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概率论与数理统计（I）期末考试样卷2参考答案
一、填空题( 每小题3分，共24分)
1. 设A，B，C为三件事，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,则A,B,C 至少有一个发生的概率= 5/8
2. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运过程中所有的标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。
问一个订货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红
漆的顾客能按所定颜色如数得到货的概率= 。
3. 已知若和独立，则= 1/2 ；
4.设随机变量X在区间[2，5]上服从均匀分布，求对X进行的三次独立观测中，至少有
两次的观测值大于3的概率为 20/27 。
.
5.设随机变量X的概率分布为P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,则其分布函数F(x)=。
6.设，且=, 则= 。
7.设，则之值为 6 。
8.设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4，而相关系数为,则根
据切比雪夫不等式有 1/12 。
二、单项选择题( 每小题2分，共8分)
1. 设A,B为两事件且P（AB）=0,则( C )。
Ａ. Ａ与Ｂ互斥Ｂ．ＡＢ是不可能事件
Ｃ．ＡＢ未必是不可能事件Ｄ．P(A)=0或P（B）=0
2．设A,B为两事件，且0＜P(A)＜1,P(B)＞0,P(B|A)=P(B|),则（ C ）成立。
A. P(A|B)=P(|B)
B. P(A|B)≠P(|B)
(AB)=P(A)P(B) D. P(AB) ≠P(A)P(B)
3．若为连续型随机变量的密度函数，则一定满足（ C ）
(A) (B) 单调递减(C) (D)
4．若随机变量满足，且，则必有（ B ）.
（A）独立；（B）不相关；（C）；（D）..
三、计算题（共48分）
1（6分）. 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P{孩子得病}=，P{母亲得病│孩子得病}=，P{父亲得病│母亲及孩子得病}=.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解：设A=“孩子得病”，Ｂ＝“母亲得病”，Ｃ＝“父亲得病”，则所求概率为。
已知P(A)=,P(B│A)=,P(C│AB)=,则由乘法定理有
由,,有
2（10分）．设考生的报名表来自三个地区，分别有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份。
随机地从一地区，先后任取两份报名表，求：
(1)先取的那份报名表是女生的概率；
(2)已知后取到的报名表是男生的，而先取的那份报名表是女生的概率。
解：(1) 设={考生的报名表是第个地区的}，=1,2,3,B={先取到的报名表是女生的}，由全概率公式知：P(B)= P()P(B|)+
P()P(B|)+P()P(B|)=
（2）设C={先取的那份报名表是女生的},D={后取到的报名表是男生的},则P(CD)= P()P(CD|)+ P()P(CD|)+P()P(CD|)
=
P(D)= P()P( D |)+ P()P( D |)+P()P( D |)=
所以可计算得：===
3（8分）设随机变量X的分布函数为试求
（1）系数A；（2）X落在区间（，）内的概率；（3）X的密度函数。
解：（1）由的连续性，有，由此得（2）
（3）X的密度函数为
4（8分）设随机变量X和Y同分布，X的密度函数为
已知事件和独立，且，求常数。
解：由设且与同分布，与独立，可知当时，
，即
与相矛盾，因而，即
，即
即，即，（不合题意，舍去）。
5（8分）设二维随机变(X,Y)量具有概率密度，
(1)确定常数C； (2) 求概率。
解：（1），由此得。
（2）积分区域为，所以
6（8分）设随机变量（X,Y）具有概率密度
求。
解：
，。
四、应用题（14分）
1. （6分）设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概
率密度为，某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y}。
解：因为Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，所以Y，其中p =P{X}=
Y的分布律为P{Y=k}=，k=0，1，2，3，4，5
P{Y}=1－P{Y}=1－P{Y=0}=1－=
2（8分）. 某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。
设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的。
设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话。
问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用（）
解设总机需要安装N条外线X=“200架电话分机中使用外线的数目”，则X服从二项
分布。
利用棣莫
佛-拉普拉斯中心极限定理，得
由，查表得,解出,故总机需要安装14条外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。
五、证明题（6分 ) 设{X n}为独立同分布的随机变量序列,其共同的密度函数为
，令，试证：。
证明：因为的分布函数为所以当时，有
对任意的，当时有即。
嘉兴学院教务处。