(1)3 + 2/(3)l-2z 2-i3 — 4, 57 习题1复数与复变函数1.求下列复数的实部、虚部、共侧复数、模以及辐角:(2)2.将下列复数化为三角表示式和指数表示式:(1)一1 +病(2) l-cosQ + isin。

3.求下列各式的值: ⑴呻(2) (V3-O20154.设z = x +，y.将方程|z| + Rez = l表示为关于x,)，的二元方程，并说明它是何种曲线.5.设/为实参数，求曲线Z = M"+3(0<r<2^)的直角坐标方程.6.若复数Z] , z2满足Z] V 1 , Z? V 1 ,证明 z 2 —Z x = Z 2 — z 3 = Z3 — Z]7.如果复数Z] ,Z 9 Z3满足等式 二至—Z3一 z 3 - z, z 2并说明这些等式的儿何意义。

8 .试用复数乘法的儿何意义证明三角形内角之和等于;T.习题2解析函数1.填空：■f a(1)、已知/(z) = u + iv是解析函数，其中u = —ln(x2 + y2),则一^ = _________2 dy(2)^ 设/(z) = %3-3xy2 + (ajcy-y3)i在z平面上解析，则《/ =。

(3)、若/(z) = w + iv是复平面上的解析函数，则f'(z) = ____________ 尸- --------------------------- °(4)、对数函数W = lnz的解析区域为。

(5)Z JZ(—2) =、In(—2) = .2.利用导数定义推出：(Z〃)' = "Z〃T,3.下列函数何处可导？何处解析?(1 )> /(z) = 2x3 + 3y3i(2)> /(z) = xy2 +ix2y4•设叫寸+似2)+心3+女,2)为解析函数，试确I’m,"定的值5.求下列各式的值并给出它们的主值:(1)、L〃(一i).6.求下列函数的值:(2)、pl [ )4-171 / ](3)、3’(5)^ «i(6)、® 1 +，)7.解下列方程：(1 )> k=l + V3z(2)、ri 0 z =习题3复变函数的积分1. 分别沿y = x 与)，=疽算出积分f"(x 2 + iy)dz o2. 计算下列积分，其中C 为正向圆周。

(3)、其中 C: z-1 =1；J Z 2-2r 2z — 1(4)、｛ ------- dz ,其中 C ：\z =2 o Jz(z-l)1(1)、 dz ! z 2 +4 其中C: Z =1； (2)COS Z % Z +，dz ,其中 C: z + 3z| = 1(3)、3. 计算下列积分sirr zdz,(2) ^ [ zsin zdz Jo4. 计算下列积分，其中C 为正向圆周。

(1)、f ——dz,其中 C: z =1； { z-2.71 sin —z(2)、f 己 4 dz,其中 C:|z + l| = l ；C Z —1r5z 2-3z + 2 j ] ------- ;一dz J (Z-1)3 其中C: z =2；5.设G和。

2是两条互不相交又互不包含的正向简单闭曲线，Z。

为不在曲线G和上的一个点，计算积分J 7 — 7C2乙乙（）6.设加=件其中。

涸=3,求/\1+ /)•c g _ Z7.验证下列各函数为调和函数，并根据已知条件求解解析函数/(z) = z/ + vi (1 )、u = y3 -3x2y, f(i) = l + i(2)、u = (x-y)(x2 + 4xy4- y2)习题4级数1 .判断下列级数的绝对收敛性与收敛性：00(1)、X-〃=1 〃⑵、onn=\ &2.求下列慕级数的收敛半径:00 巴(1)、» ” z〃 n=\8 7⑵、(1)、(1 + Z)2, Z°=0(2)、目，z°=0 1-Z(3)、，Z Q = 2 (l + z)(2+z)3.求下列各函数在指定点z°处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径:4.把下列各函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数: (1)、—!——，0 < z < 1; 0 < z -11 < 1Z(l — Z)2 1(2)--------------- 、—，在以i为中心的圆环域内z2(z-i)5.如果C为正向圆周z=3,通过将下列函数/(z)在合适的区域内展开成级数来计算积分ff(z)dz 的值。

