安阳师范学院人文管理学院本科毕业论文（设计）学号：函数单调性的应用系别专业班级姓名指导教师2013年5月8日摘要函数单调性是函数的重要性质之一，同时也是解决实际问题求最值的重要方法。

本课题从函数单调性的概念与定义入手，主要介绍函数单调性的若干性质和判别方法，然后深入探讨和总结单调性在数学领域的相关应用，继而联系实际，分析单调性在解决实际问题中的重要作用，从而总结出函数单调性所适用的条件，应用的围等。

所以，无论是从研究教学来讲，还是实际应用来讲，研究函数的单调性都具有重要理论意义和现实意义。

关键词：函数单调性，判别，导数，应用AbstractMonotonic function not only is one of the important natures of the function , but also is an important method for the practical problems. This project plan to start with the concept and definition of the function monotonicity, mainly introduces some properties of monotone functions and discriminant methods, and then further discussed and summarized monotonic related applications in the field of mathematics, and then contact with practice, analysis what’s the important role of monotonic in solving practical problems, thus summed the conditions applied, the application scope and so on. So, whether it is from research and teaching, or from its practical application, monotonicity also has important theoretical and practical significance.Keywords：Monotonic function,Distinguish,Derivative,Application目录1、前言 (1)2、函数单调性的基础理论 (1)2.1 函数单调性的基本概念 (1)2.2 函数单调性的常用定理与性质 (3)3、函数单调性的判别 (7)3.1 初等数学中函数单调性的判别 (7)3.2 高等数学中利用导数判别函数单调性 (8)4、函数单调性的解题应用 (8)4.1 单调性在求极值、最值中的应用 (8)4.2 单调性在不等式中的应用 (14)4.3 单调性在求方程解问题中的应用 (15)4.4 单调性在化简求值方面的应用 (16)4.5 单调性在比较大小方面的应用 (17)5、函数单调性在实际生活中的应用 (17)5.1 单调性在材料合理利用中的应用 (17)5.2 单调性在生产利润中的应用 (18)5.3 单调性在结构工程中的应用 (20)5.4 单调性在优化路径中的应用 (21)6、结论 (22)致 (23)参考文献 (24)1、前 言单调性是近代数学的重要基础，是联系初等数学与高等数学的重要纽带。

研究函数在无限变化中的变化趋势，从有限认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变，都要用到单调性。

它的引入为解决相关数学问题提供了新的视野，为研究函数的性质、证明不等式、求解方程、比较大小等方面提供了有力的工具。

本文将在已有文献的基础之上，总结单调性在解决数学问题中的相关应用，并且探讨单调性在利润最大化、材料优化、资源整合和路径选择等方面的应用。

2、函数单调性的基础理论2.1 函数单调性的基本概念2.1.1 函数单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对属于I 某个区间上的任意两个自变量12,x x ,当12x x <时,都有()()12f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

如果对属于I 某个区间上的任意两个自变量12,x x ,当12x x <时,都有()()12f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

若函数在这一区间具有(严格的)单调性,则就说函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数，这一区间叫做函数的单调区间，此时也说函数是这一区间上的单调函数。

2.1.2 函数单调性的意义在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

函数的这一性质在解决函数求极值、比较大小、求解方程的根、解不等式等问题时都有很大的帮助，在现实生活中，例如在经济领域中如何实现利润最大化，在工程领域中如何计算材料的极限强度，在航空领域中计算航空器回收落地时间等等，函数单调性都有很重要的应用。

2.1.3 函数单调性的理解(1) 图形理解在区间D 上，()f x 的图像上升（或下降）⇔()f x 是区间D 上的增函数（或减函数）。

例1 证明函数]1,01)(在区间（xx x f +=上是减函数。

证明：设12,x x 是区间]1,0(上的任意实数，且12x x <，则121212121221121212121111()()()()()1()()(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=+-+=-+--=-+=--x②减函数图像 x①增函数图像12121212121212121010,01, 10,01,1()(1)0, ()()0.x x x x x x x x x x x x f x f x x x <<≤∴-<<<∴-<<<∴-->->又即 (]1212()()1(0),x x f x f x f x <>因为当时，有，在区间上所以单调递减。

