高二上期末考试模拟试题十五
数 学
（测试时间：120分钟 满分150分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知R b a ∈,，则b a >是a 2 > b 2 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 2. 下列不等式中，对任意R x ∈恒成立的是（ ）
A .022>+x x
B .02
>x
C .0)10
1(
1>-x
D .
|
|1
1||1x x <+
3. 设0,0>>b a ，则下列不等式中不成立．．．
的是（ ） A.221≥+
+ab
b a B.4)11
)((≥++b
a b a
C.ab b a b a ≥++22
D.ab b
a ab
≥+2
4. 设0>>b a ，b a n b a m -=-=,，则（ ）
A.n m <
B.n m >
C.n m =
D.不能确定
5. 函数)0(,2
28>--=x x
x y 的最大值是（ ）
A.6
B.8
C.10
D.18
6. 设12
2=+y x ，则y x +（ ）
A.有最小值1-
B.有最小值2
C.有最大值1-
D.有最大值2
7. 设0,0>>b a ，下列结论不正确．．．
的是（ ） A.b a b a 112+≥+ B.b a ab
b a +≥+22 C.2≥+a b b a D.2222b a b a +≥+ 8. 设10<<x ，则x
c x b x a -=+==11
,1,2中最大的一个是( )
A .a
B .b
C .c
D .不能确定 9. 若01
1<<b
a ，则下列结论不正确的是（ ）
A.22b a <
B.2b ab <
C.2>+a
b
b a D.||||||b a b a +>+
10. 已知实数a 、b 满足b a <<<10，则（ ）
A.22log log log b b b a a a >>
B.2
2log log log b b b a a a >>
C.b b b a a a log log log 2
2
>> D.b b b a a a 2
2log log log >>
11. 如果0>>b a ，则下列不等式：
①
<a 1b
1； ②3
3b a >； ③)1lg()1lg(2
2+>+b a ；
④b a 22>中成立．．
的是( ) A.①②③④ B.①②③ C.①② D.③④
12. 若z y x ,,都是正数，且1)(=++z y x xyz ，则))((z y y x ++的最小值为（ ）A .
1 B .
2 C .
3 D .4
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13. 设21,72<<<<-b a ，则
b
a
的取值范围是_______________； 14. 已知R b a ∈,，且42
2=+b a ，则4＋ab 的最小值是_______________；
15. 若1,2-≠≠y x ，y x y x M 242
2+-+=，x N 25--=，则M 与N 的大小关系是
______________；
16. 对实数a 与x 而言，32239513a ax x a x +>+成立的充要条件是_____________；
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）
已知0>m ，1>>b a ，1
)(-=x mx
x f ，比较)(a f 与)(b f 的大小；
18. （本小题满分12分）
若0,0>>b a ，N n ∈，求证：)(2))((11
+++≤++n n n
n
b a b a b a ；
19. （本小题满分12分）
设0,0>>y x ，用分析法证明：2
2y
x y
x +≤+；
20. （本小题满分12分）
已知c b a ,,为正数，
（1）求证：b a b
a -≥22
（2）求证：c b a a
c c b b a ++≥++2
22；
21. （本小题满分12分）
已知0,0>>y x ，求证：x y y x y x y x +≥+++)(4
1
)(212
22. （本小题满分14分）
是否存在常数C ，使得不等式
y
x y
y x x C y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正数x 、
y 恒成立？证明你的结论。

参考答案
1. B
2. C
3. D
4. A
5. A
6. D
7. A
8. C
9. D 10. B 11. A 12. B
13. )7,2(- 14. 2
15. N M > 16. a x >
17. 解：)
1)(1()
(11)()(---=---=
-b a a b m b mb a ma b f a f 0>m ，1>>b a ,0)(<-∴a b m ,0)1)(1(>--b a ,
0)
1)(1()(<---∴b a a b m ,即)()(b f a f < 18. 证明：))(()(2))((11n
n n n n n b a b a b a b a b a ---=+-++++
（1）当0>>b a 时，n n b a >，0))((<---∴n
n
b a b a （2）当0>=b a 时，0))((=---∴n
n
b a b a
（3）当0>>a b 时，n n a b >，0))((<---∴n
n
b a b a 综上，0))((≤---n
n
b a b a
)(2))((11+++≤++∴n n n n b a b a b a ，当且仅当b a =时取等号。

19. 证明：0,0>>y x ，02
,02>+>+∴
y
x y x 要证
2
2y
x y
x +≤+，只要证2)2(2y x y x +≤+， 即证xy y x 2≥+， 0,0>>y x ，xy y
x ≥+∴
2
，即xy y x 2≥+ 所以2
2y
x y
x +≤+；
20. 证明
（1）由c b a ,,为正数，a b b a b b a 222
2=⋅≥+，得b a b a -≥22； （2）由（1）
b a b a -≥22
，同理c b c b -≥22，a c a c -≥22 三式相加即得c b a a
c c b b a ++≥++2
22； 21. 证法一：
])2
1
()21[()()2
1(2)()(41
)(21222≥-+-≥+-+++=+-+++y x xy y x xy y x y x x y y x y x y x
证法二：
x y y x y x xy y x y x y x y x +=+≥++++=+++)()4
1
41(2)(41)(212 22. 解：令1==y x ，得3232≤≤C ，3
2
=C
先证
3
2
22≤+++y x y y x x 0,0>>y x ，要证
3
2
22≤+++y x y y x x ， 只要证)2)(2(2)2(3)2(3y x y x y x y y x x ++≤+++
即证xy y x 22
2≥+，这显然成立，3
222≤+++∴
y x y y x x 再证y
x y
y x x +++≤2232
只要证)2(3)2(3)2)(2(2y x y y x x y x y x +++≤++
即证2
22y x xy +≤，这显然成立，y
x y y x x +++≤∴2232
综上所述，存在常数3
2
=C ，使得不等式y x y y x x C y x y y x x +++≤≤+++2222对
任意正数x 、y 恒成立。