小学奥数练习卷（知识点：最短线路问题）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共5小题）1．如图，一只蚂蚁从中心A点出发，连走5步后又回到A点，且中间没有回到过A点．有（）种不同的走法．（每一步只能从任意一点走到与它相邻的点，允许走重复路线．）A．144B．156C．168D．1802．如图，ABCD由6个边长为l的小正方形拼成，一甲虫沿图中的线段从A爬到C，所走的最短路线有（）条．A．8B．10C．12D．163．小红的家住在花园小区，在这个小区里一共有5个居民新村，它们分别坐落在小区的公路两旁，每两个相邻居民新村之间的距离都是500米，它们的位置和居民人数如下图所示，为了便于小区居民出行，决定在小区内选择一个居民新村设立公交车站．那么公交车站的站点应该设在（）A．花园一村B．花园二村C．花园三村D．花园四村4．如图，在长方形ABCD中，沿图中线段从A到C的最短路程的不同方法共有（）种A．2B．4C．6D．85．如图，在一张道路图中，每段路旁标注的数值表示走这段路所需的时间（单位：分钟），那么从A出发走到B最快需要（）分钟．A．14B．15C．16D．17第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共32小题）6．在一个2×2×2的金属框架上，一只蚂蚁沿着框架从A点爬到B点，已知蚂蚁沿着最短的路径爬到B点，那么它共有种不同的走法．7．如图是一个电子小虫的玩具盒．玩具盒是一个长方形，其长为50厘米，宽为40厘米．电子小虫的爬行速度是每秒3厘米．如果他只能沿着图中的直线爬行，那么它从起点到终点用时30秒的走法有种．8．在沙漠之国，律子小姐发现了一波爬上金字塔的小春香，爬上金字塔的路线如图，小春香能从一块砖爬到相邻的任何一块砖．律子小姐发现在攀登金字塔的过程中，爬上金字塔的最短路线（即经过的砖块数量最少的路线）都有小春香走过，而且任意两只小春香走的路线不同，这波小春香有只．9．如图所示，某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南，由西向东）则共有种不同的走法．10．图中的线段表示的是小明从家到学校所经过的所有街道．小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校而走冤枉路，那么他从家到学校可以有条不同的路线．11．如图，要把棋子从A 处移到B 处，要求只能向上、向右移动，共有种不同的移动路线．12．三（1 ）班的学生要从学校到老年公寓去慰问，如下图就是学校到老年公寓所走道路的分布图，标“⊗”处的路口行人不准通行，请问从学校到老年公寓有种最近的走法．13．邮递员从邮局出发，走遍下图（单位：千米）中所示的所有街道，最后回到邮局，全程最短有千米．14．如图是某经济技术开发区街道平面图．如果你带领客人游览完所有的街道，你至少要驱车行驶多少千米？（单位：千米）15．小军从学校到电影院看电影，所经过的道路分布如图，其中标的路口不能通过，那么他共有种最短线路的走法．16．如图中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A 点出发，不许走重复路，他最少走米才能到达 B 点．17．如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有种不同的走法．18．下图是北京市地铁线路图（部分），魏老师某天要从海淀黄庄坐地铁去蒲黄榆教学点开家长会，从魏老师在海淀黄庄站上车算起，到在蒲黄榆站下车结束，最少需要坐站地铁．（不需要考虑换乘次数）19．如图所示，从A点走到B点，沿线段走最短路线，共有种不同走法．20．如图，小张驾车从T出发，经过A，B，C，D，E各一次后，最后回到T，不允许走重复路线．图中道路旁边的数值表示汽车经过这段公路所用的小时数．小张完成计划的行程至少要用小时．21．小明骑车到A、B、C三个景点去旅游，如果从A地出发经过B地到C地，共行10千米；如果从B地出发经过C地到A地，共行13千米；如果从C地出发经过A地到B地，共行11千米，则距离最短的两个景点间相距千米．22．某城市的交通系统由若干个路口（如图中线段的交点）和街道（右图中的线段）组成，每条街道都连接着两个路口．所有街道都是双向通行的，且每条街道都有一个长度值（标在图中相应的线段处）．一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道最后返回邮局（每条街道可以经过不止一次）．他合理安排路线，可以使得自己走过最短的总长度是．23．