用微积分理论证明不等式的方法高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似．微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．一、用导数定义证明不等式法1．证明方法根据－导数定义导数定义：设函数)(x f y =在点。

0x 的某个邻域内有定义，若极限xy x x x x x x f x f ∆∆→∆→=--lim lim 000)()(0存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0x 的导数，记作)(0x f y '=．2．证明方法：(1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究．3．例例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数，n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ．证明：因nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x )()(lim 0)0()()0(lim lim 000→→→==--='．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim 0=≤'→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的．二．用可导函数的单调性证明不等式法1.证明方法根据－可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一：若函数)(x f 在),(b a 可导，则)(x f 在),(b a 内递增（递减）的充要条件是： ),(),0)((0)(b a x x f x f ∈≤'≥'.定理二：设函数)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>'x f （或0)(<'x f ），那么)(x f 在],[b a 上严格单调增加（或严格单调减少）. 定理三：设函数)(x f 在),(b a 内可导，若0)(>'x f （或0)(<'x f ），则)(x f 在),(b a 内严格递增（或严格递减）.上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性.2.证明方法（1）构造辅助函数)(x f ，取定闭区间],[b a ；△如何构造辅助函数？①利用不等式两边之差构造辅助函数；②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数；③若所证的不等式涉及到幂指数函数，则可通过适当的变形（若取对数）将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数.(2)研究)(x f 在],[b a 上的单调性，从而证明不等式.3.例例2：证明不等式：)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x . 证明：令),0[,1)1ln(1)(22+∞∈+-+++=x x x x x x f ，易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有),0(,0)1ln()(2+∞∈>++='x x x x f ，由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加，所以由单调性定义可知)0(,0)0()(>=>x f x f ，即01)1ln(122>+-+++x x x x .因此)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x .例3：求证：b ba ab a ba +++≤+++111.证明：设辅助函数)0(,1)(≥+=x xx x f .易知)(x f 在),0[+∞上连续，且有,0)1(1)(2>+='x x f )0(>x .则由定理二可知)(x f 在),0[+∞上严格单调增加.由b a b a +≤+≤0，有)()(b a f b a f +≤+， 得到b ba ab a bb a ab a ba b a ba +++≤+++++=+++≤+++111111，所以原不等式成立.4.适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数)(x f 应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处)(x f 的值为0，然后通过在开区间内)(x f '的符号来判断)(x f 在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1．证明方法根据－极值的充分条件定理定理四（极值的第一充分条件） 设)(x f 在0x 连续，在),(00δx ⋃内可导，（i ）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≤'x f ,则)(x f 在0x 取得极大值;(ii) 若当),(00x x x δ-∈时，0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≥'x f ,则)(x f 在0x 取得极小值.定理五（极值的第二充分条件） 设)(x f 在的某领域),(0δx ⋃内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ,(i)若0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 取得极大值；(ii)若0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 取得极小值.极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.2.证明方法（1）构造辅助函数)(x f ，并取定区间.△如何构造辅助函数？①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数；③当不等式形如a x g ≥)(（或a x g ≤)(）（a 为常数）时，可设)(x g 为辅助函数.(2)求出)(x f 在所设区间上的极值与最大、最小值.△极值与最大、最小值的求法①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.