2019-2020学年江西师大附中高一（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数f(x)=√x−1x−2+(x−1)0的定义域为（）A.[1, +∞)B.(1, +∞)C.[1, 2)∪(2, +∞)D.(1, 2)∪(2, +∞)【答案】D【考点】函数的定义域及其求法【解析】令被开方数x−1≥0，分母x−2非0；0次方的底数非0，列出不等式组，求出定义域．【解答】要使函数有意义，需满足{x−1≥0 x−2≠0 x−1≠0解得x>1且x≠22. 如图，那么阴影部分所表示的集合是（）A.B∩(∁U A)B.(A∪B)∪(B∪C)C.(A∪C)∩(∁U B)D.[∁U(A∩C)]∪B【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】判断出阴影部分的元素在由集合A或集合C中当不在集合B中，即在集合B的补集中；利用集合的运算表示出阴影部分．【解答】解：由韦恩图知，阴影部分在集合A或集合C中但不在集合B中，所以阴影部分所表示的集合是(A∪C)∩(C U B)，故选C.3. 给出下列关系式：①√2∈Q；②{1, 2}＝{(1, 2)}；③2∈{1, 2}；④⌀⊆{0}，其中正确关系式的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【考点】元素与集合关系的判断【解析】本题考查的是元素与集合关系，分析元素是否在对应的集合中；集合与集合的关系看其中一个集合的元素与另一个集合的关系，注意Φ的特殊性．【解答】①√2为无理数，故不正确；②{1, 2}是以1，2为元素的集合，{(1, 2)}可以看成是以点(1, 2)为元素的集合，故不能相等，所以不正确；③是元素与集合的关系，正确；④⌀是任何集合的子集，故正确．4. 下列集合中子集个数最多的是（）A.{x∈N|x2+3x+20}B.{x|x是边长分别为1, 2, 3的三角形}C.{x∈R||x|−1}D.{⌀}【答案】D【考点】子集与真子集【解析】容易求出A，B，C三个选项的集合为空集，从而这三个选项的集合的子集个数都为1，而选项D的集合子集个数为2，从而选D．【解答】A．{x∈N|x2+3x+20}＝⌀，子集个数为1；B．{x|x是边长分别为1, 2, 3的三角形}＝⌀，子集个数为1；C．{x∈R||x|−1}＝⌀，子集个数为1；D．{⌀}的子集个数为2．5. 下列各组中的两个函数是同一函数的为（）A.f(x)=(x+3)(x−5)，g(x)＝x−5x+3B.f(x)＝x，g(x)=√x2C.f(x)＝|2x−5|，g(x)＝2x−53D.f(x)＝x，g(t)=√t3【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】可以看出选项A的两函数的定义域不同，不是同一函数；选项B，C的两函数的解析式不同，都不是同一函数，从而只能选D．【解答】A.f(x)=(x+3)(x−5)的定义域为{x|x≠−3}，g(x)＝x−5的定义域为R，定义域不同，x+3不是同一函数；B.f(x)=x,g(x)=√x2=|x|，解析式不同，不是同一函数；C．f(x)＝|2x−5|，g(x)＝2x−5，解析式不同，不是同一函数；3=t，解析式和定义域都相同，是同一函数．D.f(x)=x,g(t)=√t36. 已知函数f(x)＝x 2−2ax +5，且其对称轴为x ＝1，则以下关系正确的是（ ）A.f(−3)<f(2)<f(8)B.f(−3)＝f(2)<f(8)C.f(2)<f(−3)<f(8)D.f(2)<f(8)<f(−3)【答案】C【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】根据题意，结合该二次函数f(x)的对称轴以及开口方向，分析可得f(x)在[1, +∞)上单调递增，进而可得f(2)<f(−3)＝f(5)<f(8)；即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)＝x 2−2ax +5，其对称轴为x ＝1，其开口向上，f(x)在[1, +∞)上单调递增，f(−3)＝f(5)，则有f(2)<f(−3)＝f(5)<f(8)；7. 若f(x)={x −2,(x <10)f(x −6),(x ≥10)，则f(57)的值为（ ） A.1 B.3 C.5 D.7【答案】D【考点】分段函数的应用【解析】根据题意，由函数的解析式可得f(57)＝f(9+6×8)＝f(9)，进而计算可得答案．【解答】根据题意，f(x)={x −2,(x <10)f(x −6),(x ≥10)， 当x ≥10时，有f(x)＝f(x −6)，则f(57)＝f(9+6×8)＝f(9)，当x <10时，f(x)＝x −2，则f(9)＝9−2＝7；故f(57)＝7；8. 