第三章 一元积分学第三节 定积分值的估计及不等式定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等）也很多。
总的说来：（1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的：（i ）若]),[( )()(b a x x g x f ∈≤，则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()( .（ii ）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|.（iii ）若b d c a b a x x f ≤≤≤∈≥]),,[( 0)(,则⎰⎰≤badc dx x f dx x f )()(.(iv)(柯西不等式)⎰⎰⎰≤bababadx x g dx x f dx x g x f )()(])()([222(2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法. (3)利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法．例１．判断积分⎰π202sin dx x 的符号分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值（实际上是比较积分值的绝对值）．本题中被积函数2sin x 在积分区间上有正、有负，先作换元：2x t =，把积分变为dt ttdx x ⎰⎰=ππ20202sin 21sin 后，问题更清晰，因而想到dt t t dx x ⎰⎰=ππ20202sin 21sin +=⎰π0sin (21dx tt)sin 2⎰ππdt tt至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分的积分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较．有了这些分析和思路后，解答就容易了．解：令2x t =，则dt t t dx x ⎰⎰=ππ20202sin 21sin ＝+=⎰π0sin (21dx tt)sin 2⎰ππdt tt对上式右端后一积分换元π+=u t 得⎰⎰⎰+-=+-=ππππππ2sin sin sin dt t t du u u dt tt从而=⎰π202sin dx x -=⎰π0sin (21dx tt)sin 0⎰+ππdt t t0sin )11(210>+-=⎰ππtdt t t 注：本题的解答过程不复杂，但其过程中有两个技巧很有用（１）将积分区间分成部分区间（尤其是等分区间，特别是二等分）（２）如要比较两个在不同积分区间上的积分的大小，可通过换元变成相同积分区间上的积分，然后比较．例２．设0>a ，证明：4320sin 0sin πππ≥⎰⎰-dx adx xaxx分析:： 从形式上看很象柯西不等式，但两个积分的积分区间不一样，前面的积分可用教材上介绍的一个等式⎰⎰=200)(sin )(sin πππdx x f dx x xf 变为]2,0[π上的积分，再用柯西不等式便可得结论。
解：⎰⎰=20sin 0sin πππdx a dx xa x x4)1()()(32202022sin 202sin 20sin 0sin ππππππππ=≥=⎰⎰⎰⎰⎰--dx dx adx adx adx xax x xx例３．设)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，且0)(=a f ，证明：（１）|)(|max 2)(|)(|],[2x f a b dx x f b a x ba'-≤∈⎰（２）dx x f a b dx x f bab a222])([2)()(⎰⎰'-≤分析：（１）该不等式实际上给出了左边积分的一个界。
若令|)(|max ],[x f M b a x '=∈，则有M x f ≤'|)(|，即给出了导数的界，再加条件0)(=a f ，可估计出],[),(|)(|b a x a x M x f ∈-≤，进而估计出积分的界。
（２）不等式两边分别有)(x f 和)(x f '，而等式)()()(00x f dx x f x f xx +'=⎰可将两者联系起来，这里0x 要根据具体问题具体选择，本题中容易想到a x =0证明：（１）令|)(|max ],[x f M b a x '=∈，由拉氏中值定理知))(()()()(a x f a f x f x f -'=-=ξ从而 ],[),(|))((||)(|b a x a x M a x f x f ∈-≤-'=ξ所以 M a b dx a x M dx x f dx x f ba ba ba2)()(|)(||)(|2-=-≤≤⎰⎰⎰（２）⎰⎰'=+'=xaxadt t f a f dt t f x f )()()()(，则⎰⎰⎰⎰'-≤'≤'=baxaxaxadt t f a x dt t f dt dt t f x f 2222)]([)()]([1])([)(故dx x f a b dx a x dt t f dx x f baba ba ba2222])([2)()()]([)(⎰⎰⎰⎰'-≤-'≤注：（１）中，若将条件0)(=a f 改为(i)0)(=b f ，结论仍成立，(ii) 0)2(=+ba f ,右端改为|)(|max 4)(],[2x f a b b a x '-∈,(iii) 0)(=a f 且0)(=b f ,右端改为|)(|max 4)(],[2x f a b b a x '-∈, 另外本题也可利用等式⎰⎰'=+'=xaxadt