国际象棋中“马”的走法如图1所示，位于○位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图2中标有△的位置），要走到第八行第五列（图2中标有★的位置），最短路线有条．24．如图，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条．25．如图，8个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条．26．如图是一个道路图，A处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有60个孩子到过路口B，则先后共有个孩子到过路口C．27．如图中表示的是一些城镇之间的道路图，各城镇之间的距离如图所示，从A 到B的最短路程是．28．一位旅行者要从A城出发去B城，但途中他要让马儿去河边饮水，有三条线路供他走，如图所示，他应该将马牵到点去饮水，这样走的路程最短．29．用边长为1厘米的正方形瓷砖，黑白相间，铺成一个4×6的矩形（如图）．一只蚂蚁从左上角的A点的出发沿正方形的边爬到右下角的B点．如果蚂蚁在爬行中，它的左边必须始终是黑色的瓷砖，那么蚂蚁至少爬行了厘米．30．如图，C处由于施工不能通行，从A走到B的最短路线一共有条．31．在图中，要从A走到B，不能经过C、D两点，如果只能向右、向上或斜上方走，一共有种不同的走法．32．一个旅游团要从A城到B城去观光旅游，路线如图．他们要选择合适的路线，才能在最短的时间内到达B城．图中的数是表示走这段路程时必需的时间（单位：分钟）．那么，从A城到B城最短需要分钟．33．从学校到电影院的路线图：其中A点在建筑施工，不能通行．如果学校要组织学生看电影，那么有条最短路线．34．一个圆柱体的底面周长是8厘米，高是3厘米（如图所示），一只蚂蚁从A 点爬到B点的最短路线长厘米．35．图中相当于一个棋盘，警察先走，双方交替走棋，每次只能沿线走一步．请问警察最少需要步才能抓住小偷．36．有10个村庄，分别用A1，A2，…，A10表示，某人从A1出发按箭头方向绕一圈最后经由A10再回到A1，有种不同走法？注：每点（村）至多过一次，两村之间，可走直线，也可走圆周上弧线，但都必须按箭头方向走．37．在如图的街道示意图中，C处因施工不能通行，从A到B的最短路线共有条．三．解答题（共13小题）38．一个城市交通道路如图，数字表示各段路的路程（单位：千米），求出图中从A到F的最短路程．39．如图所示，从A到B，步行走粗线道ADB需要32分钟，乘车细线道A→C→D→E→B需22.5分钟．已知D→E→B段的距离是D→B段距离的4倍，A→C→D段的距离是A→D段的距离的5倍，车速是步行速度的6倍，问先从A至D步行，再从D→E→B乘车所需要的总时间是多少分钟？40．一个邮递员投送信件的街道如图3所示，图上数字表示各段街道的千米数．他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？41．小明要从学校出发去少年宫参加活动，如图是学校到少年宫的路线图，直线表示可通行的道路．如果小明要尽快到达少年宫，他一共有多少条不同的最短路线可以走？42．王大伯从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到积肥潭里（B点处）．请帮他找一条最短路线，在图中表示出来，并写出过程．43．如图，一个牧童从甲地出发，赶着羊群先到河边饮水，再将羊群赶到乙地吃草．已知从甲地到河边饮水点，以及从饮水点到乙地都是直线路程，请问应该怎么选择河边饮水点的位置，使羊群所走的路线为最短？请在图上表示出来并作文字说明．44．如图，A是邮局，B，C，D，E，F是五户人家．相邻两家的路程如图标所示，邮递员从邮局出发要给这5户人家送信（每家都有信），要求最后把信送到D 户．问：邮递员走的最短路程是多少米？45．方格网上有三个地点A，B，C，每个小方格的边长为100米．如果沿着网格线修路把三个地点连起来，问：修的总路长最短为多少米？46．如图是某地区的街道示意图，由图书馆到汽车站，要求走最短的路线，共有多少种不同的走法？47．某地风景区的旅游路线如图所示，其中B、C、D为风景点，E为两条路的交叉点，图中数据为相应两点间的路程（单位：千米）．一学生从A处出发，以每小时2千米的速度步行浏览，每个景点的逗留时间为0.5小时．（1）当他沿着路线A﹣D﹣C﹣E﹣A游览回到A处时，共用了3小时，求CE 的长．