(1)、f(z) =z + 2(z + l)z⑵、f(z) =Z(Z + V(1)(2)]Z3 - z2 - z + \ (2)1 + z4(1 + z2)3习题5留数1.下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它们的级: sin z(3)2.求下列各函数在有限点处的留数.(1)—(3) cos ------1 - Z 3.利用留数计算下列各积分（圆周均取正向）(1) 4 --------------------dz£(z — 1)(z + 4)4(2) . 2血山（Z-l ）2/c 、 f 1— COSZ j j “ 遂业心、(3) l --------------- d z,(其中〃z 为整数) J1士2 Z5计算下列各积分，C 为正向圆周 z 15(1)、 4 —5 ----- y --------- dz |2^(z 2+1)2(z 4+2)34.求下列各函数在无穷远点处的留数Res[/・(z),oo].1)f(z) =(2) /(z)z(z + l)4(z — 4)(2)> I ——e z dz 山1 + Z(1)、(3)、6. 计算下列枳分 ,2/r IB 2 0--------- de &任瑚 ° a+bs 0C xsinx - -clx 1 + X (2)、 * 1+疽A. vv z + 1 z + 1 C.w = -----1.单项选择题(1)、把点z = — 1分别映射为点w=oo, —1,0的分式线性映射为(R i(z + l) B. w = 1 - z八 '(z —1) D. vv =— ----------------------------------------- z + 1(2) 、映射w = 2z + z 2在点z 0 =l + z 处的伸缩率为() A. 2A /5B. 3V SC. 2V2D. 5V2(3) 、卬二小把带形区域0 <Imzv2〃映射成W 平面上的() A.上半复平面B.整个复平面C.割去负实轴及原点的复平面D.割去正实轴及原点的复平面2z(4) 、线性变换布二——( ) 1 + Z A 、 将上半平面Imz > 0映射为上半平面Im w> 0B 、 将上半平面lmz> 0映射为单位圆|vv|<lC 、 将单位圆|z|<l 映射为上半平面Imvv>0D 、 将单位圆|z| vl 映射为单位圆|w|<l2.填空题(1) 、线性映射vv=z 是关于 的对称变换.(2) 、映射w = |是关于 的对称变换. Z习题63.设D为Z平面上的扇形区域0 v argz<-,|z |v 1.求下列保角映射：3 (1)辎=f x (z)把。

映射为肉平面的上半单位圆盘Q；(2)/2(w,)把"映射为W平而上的第一象限；(3)w=f(z)把。

映射为W平面上的第一象限.4.设。

是Z平面上的带形区域：lvRe(z)vl + ”，求下列保角映射：(1)= /,(z)把。

映射为出平面的带形区域R： OvRe(叫)V》；(2)吗=人(坷)把。

］映射成抽平面上的带形区域。

2: 0 < Imvr2< 7T ；(3)吗=£(吗)把映射成W平面上的上半平面。

3： Imw〉0；(4)综合以上三步，求把。

映射成Z)3的保角映射w=/(z).习题1 Fourier变换一、填空：1、若f（t）为无穷次可微的函数，贝=2、F ［如）］=,F 0QT°）］ =,F ［1］ =,F ［卿］=.3、F ［/（r±r0）J= （位移性质）F ［./（，）］ = （微分性质）fl-/2 r2<i二、求函数/（，）= （、的Fourier积分0 r2 >1三、求函数f （t） = e~ftt（/? > 0,Z > 0）的Fourier正弦积分表达式和Fourier余弦积分表达式。

A 0 < Z < r四、求矩形脉冲函数/（♦） = < 0 其q 的Fourier变换五、已知某函数的Fourier变换为g（w） = 40（叫+%） + 5（叫一％）］,求该函数fQ）。

六、求函数f (/) = —0(，+。

) + 8{t — Cl) + 8(t 4—) + 8(t)］的Fourier 变换七、求下列函数的Fourier变换:（1）＞fO ei z t；(2)、fO 序渤t九、若/&) =(3) 、gQ) = $(，)+ 2g + 3$"Q)八、若F(w)=F [/(Z)],利用Fourier 变换的性质求下列函数的Fourier 变换:(2)、g() & >(j2)子sinr 0<r<— 八〜、「/、 2 , 求 / (0*^(0 其它十、求函数f(t) = sin w o t - w(r)的Fourier 变换卜一、利用Fourier变换，解下列积分、微分方程: r+8 ii t（1）、I 的 8 诚’ = --------Jo t(2)、x r0 4-叔〃e铲一"t -oo< <+oo习题2 Laplace变换一、填空：1、L 0（，）］=；L ［邪］=；L ［/］ =；L ［si 妞目2、L ［渺］=； L ［f（t-T）4.（延迟性质）3、L LfQ）］=；L =（微分性质）二、求下列函数的Laplace变换：（1）、.知）=广⑵、f（t） =『(3)、fO牛(4)> fO 0 0击黄一t •(1)、1s2 +4(2)、F(s) =——s +3(3)、F(5)=s + 3 (s + l)(s —3)三、求下列函数的Laplace变换:(1)、fOt=^-Q(3)、fO & - t四、求下列函数的Laplace逆变换:(2)、五、求下列卷积:(1)、t*t (3)、n G*六、求下列函数的Laplace 逆变换:(2) ^ F(s) = 2s+ 1 S(S + 1)(5 + 2) (3)、 F(s)=/+5?+4七、求下列常系数微分方程的解:(1)、y f^=e夕顶&(2)、W+4，+$N %通拿1'=(3)、#一劣心=Qf 0>2^ =八、求变系数微分方程ty n + V + 4(y = 0, y(0) = 3, /(0) = 0的解:。