设U ＝{1, 2, 3, 4, 5}，A ，B 为U 的子集，若A ∩B ＝{2}，(∁U A)∩B ＝{4}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5}，则下列结论正确的是（ ）A.3∉A ，3∉BB.3∉A ，3∈BC.3∈A ，3∉BD.3∈A ，3∈B【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】利用集合间的关系画出韦恩图，结合韦恩图即可得到答案．【解答】因为：U ＝{1, 2, 3, 4, 5}，A ，B 为U 的子集，若A ∩B ＝{2}，(∁U A)∩B ＝{4}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5}，对应的韦恩图为：故只有答案C 符合．9. 若函数f(x)={x 2+2ax +3,x ≤1ax +1,x >1是减函数，则a 的取值范围是（ ） A.[−3, −1] B.(−∞, −1] C.[−1, 0) D.[−2, 0)【答案】A【考点】分段函数的应用【解析】由单调性可知a <0，二次函数的对称轴与1的关系，列出不等式组求解即可．【解答】∵ 函数f(x)={x 2+2ax +3,x ≤1ax +1,x >1是减函数， ∴ {a <0−a ≥14+2a ≥1+a解得−3≤a ≤−1．故a 的取值范围是[−3, −1]．10. 定义集合的商集运算为A B ={x|x =m n , m ∈A, n ∈B}，已知集合A ＝{2, 4, 6}，B ＝{x|x =k 2−1, k ∈A}，则集合B A ∪B 元素的个数为（ ）A.7B.8C.9D.10 【答案】A【考点】并集及其运算【解析】求出B ＝{x|x =k 2−1, k ∈A}＝{0, 1, 2}，从而B A ={0, 12, 13, 14, 16, 1}，由此能求出集合B A ∪B 元素的个数．【解答】∵ 集合的商集运算为A B ={x|x =m n , m ∈A, n ∈B}， 集合A ＝{2, 4, 6}，B ＝{x|x =k 2−1, k ∈A}＝{0, 1, 2}，∴ B A ={0, 12, 13, 14, 16, 1}，∴ B A ∪B ＝{0, 12, 13, 14, 16, 1, 2}．∴ 集合B A ∪B 元素的个数为7个．11. 已知f(x)=3−2|x|，g(x)=x 2−2x ，F(x)={g(x),f(x)≥g(x),f(x),f(x)<g(x),则F(x)的最值是( )A.最大值为3，最小值−1B.最大值为7−2√7，无最小值C.最大值为3，无最小值D.既无最大值，也无最小值【答案】B【考点】函数的最值及其几何意义【解析】将函数f(x)化简，去掉绝对值后，分别解不等式f(x)≥g(x)和f(x)<g(x)，得到相应的x 的取值范围．最后得到函数F(x)在三个不同区间内分段函数的表达式，然后分别在三个区间内根据单调性，求出相应式子的值域，最后得到函数F(x)在R 上的值域，从而得到函数有最大值而无最小值．【解答】解：f(x)=3−2|x|={3−2x,(x ≥0),3+2x,(x <0),①当x ≥0时，若f(x)≥g(x)，得3−2x ≥x 2−2x ⇒0≤x ≤√3；若f(x)<g(x)，得3−2x <x 2−2x ⇒x >√3；②当x <0，若f(x)≥g(x)，得3+2x ≥x 2−2x ⇒2−√7≤x <0；若f(x)<g(x)，得3+2x <x 2−2x ⇒x <2−√7.综上所述，得F(x)={3+2x,(x <2−√7),x 2−2x,(2−√7≤x ≤√3),3−2x,(x >√3).分三种情况讨论：①当x <2−√7时，函数为y =3+2x ，在区间(−∞, 2−√7)是单调增函数，故F(x)<F(2−√7)=7−2√7；②当2−√7≤x ≤√3时，函数为y =x 2−2x ，在(2−√7, 1)是单调递减函数，在(1, √3)是单调递增函数，故−1≤F(x)≤2−√7；③当x >√3时，函数为y =3−2x ，在区间(√3, +∞)是单调减函数，故F(x)<F(√3)=3−2√3<0，∴ 函数F(x)的值域为(−∞, 7−2√7]，可得函数F(x)最大值为F(2−√7)=7−2√7，没有最小值．故选B .12. 已知函数f(x)={1(x)0(x)，则关于函数f(x)有如下说法： ①f(x)的图象关于y 轴对称；②方程f （f(x)）＝x 的解只有x ＝1；③任取一个不为零的有理数T ，f(x +T)＝f(x)对任意的x ∈R 恒成立；④不存在三个点A （x 1, f(x 1)），B （x 2, f(x 2)），C （x 3, f(x 3)），使得△ABC 为等边三角形．