由题设知 （f x）>0，且在［0，1］上单调，所以当 y≥x 时（f y）≤（f x），故 2I<0，即 I>0，也即
乙1 xf（2 x）dx
乙1 f（2 x）dx
0
≤0
乙1 x（f x）ds
乙1 （f x）dx
0
0
得证 .
例 3：设 p（x），（f x），g（x）是［a，b］上的连续函数，且在［a，b］上 p（x）＞0，（f x），g（x）为单调递增 .
0
0
0
0
乙1 f（2 y）（f x）（x-y）dxdy，
0
又
乙 乙 乙 乙 乙 乙 1
1
1
1
11
I= y（f y）dy f（2 x）dx- （f y）dy xf（2 x）dx= （f y）f（2 x）（y-x）dxdy .
0
0
0
0
00
（1）＋（2）得
乙 乙1 1
2I= （f x）（f y）（x-y）［（f y）-（f x）］dxdy . 00
乙 乙 b
b
（b-a）（f x）≤ （f t）dt+ （f t）·（x-t）dt，
a
a
即
乙 乙 乙 b
b
b
（b-a）（f x）≤ f（′ t）dt+（x-t）f（′ t）│ba + f（′ t）dt=2 f（′ t）dt+（x-b）（f b）-（x-a）（f a），
a
a
a
故得
乙b
2 （f t）dt≥（b-a）（f x）+（b-x）（f b）+（x-a）（f a）， a
a
a
a
具体见文献［1-2］. 本文介绍利用泰勒公式和化二次积分为二重积分两种方法 .
1 利用泰勒公式证明定积分不等式
如果函数 （f x）的二阶和二阶以上导数存在且有界，可利用泰勒公式进行证明 .
例 1：设 （f x）≥0，f （″ x）≤0，对坌x∈［a，b］成立 .
乙 求证：（f x）≤ 2
b
（f x）dx .
0
0
证明：因为 （f x）在［0，1］上单调减少，且 （f x）>0，
所以
即 令
1
xf（2 x）dx
乙 乙 0
≤
乙 乙 乙 乙 1
乙 乙 x（f x）dx
1
f（2 x）dx
1
0
圳 xf（2 x）dx
1
0
（f x）dx
1
1
（f x）dx≤ x（f x）dx
0
0
1
f（2 x）dx，
0
0
0
乙 乙 乙 乙 1
由于
（f x）≥0，（f a）≥0，（f b）≥0，x-a>0，b-x>0，
故
乙b
2 （f x）dx≥（b-a）（f x）. a
即
收稿日期: 2009-03-21 作者简介: 刘春新（1968-），女，河南太康人，讲师，从事高等数学教学研究工作.
- 518 -
河南科学
第 27 卷 第 5 期
乙 （f x）≤ 2
Abstract: Refer to the prove of difinite intergralinequition，must handle the inquition prove skill，and know the consanguineous connection of diferential calculus，partial linear algebra． Showing thedifinite intergral，quadratic iterated difinite intergras two proves. Key words: difinite intergral inequition； quadratic iterated inequition； diferential calculus； taylor formula； the Cauchy ineqution
1
1
1
x（f x）dx f（2 x）dx- xf（2 x）dx （f x）dx≥0，
0
0
0
0
乙 乙 乙 乙 1
1
1
1
I= x（f x）dx f（2 x）dx- xf（2 x）dx （f x）dx=
0
0
0
0
乙 乙 乙 乙 1
1
1
1
x（f x）dx f（2 y）dy- （f x）dx yf（2 y）dy=
- 519 （4）
Proving of Quadratic Iterated Difinite Intergral Inequition
Liu Chunxin， Yao Yi
（Yellow River Conservancy Technical Institute，Kaifen 475004，Henan China）
关键词：定积分不等式； 二次累次不等式； 定积分； 泰勒公式； 柯西-许瓦兹不等式
中图分类号：O 178
文献标识码：A
定积分不等式证明的方法已有很多，如：
① a＞0，则 a+ 1 ≥2；② a2+b2≥2ab； a
乙 乙 乙 b
b
b
③柯西-许瓦兹不等式：［ （f x）g（x）dx］2≤［ f（2 x）dx］［ g（2 x）dx］，其中 （f x）g（x）在［a，b］上连续 .
求证：
乙 乙 乙 乙 b
b
b
b
p（x）（f x）dx p（x）g（x）dx≤ p（x）dx p（x）（f x）g（x）dx .
a
a
a
a
证明：令
乙 乙 乙 乙 b
b
b
b
I= p（x）dx p（x）（f x）g（x）dx- p（x）（f x）dx p（x）g（x）dx=
a
a
a
a
乙 乙 乙 乙 b
b
b
b
p（x）dx p（y）（f y）g（y）dy- p（x）（f x）dx p（y）g（y）dy=
aa
（3）＋（4）得
乙 乙b b
2I= p（x）p（y）［（f y）-（f x）］［g（y）- g（x）］dxdy . aa
因为 （f x），g（y）同为单调增函数
p（x），p（y）>0，［（f y）-（f x）］［g（y）- g（x）］≥0，
故 2I≥0，即 I>0，即
乙 乙 乙 乙 b
b
b
b
p（x）（f x）dx p（x）g（x）dx≤ p（x）dx （f x）p（x）g（x）dx ．
b-a a
证明：将 （f x）在 t∈［a，b］处展成一阶泰勒公式
（f x）=（f t）+ f（′ t）（x-t）+ 1 f （″ ξ）（x-t）2，ξ 介于 x 与 t 之间， 2!
因为 f （″ x）≤0，所以 f （″ ξ）≤0，于是
（f x）≤（f t）+ f（′ t）（x-t），
两边在［a，b］上对 t 积分得
a
a
a
a
命题得证 .
定积分的证明方法很多，本文只列出了其中两类 .
参考文献:
［1］ 同济大学应用数学系. 高等数学［M］. 5 版. 北京：高等教育出版社，2005. ［2］ 薛桂兰. 高等数学学习指导［M］. 北京：高等教育出版社，2004. ［3］ 陈文灯. 数学［M］. 北京：世界图书出版社，2004.
第 27 卷 第 5 期 2009 年 5 月
文章编号：1004-3918（2009）05-0517-03
河南科学 HENAN SCIENCE
Vol.27 No.5 May 2009
定积分不等式证明的两种方法
刘春新， 姚 怡
（黄河水利职业技术学院，河南 开封 475004）
摘 要：给出定积分，二次累次定积分不等式的两种证明方法.
b
（f x）dx .
b-a a
2 将二次累次不等式定积分化为二重积分来证明
采用这种方法时，如果被积函数满足单调性，则可以从差式出发进行推导 .
例 2：设函数 （f x）是在［0，1］上单调减少且恒大于零的连续函数 .
求证：
乙 乙 1
1
xf（2 x）dx
f（2 x）dx
0
≤0
.
乙1 x（f x）dx
乙1 （f x）dx
a
a
a
a
乙 乙b b p（x）g（y）p（y）［（f y）-（f x）］dxdy，
aa
同理
（1） （2）
（3）
2009 年 5 月
刘春新：定积分不等式证明的两种方法
乙 乙 乙 乙 b
b
b
b
I= p（y）dy p（x）（f x）g（x）dx- p（y）（f y）dy p（x）g（x）dx=
a
a
a
a
乙 乙b b p（y）p（x）（g x）［（f x）-（f y）］dxdy .