江西省南昌三中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题一．选择题（3×10=30） 1.等差数列3,7,11,,---的一个通项公式为 （ ）A. 47n -B. 47n --C. 41n +D. 41n -+ 2．在等差数列}{n a 中,5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =（ ）A ．7B ．15C ．20D ．253.若等比数列{}n a 的前n 项和为a 3S 1n n +=+，则常数a 的值等于（ ）A ．3-B ．1-C ．13-D ．134.正项等比数列{}n a 中，252645342=++a a a a a a ，则=+53a a （ ）A. 25B. 16C. 5D. 4 5.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69SS =（ ） A. 3 B. 83C. 73 D. 26 ．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ）A ．若13a a =,则12a a =B ．若31a a >,则42a a >C ．1322a a a +≥D ．2221322a a a +≥ 7.若数列{}n a 满足：119a =，13(*)n n a a n +=-∈N ，则数列{}n a 的前n 项和数值最大时，n 的值是( )A.6B.7C.8D.9 8.已知＝（－2，1），＝（－2，－3），则在方向上的投影为（ ）A.－1313B. 0C.1313D.19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（ ）A ．100101B ．99101C ．99100D ．10110010．若数列{}()为常数满足d N n d a a a nn n ,111*+∈=-，则称数列{}n a 为“调和数列”.已知正项数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“调和数列”，且90921=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++b b b ，则64b b ⋅的最大值是（ ）A.10B.100C.200D.400二．填空题（4×5=20）11. 若c b a ,,成等比数列，则函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交点的个数是______个. 12.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = .13．已知ABC ∆,则其最大角的余弦值为_________. 14. 若.082,,=-+∈+xy y x R y x 且则y x +的最小值为 15．在数列{}n a 中，*111001,,(),n n a a a n n N a +=-=∈则的值为 三．解答题（10×5=50）16． (10分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)求数列{}2n a的前n 项和S n .17. (10分)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =- ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（10分）已知平面向量a )1,3(-=,b )23,21(= （Ⅰ）若存在实数t k 和,满足x )2(+=t a)5(2--+t t b ，y k -=a 4+b 且x ⊥y ，求出k 关于t 的关系式)(t f k=；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论,试求出函数)(t f k =在)2,2(-∈t 上的最小值.19．(10分)在△ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证,,a b c 成等比数列;(Ⅱ)若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .20. （10分）已知}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式：（Ⅱ）等比数列}{n b 满足：1,2211-==a b a b ，若数列n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n S .南昌三中2013-2014学年度下学期期中考试高一数学答卷二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 12. 13. 14. 15.三．解答题（10×5=50）16． (10分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)求数列{}2n a的前n 项和S n .17. (10分)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =- ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（10分）已知平面向量a )1,3(-=,b )23,21(= （Ⅰ）若存在实数t k 和,满足x )2(+=t a)5(2--+t t b ，y k -=a 4+b 且x ⊥y ，求出k 关于t 的关系式)(t f k =；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论,试求出函数)(t f k =在)2,2(-∈t 上的最小值.19．(10分) (10分)在△ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证,,a b c 成等比数列;(Ⅱ)若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .20. （10分）已知}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式：（Ⅱ）等比数列}{n b 满足：1,2211-==a b a b ，若数列n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n S .南昌三中2013—2014学年度下学期期中考试高一数学答案二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）11. 0 12. 32-n 13. 42-14. 18 15. 4951 三．解答题（10×5=50）16． (10分)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)求数列{}2n a的前n 项和S n .[解] (1)由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得： 1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)， 故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n . (2)由(1)知na 2＝2n ，由等比数列前n 项和公式得：S n ＝2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.17. (10分)已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =- ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解（Ⅰ）当1n =时， 1122S a =- ，1122a a =-，∴123a =；即13(2)n n a a n -=≥，又10n a -≠ 113n n a a -∴=(2)n ≥ ，∴数列{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列．5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知12()3n n b n =⋅+ ，∴2311112()()()(123)3333n n T n ⎡⎤=+++++++++⎢⎥⎣⎦10分18.（10分）已知平面向量a)1,3(-=,b )23,21(= （Ⅰ）若存在实数t k 和,满足x )2(+=t a)5(2--+t t b ，y k -=a 4+b 且x ⊥y ，求出k 关于t 的关系式)(t f k=；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论,试求出函数)(t f k =在)2,2(-∈t 上的最小值.【答案】（Ⅰ）0a b ⋅=12== -----------------2分 ∴222(2)()4(5)()0x y t k a t t b ⋅=-+⋅⋅+--⋅= ----------3分∴25)(2+--==t t t t f k （2-≠t ） ------------------4分（Ⅱ）521225)(2-+++=+--==t t t t t t f k ---------------5分 ∵)2,2(-∈t ，∴02>+t ， ----------------6分则35212-≥-+++=t t k ， -----------------7分当且仅当12=+t ，即1-=t 时取等号，∴k 的最小值为-3 . ------------8分19．(10分)在△ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.(Ⅰ)求证,,a b c 成等比数列; (Ⅱ)若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .解(I)由已知得sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=,sin sin()sin sin B A C A C +=,则2sin sin sin B A C =,再由正弦定理可得2b ac =,所以,,a b c 成等比数列. (II)若1,2a c ==,则22b ac ==,∴2223cos 24a cb B ac +-==,sin C ==,∴△ABC 的面积11sin 1222S ac B ==⨯⨯=.20. （10分）已知}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式：（Ⅱ）等比数列}{n b 满足：1,2211-==a b a b ，若数列n n n b a c ⋅=，求数列}{n c 的前n 项和n S .解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则依题设d >0由1672=+a a .得12716a d += ①由3655,a a ⋅=得11(2)(5)55a d a d ++= ② ---------------2分 由①得12167a d =-将其代入②得(163)(163)220d d -+=。

即22569220d -= ∴42=d ,又2,0=∴>d d ,代入①得11=a ,∴122)1(1-=⋅-+=n n a n . -----------------5分 （Ⅱ）1212,2,1-=∴==n n b b b ∴12)12(-⋅-=⋅=n n n n n b a c ,1102)12(2321-⋅-++⋅+⋅=n n n Sn n n S 2)12(2321221⋅-++⋅+⋅= ---------------7分 错位相减可得：n n n n S 2)12(222222211210⋅--⋅++⋅+⋅+⋅=--第 11 页 共 11 页 整理得：n n n n n n n S 2)12(4212)12(21)21(4111⋅---+=⋅----+=-+- n n n 2)12(321⋅---=+∴n n n n n n S 2)32(322)12(31⋅-+=-⋅-+=+ ---------------10分。