（2）若此学生打算从A处出发后，步行速度与在景点逗留的时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A处，请你为他设计一条步行时间最短的步行路线，并计算出这条路线步行的时间（不考虑其他因素）．48．这是一张台球桌面的示意图，图中所有的小方格都是正方形，现在点A处沿AB方向将小球击出，请问小球与桌沿碰撞几次后能达到点M处？请画出小球由点A至点M的运动路径．49．如图所示，AB、CD表示两条海岸线，O是小岛，若某只小船从O岛出发，先到AB海岸接人，再到CD海岸接人，最后回到O岛上，小船走什么路线最短，请画出示意图或用语言描述．50．如图为一变种蜘蛛的蜘蛛网，已知蜘蛛只会向上或向右爬行．若某只蜘蛛由A点爬行至B点，问它共有多少种可能路线？参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．如图，一只蚂蚁从中心A点出发，连走5步后又回到A点，且中间没有回到过A点．有（）种不同的走法．（每一步只能从任意一点走到与它相邻的点，允许走重复路线．）A．144B．156C．168D．180【分析】从A出发有两个方向．可以走B和C两大类．分类讨论，利用乘法原理可得结论．【解答】解：从A出发有两个方向．可以走B和C两大类．（1）如果走的是B，接下来也是三大类，C，D，E．这样已经走了两步，还剩三步．从C三步回A共8种，从D三步回A共5种，从E三步回A共6种．所以走的是B共8×2+5×2+6=32种．（2）如果走的是C，那么接下来是两大类，B，D．从B三步回A共9种．从D 三步回A共5种．所以走的是C共9×2+5×2=28种．共（28+32）×3=180种．故选：D．【点评】本题考查最短路线问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．2．如图，ABCD由6个边长为l的小正方形拼成，一甲虫沿图中的线段从A爬到C，所走的最短路线有（）条．A．8B．10C．12D．16【分析】利用标数法求出所走的最短路线的条数即可．【解答】解：如图，向上走由5条线路，向下走有5条线路，所以一共有10条线路．故选：B．【点评】此题考查利用标数法求最短线路问题，注意方向和线路的不同．3．小红的家住在花园小区，在这个小区里一共有5个居民新村，它们分别坐落在小区的公路两旁，每两个相邻居民新村之间的距离都是500米，它们的位置和居民人数如下图所示，为了便于小区居民出行，决定在小区内选择一个居民新村设立公交车站．那么公交车站的站点应该设在（）A．花园一村B．花园二村C．花园三村D．花园四村【分析】花园小区花园一村到花园三村之间的距离是2个500米，花园五村到花园三村的距离是2个500米所以公交车站的站点应该设在花园三村．【解答】解：因为花园一村到花园三村之间的距离是2×500=1000（米）花园五村到花园三村的距离是2×500=1000（米）花园一村和花园五村到花园三村的距离相等，所以公交车站的站点应该设在花园三村．故选：C．【点评】解答本题关键求出到最远两村距离相等的中间点，然后确定出位置．4．如图，在长方形ABCD中，沿图中线段从A到C的最短路程的不同方法共有（）种A．2B．4C．6D．8【分析】本题利用加法原理的“标数法”，在交叉点上标数解答比较简单．【解答】解：根据分析画图如下，答：在长方形ABCD中，沿图中线段从A到C的最短路程的不同方法共有6种故选：C．【点评】这种类型的最短路程问题，在标数的时候要按顺序标注，不要走“回头路”．5．如图，在一张道路图中，每段路旁标注的数值表示走这段路所需的时间（单位：分钟），那么从A出发走到B最快需要（）分钟．A．14B．15C．16D．17【分析】如图，，根据每段路旁标注的数值表示走这段路所需的时间，按照A→C→D→E→F→G→B的路线走时，从A出发走到B需要的时间最短，据此把走每段路用的时间求和，求出从A出发走到B最快需要多少分钟即可．【解答】解：3+2+（4+1+2）+3=5+7+3=15（分钟）答：从A出发走到B最快需要15分钟．故选：B．【点评】此题主要考查了最短线路问题，解答此题的关键是判断出：按照A→C→D→E→F→G→B的路线走时，从A出发走到B需要的时间最短．二．填空题（共32小题）6．在一个2×2×2的金属框架上，一只蚂蚁沿着框架从A点爬到B点，已知蚂蚁沿着最短的路径爬到B点，那么它共有90种不同的走法．【分析】蚂蚁沿着最短的路径爬到B点的方法共6步，两次上、两次右和两次前进，简单来说，就是“上上右右前前”的排列，从6步里选2步向上，再从剩下的4步选2步向右，利用组合知识可得结论．【解答】解：蚂蚁沿着最短的路径爬到B点的方法共6步，两次上、两次右和两次前进，简单来说，就是“上上右右前前”的排列，从6步里选2步向上，再从剩下的4步选2步向右．