数字信号处理复习要点数字信号处理主要包括如下几个部分1、 离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析2、 离散傅立叶变换、快速傅立叶变换3、 数字滤波器的设计一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析 1、离散时间信号：1）离散时间信号。

时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。

信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。

2） 数字信号。

时间和幅值都离散化的信号。

（本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理） 3） 离散时间信号可用序列来描述 4） 序列的卷积和（线性卷积）∑∞-∞==-=m n h n x m n h m x n y )(*)()()()(5）几种常用序列a)单位抽样序列（也称单位冲激序列）)(n δ,⎩⎨⎧≠==0,00,1)(n n n δb)单位阶跃序列)(n u ,⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(n n n uc)矩形序列，⎩⎨⎧=-≤≤=其它n N n n R N ,010,1)(d)实指数序列,)()(n u a n x n= 6） 序列的周期性所有n 存在一个最小的正整数N ,满足：)()(N n x n x +=,则称序列)(n x 是周期序列，周期为N 。

(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的)7）时域抽样定理：一个限带模拟信号()a x t ，若其频谱的最高频率为0F ，对它进行等间隔抽样而得()x n ，抽样周期为T ，或抽样频率为1/s F T =；只有在抽样频率02s F F ≥时，才可由()a x t 准确恢复()x n 。

2、离散时间信号的频域表示（信号的傅立叶变换）∑∞-∞=-=n nj en x j X ωω)()(，((2))()X j X j ωπω+=ωωπωππd e j X n x n j ⎰-=)(21)(3、序列的Z 变换∑∞-∞=-==n nzn x n x z X )()]([)(Z1） Z 变换与傅立叶变换的关系，ωωj e z z X j X ==)()(2） Z 变换的收敛域收敛区域要依据序列的性质而定。

同时，也只有Z 变换的收敛区域确定之后，才能由Z 变换唯一地确定序列。

一般来来说，序列的Z 变换的收敛域在Z 平面上的一环状区域：+-<<x x R z R || 3）有限长序列：⎩⎨⎧<<=其它021N n N n x n x )()(，∞<≤||z 0右序列：1()()0x n N n x n ≤<∞⎧=⎨⎩其它 ，|Z|>Rx-左序列：2()()0x n n N x n -∞<≤⎧=⎨⎩其它，（|z|<R x+，N 2>0时：0≤|Z|< Rx+；N 2≤0时： 0<|Z|< Rx+） 双边序列：(),x n n -∞<<∞，+-<<x x R z R ||常用序列的Z 变换：111[()]1,||01[()],||111[()],||||11[(1)],||||1n n Z n z Z u n z zZ a u n z a az Z b u n z b bzδ---=≥=>-=>---=<- 逆变换11()()2n cx n X z z dz j π-=⎰x ，C ：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线1） 留数定理：1()[()C ]n x n X z z-=∑在内极点留数之和2） 留数辅助定理：1()[()C ]n x n X z z-=-∑在外极点留数之和3） 利用部分分式展开：1()1kkA X z a z -=-∑，然后利用定义域及常用序列的Z 变换求解。

4、离散时间系统： [()]()T x n y n = 系统函数：()()()Y j H j X j ωωω=，()()()Y z H z X z =冲激响应：()[()]h n T n δ=5、 线性系统：满足叠加原理的系统。

[()()][()][()]T ax n by n aT x n bT y n +=+6、 移不变系统：若[()]()T x n Y n =，则[()]()T x n k Y n k -=-7、 线性移不变系统可由冲激响应来描述（系统的输出相应是输入与单位冲激响应的线性卷积）()()*()y n x n h n =，()()()Y j X j H j ωωω=，()()()Y z X z H z =8、 系统的频率特性可由其零点及极点确定∏∏∏∏∑∑=-=-=-=-=-=---=--==Nk N kMi MiNk kMi iNk kkMi iiz zz zz z Az zzz Az azb z X 111111011)()()()()(（式中，z k 是极点，z i 是零点；在极点处，序列x(n)的Z 变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。

） 9、 稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|()|x n <∞，则|()|y n <∞线性移不变系统是稳定系统的充要条件：|()|n h n ∞=-∞<∞∑或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位园 |z|=110、因果系统：0n 时刻的输出0()y n 只由0n 时刻之前的输入0(),x n n n ≤决定线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0h n n =<或：其系统函数H(z)的收敛域在某园外部：即：|z|>Rx 11、稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|()|n h n ∞=-∞<∞∑，()0,0h n n =<或：H(z)的极点在单位园内H(z)的收敛域满足：||,1x x z R R --><12、 差分方程线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足松弛条件）()()i n x b k n y a Mi iN k k-=-∑∑==013、 差分方程的解法1）直接法：递推法 2）经典法3）由Z 变换求解二、 离散傅立叶变换、快速傅立叶变换 1、周期序列的离散傅立叶级数（DFS ）)]([)(n x DFS k X p p =21()N jkn Np n x n eπ--==∑1()N knp N n x n W -==∑ ()[()]p p x n IDFS X k =()211N j kn N P K OX k eNπ⎛⎫- ⎪⎝⎭==∑()11N kn P N K OX k W N--==∑其中：N W =Nj e/2π-2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT))]([)(n x DFT k X ={[()]}()N N DFS x n R k =<>1()N kn N n x n W -==∑，0≤k ≤1-N()[()]x n IDFT X k ={[()]}()N N IDFS X k R n =<>11()N kn Nk X k WN--==∑，0≤n ≤1-N应当注意，虽然)(n x 和()X k 都是长度为N 得有限长序列，但他们分别是由周期序列)(n x p 和)(k X p 截取其主周期得到的，本质上是做DFS 或IDFS ，所以不能忘记它们的隐含周期性。

