北京市东直门中学2020-2021学年高三下学期期中考试数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ）A ．3πB ．3π-C ．23πD ．23π- 2．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧ 3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）A ．24B ．36C ．48D ．644．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．1325．若0.60.5a ＝,0.50.6b ＝,0.52c ＝,则下列结论正确的是( )A ．b c a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>6．设m ，n 为非零向量，则“存在正数λ，使得λ=m n ”是“0m n ⋅>”的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．充分不必要条件7．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1038． “2a =”是“直线210ax y +-=与(1)20x a y +-+=互相平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．复数满足48i z z +=+，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．设复数z 满足()117i z i +=-，则z 在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A ．1S ≥B ．2S >C ．lg99S >D ．lg98S ≥12．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A．12B．13C．23D．56二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ABCD-为阳马，侧棱PA⊥底面ABCD，且3PA=，4BC AB==，设该阳马的外接球半径为R，内切球半径为r，则Rr=__________．14．已知不等式组20202x yx yx-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为Ω，则区域Ω的外接圆的面积为______．15．设1234x x x x、、、为互不相等的正实数，随机变量X和Y的分布列如下表，若记DX，DY分别为,X Y的方差，则DX_____DY．（填>，<，=）X1x2x3x4xY122x x+232x x+342x x+412x x+P1414141416．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是__________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为cos1sinxyθθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）.以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）直线1cos :sin x t l y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，求||AB 最大时，直线l 的直角坐标方程.18．（12分）{}2*112n 11=1=,.n 2n n n n n a a a a n N n ++++∈+已知数列满足， (Ⅰ)证明：22n n a ≥≥当时， ()*n N ∈； (Ⅱ)证明：()1121111=2122312n n n a a a a n n ++++-⋅⋅⋅+(*n N ∈)； (Ⅲ)证明：431,42n a e e <-为自然常数. 19．（12分）已知离心率为12的椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>经过点31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求椭圆M 的方程；(2)荐椭圆M 的右焦点为F ，过点F 的直线AC 与椭圆M 分别交于,A B ，若直线DA 、DC 、DB 的斜率成等差数列，请问DCF ∆的面积DCF S ∆是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 20．（12分）已知动圆过定点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，动圆圆心的轨迹为C ，过F 作斜率为(0)k k ≠的直线m 与C 交于两点,A B ，过,A B 分别作C 的切线，两切线的交点为P ，直线PF 与C 交于两点,M N ．（1）证明：点P 始终在直线l 上且PF AB ⊥；（2）求四边形AMBN 的面积的最小值．21．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，3,2,PA PB PC CA CB AC BC =====⊥（1）证明：面PAB ⊥面ABC ；（2）求二面角C PA B --的余弦值.22．（10分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A B ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，且12AB AC A B ===.（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；（2）在棱11B C 上确定一点P ，使二面角1P AB A --25.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B【解析】【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的16，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为11263ππ-⨯=-.故选：B【点睛】本题主要考查正负角的定义以及弧度制，属于基础题.2、A【解析】【分析】先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.【详解】当1m =时，直线0x my -=和直线0x my +=，即直线为0x y -=和直线0x y +=互相垂直， 所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分条件，当直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直时，21m =，解得1m =±.所以“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的不必要条件.p ：“1m =”是直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直“的充分不必要条件，故p 是假命题．当1a =时，2()1f x x =+没有零点，所以命题q 是假命题．所以()()p q ⌝∧⌝是真命题，()p q ∧⌝是假命题，p q ∨是假命题，p q ∧是假命题．故选：A ．【点睛】本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.3、B【解析】【分析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.4、A【解析】【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,x M 的值，当3x =，1943M =>，退出循环，输出结果. 【详解】程序运行过程如下： 3x =，0M =；23x =，23M =；12x =-，16M =； 3x =，196M =；23x =，236M =；12x =-，103M =；3x =，1943M =>，退出循环，输出结果为193， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目. 5、D【解析】【分析】根据指数函数的性质，取得,,a b c 的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得0.50.50.610.60.50.50>>>>，即10b a >>>，又由0.512c =>，所以c b a >>.故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得,,a b c 的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.6、D【解析】【分析】 充分性中，由向量数乘的几何意义得,0m n =，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得),0,90m n ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=m n ，所以不成立，即可得答案.【详解】充分性：若存在正数λ，使得λ=m n ，则,0m n =，cos00m n m n m n ⋅==>，得证； 必要性：若0m n ⋅>，则),0,90m n ⎡∈⎣，不一定有正数λ，使得λ=m n ，故不成立；所以是充分不必要条件故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题. 7、D【解析】【分析】计算两班的平均值，中位数，方差得到ABC 正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，D 错误，得到答案.【详解】由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A ，B ，C 正确.因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D 错误.故选：D .【点睛】本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.8、A【解析】【分析】利用两条直线互相平行的条件进行判定【详解】当2a =时，直线方程为2210x y +-=与20x y ++=，可得两直线平行；若直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行，则()12a a -=，解得12a =，21a =-，则“2a =”是“直线210ax y +-=与()120x a y +-+=互相平行”的充分不必要条件，故选A【点睛】本题主要考查了两直线平行的条件和性质，充分条件，必要条件的定义和判断方法，属于基础题． 9、B【解析】【分析】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=+=+,可得48a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩,即可得到z ,进而找到对应的点所在象限.【详解】设(,)z a bi a b R =+∈,则48z z a bi i +=++=+,48a b ⎧⎪+=∴⎨=⎪⎩,6,68i 8a z b =-⎧∴∴=-+⎨=⎩, 所以复数z 在复平面内所对应的点为()6,8-,在第二象限.故选:B【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.10、C【解析】【分析】化简得到34z i =--，得到答案.【详解】()117i z i +=-，故()()()()1711768341112i i i i z i i i i -----====--++-，对应点在第三象限. 故选：C .【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.11、C【解析】【分析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，1i =，lg 2S =；第二次，2i =，3lg 2lglg32S =+=； 第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=， …；第九十八次，98i =，99lg98lglg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==， 此时要输出i 的值为99.此时299S lg =>.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题. 12、C【解析】【分析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中截去四棱锥1B ABCD -所形成的几何体，该几何体的体积为321211133V =-⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。