）【分析】能够一笔画成的图形，首先必须要相连，结果不相连就一定不能一笔画成．能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画；先把房间抽象成一个点，然后连线，看一下是否符合一笔画定理即可求解．【解答】解：把每个房间都看成一个点，则这个图形就是：这样图中一共有5个奇点，不能一笔画，也就是不能从某个房间出发，不重复地走完每个房间．故答案为：不能．【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图才能一笔画成．21．如图的图形，要求画出的线段不能重复画，那么这个图形最少5笔才能画出．【分析】数出一共有多少个奇点，奇点数除以2就是需要画的笔数．【解答】解：一共有10个奇点，需要的笔画数是：10÷2=5（笔）；答：这个图形最少笔才能画出．故答案为：5．【点评】对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成．公式如下：奇点数÷2=笔画数．22．在3×5的棋盘上，一个棋子每次可以沿水平或竖直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动．从某些特定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不须回到原来出发的小方格上．在这15个小方格中，则有8个小方格可以作为这个棋子的起点．【分析】把3×5的图中的格子标号如下：找出每次可以沿水平或竖直方向移动一小格，不重复的走完全程的路线，进而求解．【解答】解：（1）从四个顶点所在的格子中的任意一个出发，都可以，如从A 格出发：同理从E、K、O都可以作为起点，一共有4个起点；（2）C作为起点，如下图：同理M也可以作为起点，一共有2个起点；（3）I格出发，可以不重复走完全程：同理从G出发也可以走完全程不重复，有2个起点．4+2+2=8（个）；答：有8个小方格可以作为这个棋子的起点．故答案为：8．【点评】本题根据限制条件，找出所有的路线，进而求解．23．从P点出发，一笔画出如图，不许走重复路线，一共有512种不同的画法．【分析】先从其中的一部分进行研究，直接从外圆画有两种画法（左右），直接从内圆有两种画法（左右），直接画内三角接内圆（左右）有两种画法，那么一共有2×2×2=8种方法，三角形的三个角的部分各有8种方法，再根据乘法原理即可求出全部的不同的画法．【解答】解：2×2×2=8（种）8×8×8=512（种）答：一共有512种不同的画法．故答案为：512．【点评】解决本题先找出每一部分不同的画法，再进一步利用乘法原理求解．24．在一个连通图中判断一笔画时，大于2个奇数点的图形不能一笔画出．【分析】一笔画的规律是：（1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成．画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图．（2）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点．（3）其他情况的图都不能一笔画出．【解答】解：根据分析可得：在一个连通图中判断一笔画时，大于2个奇数点的图形不能一笔画出．故答案为：2．【点评】本题考查的是一笔画问题，能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画．对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答．25．判断下面连通图，能一笔画的有a、b、d．（填写代号）【分析】按照一笔画定理，每个部图形只能含有两个奇点活0个奇数点，据此数出各图的奇数点判断即．【解答】解：根据分析可得，图a：奇数点有2个，所以能一笔画，图b：奇数点有2个，所以能一笔画，。