其中正确的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】①根据函数奇偶性的定义，可得f(x)是偶函数；②根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f(x)）＝1，即可判断出正误．③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x+T)＝f(x)对x∈R恒成立，即可判断出正误．④取x1=√33，x2＝0，x3=√33，可得f(x1)＝0，f(x2)＝1，f(x3)＝0，A(−√33, 0)，B(0, 1)，C(√33, 0)，即可判断出结论．【解答】③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x+T)＝f(x)对x∈R恒成立，故③正确．④取x1=√33，x2＝0，x3=√33，可得f(x1)＝0，f(x2)＝1，f(x3)＝0∴A(−√33, 0)，B(0, 1)，C(√33, 0)，恰好△ABC为等边三角形，故④不正确．综上：①②③正确．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.已知集合A＝[−1, 3), B(2, 5]，则A∪B＝________．【答案】[−1, 5]【考点】并集及其运算【解析】利用并集定义直接求解．【解答】∵集合A＝[−1, 3), B(2, 5]，∴A∪B＝[−1, 5]．已知集合A＝R，B＝R，f:A→B是从A到B的一个映射，若f:x→2x−1，则B中的元素3的原象为________．【答案】2【考点】映射【解析】直接由2x−1＝3求解x的值．【解答】由f:x→2x−1，得2x−1＝3，解得x＝2．∴B中的元素3的原象为2．若函数y =x 2−3x −4的定义域为[0, m]，值域为[−254, −4]，则m 的取值范围是________．【答案】[32, 3] 【考点】二次函数的性质【解析】根据函数的函数值f(32)=−254，f(0)=−4，结合函数的图象即可求解【解答】解：∵ f(x)=x 2−3x −4=(x −32)2−254，∴ f(32)=−254，又f(0)=−4， 故由二次函数图象可知：m 的值最小为32，最大为3．m 的取值范围是：32≤m ≤3．故答案为：[32, 3].如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别x 和y ，设y 是x 的函数，记y ＝f(x)，则下列说法中：①函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；②函数y ＝f(x)的值域是[0, √3]；③函数y ＝f(x)在[6k, 6k +3](k ∈Z)上是增函数；④函数y ＝f(x)与y =√3在[−2019, 2019]上有2020个交点．其中正确说法的序号是________．说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC 可以沿x 轴负方向滚动．【答案】①④【考点】命题的真假判断与应用【解析】作出点A的运动轨迹，由图即可判断各项的真假．【解答】作出点A的运动轨迹，如图所示：由图可知，函数y＝f(x)是偶函数，其值域为[0, 2]，周期为6，增区间是[6k, 6k+2]和[6k+3, 6k+4]，k∈Z．由此，可判①正确，②③错误．因为当x∈(0, 6]，函数y＝f(x)与y=√3图象有3个交点，x∈(0, 2016]，2016＝336×6，有3×336＝1008个交点，x∈(2016, 2019]，有2个交点，这样x∈(0, 2019]，就有1008+2＝1010个交点，根据对称性可知，函数y＝f(x)与y=√3在[−2019, 2019]上有2020个交点．④正确．故答案为：①④．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知全集U＝{x|x≤10, x∈N}，A＝{0, 2, 4, 6, 8}，B＝{x|x∈U, x<5}（1）求M＝{x|x∈A但x∉B}；（2）求(∁U A)∩(∁U B)．【答案】全集U＝{x|x≤10, x∈N}＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，A＝{0, 2, 4, 6, 8}，B＝{x|x∈U, x<5}＝{0, 1, 2, 3, 4}，∴M＝{6, 8}，∁U A＝{1, 3, 5, 9, 10}，∁U B＝{5, 6, 7, 8, 9, 10}，(∁U A)∩(∁U B)＝{5, 7, 9, 10}．