②最大、最小值的求法：（1）闭区间],[b a 上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点b a ,处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.（2）开区间),(b a 内可导函数的最大值、最小值的求法：若)(x f 在),(b a 内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点.3.例例4：证明：当0>x 时有455+≥x x .证明：构造辅助函数)0(,45)(5>--=x x x x f ，则有 ),1)(1)(1(5)1)(1(555)(2224-++=-+=-='x x x x x x x f 令0)(='x f ，解得1±=x ，其中只有1=x 在区间),0(+∞内，由)1(45lim )(lim 511f x x x f x x =--=→→，有)(x f 在1=x 点连续．因当10<<x 时，0)(<'x f ，则)(x f 在)1,0(上为减函数；当1>x 时，0)(>'x f ，则)(x f 在),1(+∞上为增函数；由定理四可知，)(x f 在1=x 处取得极小值，即0)1(=f 为区间),0(+∞上的最小值，所以当0>x 时，有0)1()(=≥f x f ．故),0(0455>≥--x x x 即)0(455>+≥x x x ．4.适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数)(x f 应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处)(x f 的值为0，然后通过在开区间内)(x f '的符号来判断)(x f 在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1．证明方法根据－极值的充分条件定理定理四（极值的第一充分条件） 设)(x f 在0x 连续，在),(00δx ⋃内可导，（i ）若当),(00x x x δ-∈时，0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≤'x f ,则)(x f 在0x 取得极大值;(ii) 若当),(00x x x δ-∈时，0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时，0)(≥'x f ,则)(x f 在0x 取得极小值.定理五（极值的第二充分条件） 设)(x f 在的某领域),(0δx ⋃内一阶可导，在0x x =处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ,(i)若0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 取得极大值；(ii)若0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 取得极小值.极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系.2.证明方法（1）构造辅助函数)(x f ，并取定区间.△如何构造辅助函数？①当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数；②当不等式两边含有相同的“形式”时，可利用此形式构造辅助函数；③当不等式形如a x g ≥)(（或a x g ≤)(）（a 为常数）时，可设)(x g 为辅助函数.(2)求出)(x f 在所设区间上的极值与最大、最小值.△极值与最大、最小值的求法①极值求法：（1）求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；（2）按极值充分条件判定可疑点是否为极值点.②最大、最小值的求法：（1）闭区间],[b a 上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点b a ,处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.（2）开区间),(b a 内可导函数的最大值、最小值的求法：若)(x f 在),(b a 内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点或最小值点.3.例例5：证明：当0>x 时有455+≥x x .证明：构造辅助函数)0(,45)(5>--=x x x x f ，则有 ),1)(1)(1(5)1)(1(555)(2224-++=-+=-='x x x x x x x f 令0)(='x f ，解得1±=x ，其中只有1=x 在区间),0(+∞内，由)1(45lim )(lim 511f x x x f x x =--=→→，有)(x f 在1=x 点连续．因当10<<x 时，0)(<'x f ，则)(x f 在)1,0(上为减函数；当1>x 时，0)(>'x f ，则)(x f 在),1(+∞上为增函数；由定理四可知，)(x f 在1=x 处取得极小值，即0)1(=f 为区间),0(+∞上的最小值，所以当0>x 时，有0)1()(=≥f x f ．故),0(0455>≥--x x x 即)0(455>+≥x x x ．4.适用范围（1）所设函数)(x f 在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；（2）只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式.四、用拉格朗日中值定理证明不等式法1.证明方法根据－拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数)(x f 满足下列条件：（I ）)(x f 在闭区间],[b a 上连续；（ⅱ）)(x f 在开区间),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得a b a f b f f --=')()()(ξ. 拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系.2.证明方法①辅助函数)(x f ，并确定)(x f 施用拉格朗日中值定理的区间],[b a ；②对)(x f 在],[b a 上施用拉格朗日中值定理；③利用ξ与b a ,的关系，对拉格朗日公式进行加强不等式.3.例例6：证明：当x x x x x <+<+>)1ln(1,0. 