1 (0.63891 0.5)(0.63891 9 0.6)(0.63891 0.7) 3!
0.55032 104
（10 分）
七、 f (x) 1 x2 ，0 (x) 1，1(x) x ，
则
(0,0 )
1 0
dx
1，
(0
, 1 )
(1,0
)
1 0
xdx
1 2
，
(1,1)
1 x2dx 1 ，
1
2 0 1
1 1 ， 4. 2001，5. Gauss 型， 1
6.
yn
1
yn
0.1
y0 1, tn nh
yn
2tn yn
,
n
0,1, 2, 9
三、当 a 0 时，Jacobi 迭代矩阵
0 a a
GJ
a
0
a
a a 0
（3 分）
由 I GJ ( 2a)( a)2 0 1 2a, 2,3 a ，故 (GJ ) 2 a ， （6 分）
矩阵
H
使得
H (2, 0, , 0, 0)T ，
并确定 的值。
（10 分）
五、用 Newton 法求非线性方程
x sin x 1
的根（计算一步求出 x1 即可），并说明收敛的理由。
（10 分）
六、已知 f ( x) sin x 的函数表如下，利用二次插值多项式求 sin 0.63891 的近似值，并
y
2t y
,
0
t
1
的计算公式为
y 0 1
，其中 h 0.1 .
三、设线性代数方程组 Ax b 的系数矩阵为
1 a a
A
a a
1 a
a 1
，
其中 a 为实数，试求能使 Jacobi 方法收敛的 a 的取值范围。
（10 分）
四、设 a
(2, 0,1,
2, 2)T
，求
Householder
0.6 0.6
0.64422
0.2815
x
2
1.16175
x
0.03107
或 0.47943 0.8521x 0.5 0.2815x 0.5x 0.6
（6 分）
则 sin 0.63891 P2 0.63891 0.5962737068
（8 分）
sin 0.63891 0.596274
1,
n
0,1,
（4 分）
f
(0)
1
0，
f
2
2
0 ， x*
0,
2
，
在
0,
2
上，
f
( x)
0
， f (x) 0 ，又由 f (x0 ) f (x0 ) 0 ，取 x0 0.5 ,
由大范围收敛定理，Newton 迭代格式收敛；
.5cos0.5 sin0.51 1 cos0.5
由
(GJ
)
1
|
a
|
1 2
时
Jacobi
迭代法收敛。
（10 分）
四、记 s (0, 0,1, 2, 2)T ， c sign(s3 ) sT s 3 ，
u s ce2 0, 0, 4, 2, 2T ，
I2 0 0 0
0 1 2 2
则
H I 2uuT
uT
u
0
3 2
3
3 2 3
3 1 3
，
解得 c0* 2 2
2 2ln 1
2 0.9343200496
，
c1* 5 2 4 3ln 1 2 0.4269470502
（6 分）
最佳平方逼近元素 P1x 0.9343200496 0.4269470502 x ，0 x 1， （8 分）
位有效数字。
2. 为了减少舍入误差，应将计算式 2001 1999 改写为
.
1 1 2
3.
矩阵
A
1
2
1
的
Doolittle
分解式为
.
2 2 3
4
设
A
1 1.001
1.001
1
，则
cond
A
1
.
5 n 个节点的所有求积公式中，具有最高代数精度的是
求积公式.
6.
y
用 Euler 方法求解常微分方程初值问题
估计误差。
（10 分）
x
0.5
0.6
0.7
0.8
f ( x) 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736
七、定义内积
f
,
g
1 0
f
x
g
x dx
，在
H1
Span1,
x
中求对于
f
(x)
1 x2
的最佳平方逼近元素 p x ，并求出最佳平方逼近误差 .
（10 分）
八、用逐次分半的复化梯形公式计算积分
0
3
f ,0
1 0
1 x2 dx 1 ln 1 2
2 2 1.1477935747 ， 2
f ,1
1
x
0
1 x2 dx 2
2 1 0.6094757082 ， 3
（4 分）
1
法方程为
1 2
1 2 1 3
c0* c1*
1.1477935747 0.6094757082
0.510957949
.
（10 分）
六、选取节点{0.5, 0.6, 0.7} ，
（2 分）
L2 (x)
(x (0.5
0.6)(x 0.6)(0.5
0.7) 0.7)
0.47943
(x (0.6
0.5)(x 0.5)(0.6
0.7) 0.7)
0.56464
x 0.7
0.5x 0.50.7
，
0
2 3
1 3
2 3
H (2, 0,3, 0, 0)T , = 3 .
（4 分） （8 分） （10 分）
五、 f (x) x sin x 1 ， f (x) cos x 1，Newton 迭代格式为
xn1
xn
xn sin xn 1 1 cos xn
xn
cos xn sin xn 1 cos xn
6. 三次样条插值问题的解存在且唯一。
7．区间 a,b上带权 x的正交多项式系是唯一的。
8．n 个结点的插值型求积公式至少具有 n-1 次代数精度。
（）
（） （） （） （） （） （）
（）
二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
1. 若 a 1.1063 ， b 0.946 是经过舍入后得到的近似值，则 a b 有
一、判断题（对的打√，错的打×，每小题 2 分，共 16 分）
y0
1.
递推关系式 yn
1 n
5
yn 1
,
n 1, 2,,100 是数值稳定的。
2. Gauss 消去法是数值稳定的。
3. 0 2 是 SOR 方法收敛的必要条件。
4. 幂法的迭代是否收敛依赖于特征值的分布情况。
5. 对分法不能求非线性方程的重根。
1 0
1
2 x
2
dx
的近似值，使截断误差不超过
0.005
.
（10 分）
《数值分析》考试试卷（A）参考答案（研 2014 级）
一、判断题（16 分） 1（），2（），3（），4（），5（），6（），7（），8（）
二、填空题（24 分）
1. 3， 2.
2
1
1 1 2
2001
1999 ， 3.
A
1