数字信号处理复习大纲

绪 论

一、信号、系统和信号处理

要求掌握信号、系统和信号处理的概念。

二、数字信号处理的基本组成

图0-1 数字信号处理系统的简单方框图

要求掌握框图中各部分的作用。

第一章 离散时间信号与系统

1.1 离散时间信号——序列

一个离散时间信号是一个整数值变量n的函数，表示为)(nx或{)(nx}。线段的长短代表各序列值的大小，其中n为整数时才有意义。

图1-1 离散时间信号)(nx的图形表示

一、序列的运算

在数字信号处理中常常遇到序列的移位、翻褶、相加、相乘、累加、差分等运算。

1．序列的移位

)()(mnxnw

当m为正时，则)(mnx是指序列)(nx逐项依次延时（右移）m位而给出的一个新序列，当m为负时，)(mnx是指依次超前（左移）m位。

2．序列的翻褶 前置预滤波器 模拟

滤波器 D/A

转换器 数字信号处理器 A/D

转换器 )(tx )(nx )(ny )(ty

－5－4x(－5)x(－4)x(－3)－3－2－10123456nx(4)x(5)x(6)x(3)x(2)x(1)x(0)x(n)x(－2)x(－1)如果序列为)(nx,则)(nx是以0n的纵轴为对称轴将序列)(nx加以翻褶。

3．序列的和

两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列，表示为

)()()(nynxnz

4．序列的乘积

两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。表示为

)()()(nynxnf

5．序列的标乘

序列)(nx的标乘是指)(nx的每个序列值乘以常数c。表示为

)()(ncxnf

6．累加

设某序列为)(nx，则)(nx的累加序列)(ny定义为

nkkxny)()(

它表示)(ny在某一个0n上的值等于这一个0n上 )(0nx的值以及0n以前所有n值上的)(nx之和。

7．差分运算

前向差分 )()1()(nxnxnx

后向差分 )1()()(nxnxnx

由此得出

)1()(nxnx

二、几种常用序列

1．单位脉冲序列)(n

)(n=0,00,1nn (1-1)

图1-4 )(n序列 图1-5 )(nu序列

2．单位阶跃序列)(nu 1(n)－4－5－3－2－1012345n……－5－4－3－2－1012345nu(n)…16

0,00,1)(nnnu (1-2)

如图1-5所示。它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数)(tu。

)(n和)(nu间的关系为

)1()()(nunun (1-3)

这就是)(nu的后向差分。

而

0...)2()1()()()(mnnnmnnu (1-4)

nkknu)()( (1-5)

3．矩形序列

nNnnRN其他,010,1)( (1-6)

)(nRN和)(n、)(nu的关系为

)()()(NnununRN （1-7）

)(nRN=10)(Nmmn)(n+)1(n+…+)]1([Nn (1-8)

4．实指数序列

)(nxna)(nu (1-9)

其中a为实数。当1a时，序列是收敛的，而当1a时，序列是发散的。a为负数时序列是摆动的。

5．正弦型序列

)sin()(0nAnx (1-10)

式中，A为幅度，为起始相位，0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率。

6．复指数序列

序列值为复数的序列称为复数列，复序列的每个值具有实部和虚部两部分。复指数序列是最常用的一种复序列： njenx)(0)( (1-11a)

或

njenx0)( (1-11b)

三、序列的周期性

如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足

)()(Nnxnx (1-12)

则称序列)(nx是周期性序列，周期为N。

现在讨论上述正弦序列的周期性。

)(nx)sin(0nA

若 )(nx)(Nnx

这时正弦序列就是周期性序列，其周期满足02kN（N，k必须为整数）。可分几种情况讨论如下。

（1）当0/2为正整数时，周期为0/2。

（2）当0/2不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），则

02=kN

其中，k，N为互素的整数，则NkkNk02为最小正整数，序列的周期为N。

（3）当0/2是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数，这时，正弦序列不是周期性的。这和连续信号是不一样的。

如果对连续周期信号)(tx进行采样，其采样时间间隔为T，采样后信号以)(nx表示，则有

)sin()()(0nTAtxnxnTt

如果令为数字域频率，满足

ssfffT000021

其中sf 是采样频率。可以看出，0是一个相对频率，它是连续正弦信号的频率0f对采样频率sf的相对频率乘以2，或说是连续正弦信号的角频率0 对采样频率sf的相对频率。用 0代替T0，可得