证明：构造函数t t f ln )(=，因)(t f 在)0](1,1[>+x x 上连续，在)1,1(x +上可导，)(t f 在)0](1,1[>+x x 上满足拉格朗日条件，于是存在)1,1(x +∈ξ，使 ξξ1)(1)1()1()1(='=-+-+f x f x f ，因 1111),1ln(1ln )1ln()1()1(<<++=-+=-+ξx x x f x f ，1)1ln(11<+<+xx x .即)0(,)1ln(1><+<+x x x xx . 4.适用范围当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明.五、用柯西中值定理证明不等式法1.证明方法根据－柯西中值定理柯西中值定理：若⑴函数)(x f 与)(x g 都在闭区间],[b a 上连续；⑵)(x f 与)(x g 都在开区间),(b a 内可导；⑶)(x f '与)(x g '在),(b a 内不同时为0；⑷)()(b g a g ≠. 则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ . 柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系.2.证明方法①构造两个辅助函数)(x f 和)(x g ，并确定它们施用柯西中值定理的区间],[b a ； ②对)(x f 与)(x g 在],[b a 上施用柯西中值定理；③利用ξ与b a ,的关系，对柯西公式进行加强不等式.3.例例7：设20,π<<<>y x e a ，证明a a y x a a xx y ln )cos (cos ->-.. 证明：原不等式等价于a a xy a a x xy ln cos cos -<--，可构造函数t a t f =)(，t t g cos )(=,因),(t f )(t g均在],[y x 上连续，在),(y x 上可导，且0ln )(≠='a a t f t ，由于20π<<<y x ，则y y g x x g t t g cos )(cos )(,0sin )(=≠=≠-='，所以),(t f )(t g 在],[y x 上满足柯西中值条件，于是存在),(y x ∈ξ，使得ξξξξsin ln cos cos )()()()()()(-=--=--=''a a x y a a x g y g x f y f g f x y ，又因),,(,y x e a ∈>ξ,20π<<<y x 有1ln ,1sin 1,>><a a a x ξξ，得：ξξξξsin ln ln ,sin ln ln a a a a a a a a x x ->-< ,因此a a xy a a x xy ln cos cos -<--,即a a y x a a x x y ln )cos (cos ->-. 4.适用范围当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明.六、上述二、三、四、五种方法小结前面二、三、四、五种方法中，均可利用差式构造函数，但有时应用导数研究函数单调性证明不等式，有时应用导数研究函数极值证明不等式，而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式.三者有何区别：⑴若所证不等式含有函数值及其导数，宜用中值定理；若所证不等式),(),()(b a x x g x f ∈<，其两端函数)(),(x g x f 均可导，且)()()(a g a f a F -=或)()()(b g b f b F -=有一为0时，宜用函数的单调性.⑵若所证不等式的两端函数有不可导时，不能用函数单调性证明，宜用中值定理. ⑶若所证不等式),(),()(b a x x g x f ∈<，两端函数)(),(x g x f 均可导，但)()()(x g x f x F -=不是单调的函数时，宜用函数的极值来证明.七、用函数的凹凸性证明不等式1.证明方法根据－凹凸函数定义及其定理和詹森不等式定义：设)(x f 为定义在区间I 上的函数，若对于I 上任意两点21,x x 和实数)1,0(∈λ，总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+,则称)(x f 为I 上的凸函数，若总有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+,则称)(x f 为I 上的凹函数.定理六：设)(x f 为I 上的二阶可导函数，则)(x f 为I 上的凸函数（或凹函数）的充要条件是在I 上)0)((0)(≤''≥''x f x f 或 .命题（詹森不等式） 若)(x f 在],[b a 上为凸函数，对任意的)2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ且11=∑=n i i λ,则≤∑=)(1n i i i x f λ)(1i n i i x f ∑=λ.该命题可用数学归纳法证明.函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系.2.证明方法：①定义证明法：将不等式写成定义的形式，构造辅助函数)(x f ，并讨论)(x f 在所给区间上的凹凸性.②詹森不等式法：对一些函数值的不等式，构造凸函数，应用詹森不等式能快速证此类不等式.3.例例8：证明：当0,0>>y x 时,2ln )(ln ln y x y x y y x x ++>+.. 证明（定义证明法）：设)0(ln )(>=t t t t f .有)0(01)(,1ln )(>>=''+='t t t f t t f .则)(t f 在),0(+∞为凸函数.对任意)(0,0y x y x ≠>>，有)2(2)()(y x f y f x f +>+(取21=λ).(要使)(x f 与)(x g 的系数相同，当且仅当λλ-=1时成立，即21=λ).因此2ln )(ln ln y x y x y y x x ++>+. 4.适用范围当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式.八、用泰勒公式证明不等式法1.证明方法根据－泰勒定理泰勒定理：若函数)(x f 满足如下条件：⑴在闭区间],[b a 上函数)(x f 存在直到n 阶连续导数;⑵在开区间),(b a 内存在)(x f 的1+n 阶导数，则对任何),(b a x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得:1)1()(2)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n a x n a f a x n a f a x a f a x a f a f x f . 