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）根据题意，用列举法表示集合B ，分析属于A 但不属于B 的元素，即可得答案； （2）根据题意，由集合A 、B 求出∁U A 、∁U B ，由交集的定义计算可得(∁U A)∩(∁U B)，即可得答案．【解答】全集U ＝{x|x ≤10, x ∈N}＝{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，A ＝{0, 2, 4, 6, 8}，B ＝{x|x ∈U, x <5}＝{0, 1, 2, 3, 4}，∴ M ＝{6, 8}，∁U A ＝{1, 3, 5, 9, 10}，∁U B ＝{5, 6, 7, 8, 9, 10}，(∁U A)∩(∁U B)＝{5, 7, 9, 10}．已知集合A ＝{x|2≤x ≤8}，B ＝{x|1<x ≤10}，C ＝{x|m ≤x <1+2m}，U ＝R ． （1）求(∁U A)∩B ；（2）若A ∩C ＝⌀，求实数m 的取值范围．【答案】∵ A ＝{x|2≤x ≤8}，B ＝{x|1<x ≤10}，∴ ∁U A ＝{x|x <2或x >8}，∴ (∁U A)∩B ＝{x|1<x <2, 或8<x ≤10}；∵ A ∩C ＝⌀，①若C ＝⌀，则1+2m ≤m ，即m ≤−1；②若C ≠⌀，则{m >−11+2m ≤2 或{m >−1m >8，解得−1<m ≤12或m >8， 综上所述，实数m 的取值范围是(−∞,12]∪(8,+∞)．【考点】交、并、补集的混合运算交集及其运算【解析】（1）进行交集、补集的运算即可；（2）根据A ∩C ＝⌀可讨论C 是否为空集：C ＝⌀时，1+2m ≤m ；C ≠⌀时，{1+2m >m 1+2m ≤2m >8，解出m 的范围即可． 【解答】∵ A ＝{x|2≤x ≤8}，B ＝{x|1<x ≤10}，∴ ∁U A ＝{x|x <2或x >8}，∴ (∁U A)∩B ＝{x|1<x <2, 或8<x ≤10}；∵ A ∩C ＝⌀，①若C ＝⌀，则1+2m ≤m ，即m ≤−1；②若C ≠⌀，则{m >−11+2m ≤2 或{m >−1m >8 ，解得−1<m ≤12或m >8， 综上所述，实数m 的取值范围是(−∞,12]∪(8,+∞)．已知函数f(x)={4−x 2,x >02,x =01−2x,x <0(Ⅰ)求f[f(−2)]的值；(Ⅱ)求f(a 2+1)(a ∈R)的值；(Ⅲ)当−4≤x <3时，求函数f(x)的值域．【答案】（1）由题意可得f(−2)＝1−(−4)＝5，f[f(−2)]＝f(5)＝4−25＝−21． （2）f(a 2+1)＝4−(a 2+1)2＝−a 4−2a 2+3．(Ⅲ)①当−4≤x <0 时，∵ f(x)＝1−2x ，∴ 1<f(x)≤9．②当x ＝0 时，f(0)＝2．③当0<x <3 时，∵ f(x)＝4−x 2，∴ −5<x <4．故当−4≤x <3 时，函数f(x) 的值域是(−5, 9]．【考点】函数的值域及其求法函数的求值求函数的值【解析】(Ⅰ)由题意可得f(−2)＝1−(−4)＝5，f[f(−2)]＝f(5)，运算求得结果．(Ⅱ)由题意可得，f(a 2+1)＝4−(a 2+1)2，运算求得结果．(Ⅲ)分①当−4≤x <0 时、②当x ＝0、③当0<x <3 时三种情况，分别求出函数的值域，再取并集，即得所求．【解答】（1）由题意可得f(−2)＝1−(−4)＝5，f[f(−2)]＝f(5)＝4−25＝−21． （2）f(a 2+1)＝4−(a 2+1)2＝−a 4−2a 2+3．(Ⅲ)①当−4≤x <0 时，∵ f(x)＝1−2x ，∴ 1<f(x)≤9．②当x ＝0 时，f(0)＝2．③当0<x <3 时，∵ f(x)＝4−x 2，∴ −5<x <4．故当−4≤x <3 时，函数f(x) 的值域是(−5, 9]．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）的函数，且日销量近似满足g(t)＝80−2t （件），当日价格近似满足f(t)={25−12,10≤t ≤2015+12t,0≤t <10（元）． （1）试写出该种商品的日销售额y 与时间t(0≤t ≤20)的函数表达式；（2）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．