图像如下:(2) 正向理解（定义理解）)(x f 在区间D 上单调递增，D x x ∈21,,且)()(2121x f x f x x <⇒<；)(x f 在区间D 上单调递减，D x x ∈21,,且)()(2121x f x f x x >⇒<。

例2 设函数)(x f y =在()2,0上是增函数，函数)2(+=x f y 是偶函数，确定)27(),25(),1(f f f 的大小关系。

解： 函数)2(+=x f y 是偶函数，∴)2()2(x f x f +=-，)23()25()21()27(f f f f ==∴，， 图1.1.11又因为)(x f 在）（2,0上是增函数，且23121<<13()(1)(),22f f f ∴<<即 75()(1)()22f f f << (3) 逆向理解)(x f 在区间D 上单调递增，D x x ∈21,,且2121)()(x x x f x f <⇒<；)(x f 在区间D 上单调递减，D x x ∈21,,且2121)()(x x x f x f <⇒>。

例3 已知奇函数)(x f 是定义在[]11，-上的减函数，若0)1()1(2<-+-a f a f ，数a 的取值围。

解：由已知可知，)1()1(2a f a f --<-，又 )(x f 是奇函数 ∴2(1)(1)f a f a -<-。

)(x f 是定义在[]11，-上的减函数， 11112≤-<-≤-∴a a ，解得10<≤a 。

(4) 导数理解设函数)(x f 在区间D 可导，若'()0f x <，则)(x f 是减函数；若'()0f x >，则)(x f 是增函数。

反之，若函数)(x f 是增函数，则'()0f x ≥；若函数)(x f 是减函数，则'()0f x ≤。

例4 函数x ax x f -=3)(在()+∞∞-,是减函数，求a 的取值围。

解：)(x f 在R 上递减，'2()310f x ax ∴=-<恒成立，则(1) 当0=a 时，'()10f x =-<，满足条件。

(2) 当0≠a 时，只须满足0120<=∆<a a 且即可。

综上所述得0≤a .2.2 函数单调性的常用定理和性质2.2.1 最值定理对于在区间I 上有定义的函数)(x f ,如果有I x ∈0,使得对于0x I ∀∈,都有)()(0x f x f ≤(或)()(0x f x f ≥)，则称)(0x f 是函数)(x f 在区间I 上的最大值(或最小值)。

例1 求函数x x f sin 1)(+=在区间[]π2,0上的最大值和最小值。

解：由三角函数x sin 的性质可知,当2π=x 时，函数()x sin 取得最大值12sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛π；当23π=x 时，函数()x sin 取得最小值12sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π.故函数)(x f 的最大值为2，最小值为0。

定理1（最大、最小值定理）若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有最大值与最小值。

如果函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，那么至少有一点[]b a ,1∈ξ，使)(1ξf 是)(x f 在[]b a ,上的最大值，又至少有一点[]b a ,2∈ξ，使)(2ξf 是)(x f 在[]b a ,上的最小值。

注意，不是任何函数都有最大值和最小值。

例如函数x x f =)(在开区间()b a ,既无最大值又无最小值。

2.2.2 有界性定理根据定理1可知，函数)(x f 在其连续区间[]b a ,上一定存在最大值M 和最小值m ，使任一[]b a x ,∈满足M x f m ≤≤)(。

该式表明，函数)(x f 在区间[]b a ,上有上界M 和下界m ，因此函数)(x f 在区间[]b a ,上有界。

定理2 若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有界。

2.2.3 零点定理定理3 设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且)(a f 与)(b f 异号，那么在开区间()b a ,至少有一点ξ，使0)(=ξf 。

例2 证明方程0123=+-x x 在区间()1,1-至少有一个根。