泰勒公式揭示了多项式与函数之间的关系.2.证明方法①根据已知条件，围绕证明目标，选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展式；②根据已知条件，向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理，直到可以结合已知条件证出不等式为止.（注意具体的题目应用此方法时要灵活运用，有些题目在进行①前，要先对已知条件或证明目标进行适当的转化，以更有利于证明的进行，使②不会过于繁琐.）3.例例9：设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，)1()0(f f =,且2)(≤''x f ，试证明：1)(≤'x f . 证明：取10≤≤x ，有：,0,)0)((21)0)(()()0(121x x f x x f x f f <<-''+-'+=ξξ 10,)1)((21)1)(()()1(222<<-''+-'+=ξξx f x x f x f f .由于)1()0(f f =则],)1)(()([21)(2221x f x f x f -''-''='ξξ])1()()([21)(2221x f x f x f -''+''≤'ξξ )0)1(2(,1)1(21)1(])1(22[212222≥-≤--=-+=-+≤x x x x x x x x ．因此原不等式成立.4.适用范围当遇到含有函数或高阶导数，或函数增量与高阶导数，或要证的是导数（一阶或二阶）不等式时，可利用泰勒公式来证明有关的不等式.九、用幂级数展开式证明不等式法１．证明方法根据－几个重要的初等函数的幂级数展开式几个重要的初等函数的幂级数展开式如下：),(,!1!2112+∞-∞∈+++++=x x n x x e n x ； ),(,)!12(1)1(!31sin 1213+∞-∞∈+--++-=--x x n x x x n n ； ),(,)!2(1)1(!41!211cos 242+∞-∞∈+-++-=x x n x x x n n ； )1,0(,1112∈+++++=-x x x x xn ； ]1,1(,)1(3121)1ln(132-∈+-+++-=+-x n x x x x x n n ．初等函数是中学数学教学重点，某些初等函数可展开成幂级数，在展开式中添加或删去某些幂级数时，可很快证明出某些含幂级数的不等式.2.证明方法先把初等函数展开成幂级数，然后在展开式中添加或删去某些幂级数即可快速证明此不等式.3.例例10:当)1,0(∈x ，证明x e x x 211>-+. 证明：因x e x2,11-分别可写成幂级数展开式，有：=++++++=-+)1)(1(112 n x x x x xx )1,0(,22212∈+++++x x x x n ．),(,!2!2221222+∞-∞∈+++++=x x n x x e n n x ． 则左边的一般项为n x 2，右边的一般项为!2n x n n ，因此当!22,3n n n>≥，所以)1,0(,112∈>-+x e xx x . 4.适用范围当不等式中含有上面几个重要初等函数之一时，可用幂级数展开式法来证明此不等式.十、用定积分理论来证明不等式法1.证明方法根据－定积分的性质和变上限辅助函数理论定积分性质之一：设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两个可积函数，若],[),()(b a x x g x f ∈≤则dx x g dx x f b a b a ⎰⎰≤)()(.微积分学基本定理：若函数)(x f 在],[b a 上连续，则由变动上限积分],[,)()(b a x dt t f x xa ∈=Φ⎰， 定义的函数Φ在],[b a 上可导，而且)()(x f x =Φ'.也就是说，函数Φ是被积函数)(x f 在],[b a 上的一个原函数.微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系.2.证明方法①利用定积分的性质证明不等式法：对可积函数)(x f ，)(x g ，先证出)()(x g x f ≤，然后由定积分的性质可证dx x g dx x f ba ba ⎰⎰≤)()(（见例14）； ②构造变上限辅助函数证明不等式法：对于含有定积分的不等式，可把常数变为变数构造辅助函数，利用变上限积分⎰x a dt t f )(及函数的单调性解决此类不等式（见例15）. 3.例例11：证明：⎰⎰≤2121ln ln xdx x xdx x . 证明（利用定积分性质）：当]2,1[∈x 时，0ln ,>≤x x x ，则x x x x ln ln ≤.因x x ln ，x x ln 在]2,1[上均为连续函数.则x x x x ln ,ln 在]2,1[均可导.由定积分性质可知：⎰⎰≤2121ln ln xdx x xdx x ． 4.适用范围当不等式含有定积分（或被积函数)()(x g x f ≤时），可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明.十一、引入参数证明不等式法1.证明方法根据－将对数值不等式的证明转化为对函数不等式的证明，用微积分理论研究函数的性质，从而证明不等式.2证明方法引入参数t ，构造辅助函数0])()([2≥-⎰dx x tg x f b a ，得到关于t 的二次多项式，利用判别式0≤∆来证明不等式.3.例例12：设)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，证明：dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a⎰⎰⎰≤)()())()((222（柯西－许瓦茨不等式）. 分析：欲证不等式是函数)(),(22x g x f ，以及)()(x g x f 的积分不等式，引入参数t ，考虑辅助函数 2)]()([x tg x f -在区间],[b a 上的积分.证明：利用定积分的性质易知0])()([2≥-⎰dx x tg x f ba ，即0)()()(2)(222≥+-⎰⎰⎰ba b a ba dx x f dx x g x f t dx x g t .这是关于t 的二次多项式不等式，因此，判别式：0)()(4))()((4222≤-=∆⎰⎰⎰ba b a b a dx x g dx x f dx x g x f ，即： dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a ⎰⎰⎰≤)()())()((222． 4.适用范围当积分式含有平方项)(2x f ，或)(2x f '的情形.。