【答案】该种商品的日销售额y 与时间t(0≤t ≤20)的函数表达式为：y ＝g(t)⋅f(t)={(30+t)(40−t),0≤t <10(40−t)(50−t),10≤t ≤20 ； 当0≤t <10时，y ＝(30+t)(40−t)＝−(t −5)2+1225，∴ y 的取值范围是[1200, 1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225；当10≤t ≤20时，y ＝(50−t)(40−t)＝(t −45)2−25，∴ y 的取值范围是[600, 1200]，在t ＝10时，y 取得最小值为1200．∴ 第5天时，日销售额y 取得最大，为1225元．第10天时，日销售额y 取得最小，为1200元．【考点】分段函数的应用【解析】（1）根据y ＝g(t)⋅f(t)，可得该种商品的日销售额y 与时间t(0≤t ≤20)的函数表达式；（2）分段求最值，可求该种商品的日销售额y 的最大值．【解答】该种商品的日销售额y 与时间t(0≤t ≤20)的函数表达式为：y ＝g(t)⋅f(t)={(30+t)(40−t),0≤t <10(40−t)(50−t),10≤t ≤20； 当0≤t <10时，y ＝(30+t)(40−t)＝−(t −5)2+1225，∴ y 的取值范围是[1200, 1225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1225；当10≤t ≤20时，y ＝(50−t)(40−t)＝(t −45)2−25，∴ y 的取值范围是[600, 1200]，在t ＝10时，y 取得最小值为1200．∴ 第5天时，日销售额y 取得最大，为1225元．第10天时，日销售额y 取得最小，为1200元．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3．（1）求函数f(x)的解析式；（2）若x ∈[t, t +2]，试求y ＝f(x)的最小值；（3）若在区间[−1, 1]上，y ＝f(x)的图象恒在y ＝2x +2m +1的图象上方，试确定实数m 的取值范围．【答案】y ＝f(x)的对称轴为x ＝1，f(0)＝f(2)＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x 2−4x +3；若t ≥1，则y ＝f(x)在[t, t +2]上单调递增，f(x)min =f(t)=2t 2−4t +3； 若t +2≤1，即t ≤−1，y ＝f(x)在[t, t +2]上单调递减，f(x)min =f(t +2)=2t 2+4t +3；若t <1<t +2，即−1<t <1，则f(x)min ＝f(1)＝1，综上，f(x)min ={2t 2+4t +3,t ≤−11,−1<t <12t 2−4t +3,t ≥1； 由题意知，当x ∈[−1, 1]时，2x 2−4x +3>2x +2m +1，即x 2−3x +1−m >0恒成立．设g(x)＝x 2−3x +1−m ，因为当x ∈[−1, 1]时，g(x)单调递减，所以g(x)min ＝g(1)＝−1−m ，因此有−1−m >0，得m <−1，即实数m 的取值范围是(−∞, −1)．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）利用已知条件直接求解即可；（2）按t ≥1，t ≤−1及−1<t <1三种情况讨论即可；（3）由题意，当x ∈[−1, 1]时，x 2−3x +1−m >0恒成立，转化为求函数g(x)＝x 2−3x +1−m 的最小值大于零即可．【解答】y ＝f(x)的对称轴为x ＝1，f(0)＝f(2)＝3，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x 2−4x +3；若t ≥1，则y ＝f(x)在[t, t +2]上单调递增，f(x)min =f(t)=2t 2−4t +3； 若t +2≤1，即t ≤−1，y ＝f(x)在[t, t +2]上单调递减，f(x)min =f(t +2)=2t 2+4t +3；若t <1<t +2，即−1<t <1，则f(x)min ＝f(1)＝1，综上，f(x)min ={2t 2+4t +3,t ≤−11,−1<t <12t 2−4t +3,t ≥1； 由题意知，当x ∈[−1, 1]时，2x 2−4x +3>2x +2m +1，即x 2−3x +1−m >0恒成立．设g(x)＝x 2−3x +1−m ，因为当x ∈[−1, 1]时，g(x)单调递减，所以g(x)min ＝g(1)＝−1−m ， 因此有−1−m >0，得m <−1，即实数m 的取值范围是(−∞, −1)．已知定义在区间(0, +∞)上的函数f(x)＝|x +4x −5|，（1）判定函数g(x)＝x +4x 在[2, +∞)的单调性，并用定义证明；（2）设方程f(x)＝m 有四个不相等的实根x 1x 2x 3x 4．