)(nx)sin(0nA

这就是我们上面讨论的正弦型序列。

四、用单位采样序列来表示任意序列

)()()(mnmxnxm (1-14)

五、序列的能量

序列)(nx的能量E定义为序列各采样样本的平方和，即

2)(nnxE (1-15)

1.2 连续时间信号的采样

在某些合理条件限制下，一个连续时间信号能用其样本来完全给予表示，连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。本节将详细讨论采样过程，包括信号采样后，信号的频谱将发生怎样的变换，信号内容会不会丢失，以及由离散信号恢复成连续信号应该具备哪些条件等。采样的这些性质对离散信号和系统的分析都是十分重要的，要了解这些性质，让我们首先从采样过程的分析开始。

一、理想采样

理想采样就是假设采样开关闭合时间无限短，即0的极限情况。此时采样脉冲序列)(tp变成冲激函数序列)(ts，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，面积为1，采样后输出理想采样信号的面积（即积分幅度）则准确地等于输入信号)(tx在采样瞬间的幅度。理想采样过程如图1-9（f）所示。冲激函数序列)(ts为

nnTtts)()( (1-16)

以)(tx表示模拟信号，)(ˆtx表示理想采样的输出，

)()()(ˆtstxtx （1-17）

nnTttxtx)()()(ˆ （1-18）

nnTtnTxtx)()()(ˆ （1-19）

二、频谱的周期延拓 我们首先看看通过理想采样后信号频谱发生什么变化。由于在连续时间信号与系统中已学过，（1-17）式表示时域相乘，则频域（傅里叶变换域）为卷积运算。所以由（1-17）式可知，若各个信号的傅里叶变换分别表示为

dtetxjXtj)()( （1-20）

dtetsjStj)()( （1-21）

dtetxjXtj)(ˆ)(ˆ （1-22）

则

ksjkjXTjX)(1)(ˆ (1-27)

或者 kTjkjXTjX)2(1)(ˆ (1-28)

由此看出，一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将延着频率轴以采样频率s=T2为间隔而重复，这就是频谱产生周期性延拓，如图1-10所示。也就是说，理想采样信号的频谱，是频率的周期函数，其周期为s，而频谱的幅度则受T/1加权，由于T是常数，所以除了一个常数因子外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率混叠，则有可能恢复出原信号。也就是说，如果)(tx是限带信号，其频谱如图1-10（a）所示，且最高频谱分量h不超过s/2，即

jX()2,02),(ssjX (1-29)

那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠，如图1-10（c）所示，这时采用一个截止频率为s/2的理想低通滤波器，就可得到不失真的原信号频谱，也就是说，可以不失真地还原出原来的连续信号。

如果信号的最高频谱h超过s/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象，如图1-10（d）所示。由于jX()一般是复数，所以混叠也是复数相加。为了简明起见，在图1-10中我们将)(jX作为标量来处理。

图1-10 时域采样后，频谱的周期延拓 （a）原始限带信号频谱 （b）采样函数频谱

（c）已采样信号频谱（hs2）（d）已采样信号频谱（hs2）

我们将采样频率之半（s/2）称为折叠频率，即

Ts2 (1-30)

它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。

由此得出结论：要想采样后能够不失真的还原出原信号，则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（s>2h），这就是奈奎斯特采样定理。即

sf>2hf

频率h一般称为奈奎斯特频率，而频率2h称为奈奎斯特率。采样频率必须大于奈奎斯特率。

同样方法，可以证明（亦可代sj到（1-27）式），理想采样后，使信号的拉普拉斯变换在s平面上沿虚轴周期延拓，也就是说)(ˆsX在s平面虚轴上是周期函数。即有

)(ˆsXksjksXT)(1 (1-34)

其中

dtetxsXst)()(

)(ˆsX=dtetxst)(ˆ Xa(j)o－ss2sS(j)－sos2s－sos2s)j(ˆaX)j(ˆaX(a)(b)(c)(d)－sos2s………………2T2T