LHS

0

n i2

1 i

1 i2


n 1

1 x

1 x2

dx l n
x 1 n x 1
l n n 1 1 l nn 1 RHS
n
所以， n N ，不等式 l
nn 1
n i 1
i 1 i2 成立。
1
nN 。
此题解法正是“数形结合”思想的高度运用。
11
天津市第一〇二中学
综述：
定积分放缩法作为一种简洁、优美的解题方法，在解决 由“数项级数”所引申出的“证明数列前 n 项和不等式”的 问题中有相当广泛的应用，具有一定程度的普适性。无疑为 学生遇到问题“无从下手”时，提供了一套系统的构思程序。
由此可见，数学的精神在于各个数学分支的互相穿插与 多种解法间内在紧密联系的数学逻辑。这就是“数学素养”。
参考文献
1.《浅谈高等数学在中学数学中的应用》M .广东石油化工学院，22-24 2.李广修.证明不等式的定积分放缩法J .数学通报，2008,47（7）：55-57 3.意琦行，数海拾贝.证明级数不等式的积分放缩法J .光量子，2015；10；29 4.《高等数学》M .同济大学数学系，2014 第 7 版：251-327
大”，再根据“这个不等式是非严格成立的（即含等号）” 判断放大之前需先将首项单独说明，而后再空出首项从第二 项开始进行“放大”（即保留首项取等）。
10
天津市第一〇二中学
例 4 1：（2016 天津六校联考）
证明：l
nn
1

1
1 2

1 3


1 n

n
2n
1
n N
根据“列项求和”的经验，我们注意到：
n
2n
1

1 2


1 1

1 2



1 2

1 3




1 n

n
1
1


★
分析式★的几何意义为阴影部分面积，且函数
f
x
1 x
是下凸函数，故易知 S矩形 S曲边梯形 SRt ，从而
,
x 1
由于函数 y f x 在 1 , 上是减函数，故：
n
LHS 2
2 2 n 2
n
dx l n2x 1 2
i2 2i 1
1 2x 1
1
l n2n 1 2 l n2n 1 2 RHS
所以，
n i 1
2 l n2n 1
2i 1
2
,
n N 成立。
8
天津市第一〇二中学
例 3 3：（2016 天津市耀华中学第一次校模）
证明：不等式
1
n i 1
i
2
i
1

l
n
n

1 2
n 1 , 2 , 成立。
之前例 1.例 2.的处理方法，都是利用数列的通项直接
对于这类不能够直接使用定积分放缩的题目，在构造被
积函数的思路上具有一定的方向性。方向一：构造出的被积 函数应该利用高中知识很容易求得其积分函数。方向二：根 据不等号方向与不等号是否严格（即是否含有等号）可以预
测构造方向。比如：对于例
3.中对于
n i 1
i2
i 1

1 2
l
n
n的
证明，我们可以先根据“小于号”判断要对原通项进行“放
当n

2
时，构造函数：
f
x
1 x2
；
LHS
1
n i2
1 i2
1
n1 1 x2
dx 1 1 n x1
2 1 2 RHS n
对照以上两种方法，不难发现利用定积分放缩的方法十
分优美、简洁，并且在很大意义上揭示了级数不等式的本质。
4
天津市第一〇二中学
构造函数：
f
Байду номын сангаас

1 x
x

1 ，在定义域上为减函数，从而：
S矩形

n 1 i1 i
n1 1 1x
dx 1 2
n 1 1 i1 i i 1
ln
n 1
n
2n 1
即：
l
nn

1

1

1 2

1 3



1 n

n
2n
n1
dx l nx 1
i1 i 1 1 x 1
1

l
n
n 2
1

l
n
e 2

LHS
所以，
l
n
n 1
n i 1
i i2 1

l
n
n
1 2
n 1 , 2 , 成立。
即： 1
n i 1
i2
i l 1
n
n

1 2
n 1 , 2 , 成立。
p
i p
p 1
向右作矩形
向左作矩形
5
天津市第一〇二中学
②若 f x 在 p 1 , q 1 上为增函数，则：
q
q
f x dx
f i
q1 f x dx
p 1
i p
p
向左作矩形
向右作矩形
下面以天津市近两年高考与模拟的压轴题为例深刻体 会定积分放缩法的优越性。
然而，对于第二种题型，“和转项”与归纳法则不再适
2
天津市第一〇二中学
用。题目中要求寻找的，类似于这个数列前 n 项和的“极限”， 而这个“极限”则是一个常数。在处理这一类问题时，我们 通常要将原数列的通项进行一定程度的放缩与变形，处理成 为一个能够求和的数列，并且由变形后数列的“和”可以进 一步证明我们想要的结论（如果将变形后数列的前 n 项和看 作一个函数，那么待证明的常数 C 通常是这个函数的极限）。
n1 1x
dx
l n x n 1 l n n 1 RHS
12
2
9
天津市第一〇二中学
②不等式左半链：
由于
i2
i 1

i2
i
i

i
1 1
n N ，从而
构造函数：
f
x
1 x
x 1
1，在定义域上为减函数，故：
n
RHS
1 n1 1
数列，高考的重中之重。而对于数列前 n 项和不等式的
证明更是天津高考的难点。这类问题大致可以分为两种：第
一种，证明
n

f
i

gn
n
；第二种，证明：
f
i

C
（其中
im
im
C 是常数）。如果这样简单分类的话，那么显然第二种题型
会比第一种更复杂 2 。
对于第一种题型，题目中已然给出了我们要证明的“对
定理：设定义在 Df 上的函数 y f x ， p 1 , q 1 Df
若 f x 满足，在闭区间 p 1 , q 1 上连续，开区间
p 1 , q 1 可导，则有：
①若 f x 在上 p 1 , q 1 上为减函数，则：
q1 f x dx q f i q f x dx
是直接放缩至待证“对象”本身，而是构造了一个比待证不
等式强度更大的不等式，然后再次放缩到需要的“对象”。
例 2：（2012 天津卷）
证明：
n i 1
2 l n2n 1
2i 1
2
,
nN
当 n 1 时，不等式显然成立；
当 n 2 时，构造函数：
f x
2 2x 1
为解决这一瓶颈，笔者尝试从高中数学内部寻找一种容 易为高中生理解，又不会涉及“知识超纲”问题，且尽可能 普遍适用的方法和视角来解决这一类问题，并试图探究其内 在“本原”。于是，笔者发现了——定积分。
3
天津市第一〇二中学
经典举例：证明
1

1 22

1 32

1 n2
2 nN
（1）一般放缩法：
n
n 1
n i 1
i i2 1

l
n
n
1 2
n 1 , 2 ,
①不等式右半链：
当 n 1 时，显然成立；
当n

2
时，由于
i
2
i
1

i i2

1 i
，从而
构造函数：
f
x

1 x
x

1 ，在定义域上为减函数，故：
LHS
1 2

n i2
i2
i 1

1 n 11 2 i2 i 2
构造被积函数，而后使用定积分直接放缩至待证对象的加强
不等式，再进一步得证，均属于较简单、较直接的题目。
例 3.则是无法直接使用定积分，而是先要对通项进行简
单放缩和变形，之后再使用定积分放缩，在难度上有所提升，
需要一定的“数学远见”去预测放缩后的“对象”，从而构
造出我们所需要的被积函数。
原设即证： l