①证明：x 1x 2x 3x 4＝16；②在[1, 4]是否存在实数a ，b ，使得函数f(x)在区间[a, b]单调，且f(x)的取值范围为[ma, mb]，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】g(x)在[2, +∞)上单调递增，证明：任取，x 1，x 2∈[2, +∞)，且x 1<x 2．∵ g(x 1)−g(x 2)=(x 1+4x 1)−(x 2+4x 2)=(x 1−x 2)+(4x 1−4x 2)=(x 1−x 2)+4(x 2−x 1x 1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2，其中x 1−x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2−4>0，g(x 1)−g(x 2)<0，∴ g(x 1)<g(x 2)∴ g(x)在[2, +∞)上单调递增，①|(x +4x )−5|=m ⇒(x +4x )−5=m 或(x +4x )−5=−m即x 2−(m +5)x +4＝0或m 2+(m −5)x +4＝0∵ x 1，x 2，x 3，x 4为方程f(x)＝m 的四个不相等的实根∴ 由根与系数的关系得x 1x 2x 3x 4＝4×4＝16，②如图，可知0<m <1，f(x)在区间(1, 2)、(2, 4)上均为单调函数，(i)当[a, b]⊆[1, 2]时，f(x)在[a, b]上单调递增，则{f(a)=ma f(b)=mb，即f(x)＝mx ，m =−4x 2+5x −1在x ∈[1, 2]有两个不等实根， 而令1x =t ∈[12,1]，则−4x 2+5x −1=φ(t)=−4(t −58)2+916，作φ(t)在[12,1]的图象可知，12≤m <916，(ii)当[a, b]⊆[2, 4]时，f(x)在[a, b]上单调递减，则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理得(a −b)(a +b −5)＝0， ∴ a +b ＝5，∴ b ＝5−a >a ，∴ 2≤a ≤52，由−a −4a +5＝mb ，得m =5−a−4a 5−a =1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254， ∴ m ∈[13,925)；综上，m 的取值范围为[13,925)∪[12,916)．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）由题意得：g(x)在[2, +∞)上单调递增，再由函数的单调性的定义证明． （2）有函数图象，数形结合，根据函数的性质即可求出答案．【解答】g(x)在[2, +∞)上单调递增，证明：任取，x 1，x 2∈[2, +∞)，且x 1<x 2．∵ g(x 1)−g(x 2)=(x 1+4x 1)−(x 2+4x 2)=(x 1−x 2)+(4x 1−4x 2)=(x 1−x 2)+4(x 2−x 1x 1x 2)=(x 1−x 2)(x 1x 2−4)x 1x 2，其中x 1−x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2−4>0，g(x 1)−g(x 2)<0，∴ g(x 1)<g(x 2)∴ g(x)在[2, +∞)上单调递增，①|(x +4x )−5|=m ⇒(x +4x )−5=m 或(x +4x )−5=−m即x 2−(m +5)x +4＝0或m 2+(m −5)x +4＝0∵ x 1，x 2，x 3，x 4为方程f(x)＝m 的四个不相等的实根∴ 由根与系数的关系得x 1x 2x 3x 4＝4×4＝16，②如图，可知0<m <1，f(x)在区间(1, 2)、(2, 4)上均为单调函数，(i)当[a, b]⊆[1, 2]时，f(x)在[a, b]上单调递增，则{f(a)=ma f(b)=mb，即f(x)＝mx ，m =−4x 2+5x −1在x ∈[1, 2]有两个不等实根，而令1x =t ∈[12,1]，则−4x 2+5x −1=φ(t)=−4(t −58)2+916， 作φ(t)在[12,1]的图象可知，12≤m <916， (ii)当[a, b]⊆[2, 4]时，f(x)在[a, b]上单调递减， 则{f(a)=mb f(b)=ma，两式相除整理得(a −b)(a +b −5)＝0， ∴ a +b ＝5，∴ b ＝5−a >a ，∴ 2≤a ≤52，由−a −4a +5＝mb ，得m =5−a−4a 5−a =1+4a(a−5)=1+4(a−52)2−254，∴ m ∈[13,925)；综上，m 的取值范围为[13,925)∪[12,916)．。