t f a f dt t f x f )()()()(去证:⎰⎰⎰⎰⎰⎰'-='='=bab ab tb axabadt t f t b dt dx t f dx dt t f dx x f )()())(())(()(所以 M a b dt t b M dt t f t b dx x f dx x f ba ba ba ba2)()(|)()(||)(||)(|2-=-≤'-≤≤⎰⎰⎰⎰(2)中右边作为左边积分的一个界有点粗(证明过程中能感觉到这一点),我们可以更精细一点：dx a x x f dx x f a b dx x f b a ba ba22222)(])([21])([2)()(-'-'-≤⎰⎰⎰不做(2)的证明过程中的第二步放大,便可证出上面结论：2)())]([(})]([){()(2222a x d dt t f dx dt t f a x dx x f ba xa ba xa ba-'='-≤⎰⎰⎰⎰⎰,再分部即可．例４．设)(x f 在],[b a 上有二阶连续导数，|)(|max ],[x f M b a x ''=∈，证明：3)(24|)2()()(|a b Mb a f a b dx x f ba-≤+--⎰ 方法一：利用上一节中的例10中的（2），或练习题21可证出结论。
方法二：由泰勒公式有2)2)((21)2)(2()2()(b a x f b a x b a f b a f x f +-''++-+'++=ξ 两边在],[b a 上积分并注意到⎰=+-b a dx ba x 0)2(得 ⎰⎰+-''++-=b a b a dx b a x f b a f a b dx x f 2)2)((21)2()()(ξ，从而得 24)()2(2|)2)((|21|)2()()(|322a b M dx b a x Mdx b a x f b a f a b dx x f ba b a b a-=+-≤+-''=+--⎰⎰⎰ξ方法三：令⎰=xadt t f x F )()(，则)()(),()(),()(x f x F x f x F x f x F ''=''''=''='，且)()()(a F b F dt t f ba-=⎰，由泰勒公式有：312)2(6)()2)(2(212)2()2()(a b F a b b a F a b b a F b a F b F -'''+-+''+-+'++=ξ （1） 322)2(6)()2)(2(212)2()2()(b a F b a b a F b a b a F b a F a F -'''+-+''+-+'++=ξ （2） （1）—（2）得))()((48)())(2()()(213ξξF F a b a b b a F a F b F '''-'''-+-+'=-所以 3213)(24|)()(|48)(|))(2()(|a b Mf f a b a b b a f dx x f ba-≤''-''-=-+'-⎰ξξ例５．设)(x f 在],[b a 上连续且单调增加，求证：⎰⎰+≥babadx x f b a dx x xf )(2)(分析：本题有多种证明方法，思路一：这里有两个参数b a ,，把b 改成变量x ，欲证⎰⎰+≥xa xadt t f x a dt t tf )(2)( 左右两边均是函数，可利用导数这一工具去证明．思路二：变形为0)()2(≥+-⎰badx x f ba x 被积函数中因子2ba x +-关于积分区间中点具有某种对称性，而)(x f 又单调，因此可想到前面介绍的利用对称性计算积分的有关公式去处理．思路三：基于思路二的考虑，将积分区间二等分，然后用积分中值定理或其它方法去证．思路四：由于0)2()2(=++-⎰baba fb a x 故 ⇔≥+-⎰0)()2(badx x f ba x 0))2()()(2(≥+-+-⎰badx ba f x fb a x 就一目了然．思路五：变形为⇔-≥-⎰⎰baba dx x f ab dx x xf a b )(2)()(22⎰⎰⎰⎰≥babababadx x f xdx dx x xf dx )()(1那么看过例6后就知道怎么做了．证：令=)(x F ⎰⎰+-xaxa dt t f x a dt t tf )(2)(，则,0)(=a F 且 0])()([21)(21)(2)(≥-=--='⎰⎰dt t f x f dt t f x f a x x F xax a从而 ],[,0)()(b a x a F x F ∈=≥取b x =，便得0)(≥b F ，结论得证．或：⎰⎰-++--+++-=+-b a ba dx xb a f ba xb a x f b a x dx x f b a x )]()2()()2[(21)()2( 0))()()(2(21≥-+-+-⎰dx x b a f x f ba xb a （或：⎰⎰-+++-+++-++--+=+-20)]2()22()2()22[()()2(ab ba dx xb a f b a x b a x b a f b a x b a dx x f b a x 0])2()2([20≥-+-++=⎰-ab dx x ba f xb a f x ） 或：++-=+-⎰⎰+dx x f ba x dx x fb a x ba a ba )()2()()2(2dx x f ba x bb a )()2(2⎰++-⎰++-=21)2()(ba adx b a x f ξ0))()((2)()2()(12222≥--=+-+⎰+ξξξf f a b dx b a x f b b a注：第一种方法我们称之为变易常数法，即把某个常数（在积分中一般是积分上限或下限）换成变量，从而化为一个函数不等式，再利用微分学的知识及其它知识去证明，这是一种常用的技巧。