尤其是涉及其位移特性时更要注意。

3、离散傅立叶变换与Z 变换的关系 22()()|()|jk Nk z eNX k X j X z ππωω====4、频域抽样定理对有限长序列x(n)的Z 变换X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为N ，或抽样间隔为2/N π，当N ≥M 时，才可由X(k)不失真恢复()X j ω。

内插公式：1101()()1NN k k Nz X k X z NW z ----=-=-∑ 5、周期卷积、循环卷积 周期卷积：13120()()()N p p p m x n xm x n m -==-∑循环卷积：31()()x n x n =2()x n 13120()()()()()N p N p p N m x n R n x m x n m R n -=⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦∑6、用周期（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积对周期要求：121N N N ≥+-（N1、N2分别为两个序列的长度） 7、基2 FFT 算法 1）数据要求：2MN = 2）计算效率（乘法运算次数：12NM ，加法计算次数：NM ）（复数运算） （DFT 运算：乘法运算次数：2N ，加法计算次数：2N ）（复数运算） 8、快速卷积（采用FFT 计算） 9、分辨率三、 数字滤波器的设计 （一） FIR 滤波器的设计1、特点：可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的、阶数较高2、实现线性相位的条件 （1）h(n)为实数 （2）h(n)=h(N-1-n)做一般意义下的FIR 滤波器，N 是偶数，不适合做高通滤波器 或 h(n)=-h(N-1-n) 对称中心：(N-1)/2适于做希尔伯特变换器，微分器和正交网络。

3、主要设计方法 1）窗函数法 2）频率抽样设计频率抽样内插公式设计。

特点：频率特性可直接控制。

若滤波器是窄带的，则能够简化系统若无过渡带样本，则起伏较大。

改进办法是增加过渡带样本，采用过渡带的自由变量法，通常使用优化方法求解。

可得到较好的起伏特性，但是会导致过渡带宽度加大，改进办法是增加抽样点数。

抽样点的获得采取两种办法：I 型抽样及II 型抽样。

若要满足线性相位特性，则相位要满足一定要求。

（二） IIR 滤波器的设计 1、特点• 阶数少、运算次数及存储单元都较少 • 适合应用于要求相位特性不严格的场合。

• 有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。

• 是递归系统，存在稳定性问题。

2、主要设计方法先设计模拟滤波器，然后转换成数字滤波器。

设计过程：1） 先设计模拟低通滤波器()a H s ：butterworth 滤波器设计法等，有封闭公式利用 2） 将模拟原型滤波器变换成数字滤波器（1） 模拟低通原型先转换成数字低通原型，然后再用变量代换变换成所需的数字滤波器；● 模拟低通原型先转换成数字低通原型：()()aL L H s H z ⇒，主要有冲激不变法、阶跃不变法、双线性变换法等。

● 将数字低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的数字滤波器。

()()L D H z H Z ⇒，11()z G Z --=（2） 由模拟原型变成所需型式的模拟滤波器，然后再把它转换成数字滤波器；● 将模拟低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的模拟滤波器。

()(1)aL aD H s H S ⇒，(1)s F S = ● 模拟滤波器转换成数字数字滤波器：()()aD D H s H z ⇒，主要有冲激不变法、阶跃不变法、双线性变换法等（3） 由模拟原型直接转换成所需的数字滤波器 直接建立变换公式：()()aL D H s H z ⇒，1()s G z -=3、模拟数字转换法 （1）冲激不变法{}1()[()]|a t nT H z Z L H s -==单阶极点情况'1()Nk a k kA H s s s ==-∑ 11()1Nk k k A H z p z -=⇒=-∑，'k k A A =，k s T k p e = （2）阶跃不变法{}11()[()/]|a t nT z H z Z L H s s z-=-=冲激不变法和阶跃不变法的特点：• 有混叠失真• 只适于限带滤波器• 不适合高通或带阻数字滤波器的设计（3）双线性变换法 1111z s C z ---=+常数C 的计算：1）cot()2cc C ω=Ω 2）C=2/T特点：(i) 稳定性不变 （ii ）无混叠（iii ）频率非线性变换，会产生畸变，设计时，频率要做预畸变处理 4、直接法设计IIR 数字滤波器• z 平面的简单零极点法。