所以就是=90种．故答案为90．【点评】本题考查最短路线问题，考查组合知识的运用，确定蚂蚁沿着最短的路径爬到B点的方法共6步，两次上、两次右和两次前进是关键．7．如图是一个电子小虫的玩具盒．玩具盒是一个长方形，其长为50厘米，宽为40厘米．电子小虫的爬行速度是每秒3厘米．如果他只能沿着图中的直线爬行，那么它从起点到终点用时30秒的走法有12种．【分析】电子小虫的爬行速度是每秒3厘米，30秒到达所行路程是：30×3=90厘米，正好等于长方形的一条长与一条宽的和：50+40=90厘米，所以他只能沿着图中的直线向上爬行或向右爬行，不可向下和向左爬行就能按时到达终点，据此利用“标数法”标数即可得出答案．【解答】解：电子小虫按时到达所行路程是：30×3=90厘米，正好等于长方形的一条长与一条宽的和：50+40=90厘米，所以他只能沿着图中的直线向上爬行或向右爬行，不可向下和向左爬行就能按时到达终点．走法如下：由图可以看出一共有12种走法．故答案为：12．【点评】本题考查了最短线路问题，寻找最短路线，不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复，不遗漏．8．在沙漠之国，律子小姐发现了一波爬上金字塔的小春香，爬上金字塔的路线如图，小春香能从一块砖爬到相邻的任何一块砖．律子小姐发现在攀登金字塔的过程中，爬上金字塔的最短路线（即经过的砖块数量最少的路线）都有小春香走过，而且任意两只小春香走的路线不同，这波小春香有32只．【分析】因为任意两只小春香走的路线不同，所以有多少条不同的行走路线，就有多少只小春香，然后利用“标数法”标数解答即可．【解答】解：根据加法原理标数如下：由图可以看出一共有32条不同的最短行走路线，也就是这波小春香有32只．故答案为：32．【点评】本题考查了最短线路问题，寻找最短路线，不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复，不遗漏．注意本题不可以横走，只能向上走，这样才能保证经过的砖块数量最少．9．如图所示，某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南，由西向东）则共有12种不同的走法．【分析】只能由北向南，由西向东，就是最短的路线，运用标数法进行求解，标出A到B的路线，然后根标数进行求解．【解答】解：根据只能由北向南，由西向东的方法，把从A走到B的路线标数如下：7+5=12一共有12种不同的走法．故答案为：12．【点评】本题考查了根据加法原理，利用“标数法”求行走路线的条数，注意不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复数，也不遗漏．10．图中的线段表示的是小明从家到学校所经过的所有街道．小明上学走路的方向都是向东或向南，因为他不想偏离学校而走冤枉路，那么他从家到学校可以有13条不同的路线．【分析】不走冤枉路，就是走最短路线，根据标数法进行求解即可．【解答】解：根据题意标数如下：一共有13条不同的路线．故答案为：13．【点评】利用求最短路线的方法：“标数法”时，要注意纵向和横向边沿的走法．11．如图，要把棋子从A 处移到B 处，要求只能向上、向右移动，共有11种不同的移动路线．【分析】解法一：标上字母，找出所有的路线；解法二：运用标数法进行求解．【解答】解：解法一：为了叙述的方便，我们在各交叉点标上字母（见图）；我们从A点出发，先顺序往上推：①A﹣C﹣D﹣B；②A﹣C﹣F﹣O﹣B；③A﹣C﹣﹣F﹣J﹣B；④A﹣C﹣H﹣K﹣B；⑤A﹣C﹣O﹣B；再从A点向右推：①A﹣E﹣F﹣J﹣B；②A﹣E﹣F﹣H﹣K﹣B；③A﹣L﹣G﹣H﹣K ﹣B；④A﹣L﹣G﹣O﹣B；⑤A﹣M﹣I﹣O﹣B；⑥A﹣N﹣B．因此共有：5+6=11（种）．解法二：或见右图，与B点相邻的两个点，经过它们的路线分别有5条和6条，因此共有：5+6=11（条）．所以：要把棋子从 A 处移到B 处，要求只能向上、向右移动，共有11种不同的移动．故答案为：11．【点评】要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复，也不遗漏．12．三（1 ）班的学生要从学校到老年公寓去慰问，如下图就是学校到老年公寓所走道路的分布图，标“⊗”处的路口行人不准通行，请问从学校到老年公寓有11种最近的走法．【分析】要使路线最短，那么就只能朝着一个方向走，运用标数法，标出所有的路线即可求解．【解答】解：标数如下：一共有：7+4=11（种）；答：从学校到老年公寓有11种最近的走法．故答案为：11．【点评】本题考查了根据加法原理，利用“标数法”求行走路线的条数，注意不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来排列可能路线，做到不重复数，也不遗漏．13．邮递员从邮局出发，走遍下图（单位：千米）中所示的所有街道，最后回到邮局，全程最短有44千米．【分析】图中共有6个奇点，必须在6个奇点间添加3条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，所示，共添加3条连线，这3条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30千米．【解答】解：如图：红色线条是走两边的街道，其它是只走一边的街道：3+3+（3+3）×2+3+1+3×2+2×2+3+3+3+3=44（千米）；答：走完全程最少需要走44千米．故答案为：44．【点评】解决此题的关键是按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点，且要考虑重复走的路程最短，总路程就最短．14．如图是某经济技术开发区街道平面图．如果你带领客人游览完所有的街道，你至少要驱车行驶多少千米？（单位：千米）【分析】要使驱车行驶的路程最少，首先需要减少重复走的路程，本题属于不能“一笔画”的图形，是“多笔画图形”；因为整个图的奇数点有4个，所以至少需要4÷2=2笔能画完，所以走的路程是内外两个正方形的周长加上两条对角线的长度，这是必须走的路程，由于是两笔画图形，所以至少还需要再重复走内部最短的一条3千米的街道，因此总路程是：（3+3）×6+4×4+3=55（千米）；据此解答．【解答】解：根据分析可得，（3+3）×6+4×4+3，=36+16+3，=55（千米）；答：至少要驱车行驶55千米．【点评】本题主要研究了利用奇偶点来判别一笔画，学习了利用一笔画来研究一些简单的实际问题．然而，实际生活中，许多问题的图并不能一笔画出，也就是说，一笔画理论往往不能直接用来解决这些问题，要转化为多笔画来解决实际问题；知识点：笔画数=奇点数÷2．15．小军从学校到电影院看电影，所经过的道路分布如图，其中标的路口不能通过，那么他共有30种最短线路的走法．【分析】要使行走的路线最短，只能横向向右行走或纵向向下行走，以此为依据，从A到P只有2种走法；然后利用求最短路线的方法：“标数法”就可一次标出每个交叉点的走法．【解答】解：标数如下：一共30种最短线路的走法．故答案为：30．【点评】利用求最短路线的方法：“标数法”时，要注意纵向和横向边沿的走法．16．如图中每个小正方形的边长都是100 米．小明沿线段从A 点出发，不许走重复路，他最少走600米才能到达 B 点．【分析】本题从A到B的路线比较多，不可能都列举出来，所以要转变思考的角度，通过观察可知：无论怎么走都一定要横向走3条小线段，同理，竖向也走3条小线段，因此他最少走6个100米才能到达B点．【解答】解：根据分析可得，100×（3+3），=600（米）；答：他最少走600米才能到达B点．故答案为：600．【点评】本题考查了最短线路问题，注意寻找最短路线，不能走“回头路”，要按照一定的逻辑次序来分析．17．如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有6种不同的走法．【分析】本题可以这样想：因为A点是相邻的三个正方形的面的交点，经过这三个面各有一条最短路线，这样有3种选择，接下来再从其中一个面到B个面又有相邻的两个面可供选择，所以根据乘法原理，可得共有：3×2=6种不同的走法；据此解答．【解答】解：根据分析可得，共有：3×2=6（种），答：蚂蚁有6种不同的走法．故答案为：6．【点评】本题结合立体图形中最短路线问题灵活地考查了乘法原理，是个好题，关键是理解：它不论怎么走总要走正方形的面上．18．下图是北京市地铁线路图（部分），魏老师某天要从海淀黄庄坐地铁去蒲黄榆教学点开家长会，从魏老师在海淀黄庄站上车算起，到在蒲黄榆站下车结束，最少需要坐15站地铁．（不需要考虑换乘次数）【分析】本题给出的路线较多，观察找出哪一条线路中两站之间的距离较大的线路，从而数出经过的站数进而求解．【解答】解：最短的路线是：海淀黄庄﹣﹣知春里﹣﹣知春路﹣﹣大钟寺﹣﹣西直门﹣﹣车公庄﹣﹣阜成门﹣﹣复兴门﹣﹣宣武门﹣﹣和平门﹣﹣前门﹣﹣崇文门﹣﹣瓷器口﹣﹣天坛东门﹣﹣蒲黄榆，一共坐了15站．故答案为：15．【点评】本题仔细看清楚所有的路线，数清楚经过的站数是本题的解题关键．19．如图所示，从A点走到B点，沿线段走最短路线，共有18种不同走法．【分析】利用标数法，数出所有的可能即可求解．【解答】解：标数如下：。