实验四 线性定常系统的稳态误差一、实验目的1．通过本实验，理解系统的跟踪误差与其结构、参数与输入信号的形式、幅值大小之间的关系；2．研究系统的开环增益K 对稳态误差的影响。

二、实验原理控制系统的方框图如图4-1所示。

其中G(S)为系统前向通道的传递函数，H(S)为其反馈通道的传递函数。

图4-1 控制系统的方框图由图4-1求得)()()(11)(S R S H S G S E +=（4-1）由上式可知，系统的误差E(S)不仅与其结构和参数有关，而且也与输入信号R(S)的形式和大小有关。

如果系统稳定，且误差的终值存在，则可用下列的终值定理求取系统的稳态误差：)(lim 0S SE e s ss →=（4-2）本实验就是研究系统的稳态误差与上述因素间的关系。

下面叙述0型、I 型、II 型系统对三种不同输入信号所产生的稳态误差ss e 。

1．0型二阶系统设0型二阶系统的方框图如图4-2所示。

根据式（4-2），可以计算出该系统对阶跃和斜坡输入时的稳态误差：图4-2 0型二阶系统的方框图● 单位阶跃输入（sS R 1)(=） 3112)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim 0=⨯+++++⨯=→S S S S S S e S ss （4-3） 输入输出响应曲线如图4-1所示，仿真图如图4-2所示。

图4-3 0型系统阶跃响应稳态误差响应曲线 图4-4 Matlab 仿真曲线由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位阶跃信号时，输出稳态误差近似为，符合 4-3式计算的理论值。

● 单位斜坡输入（21)(s S R =） ∞=⨯+++++⨯=→2012)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim S S S S S S e S ss （4-4）输入输出响应曲线如图4-3所示，仿真图如图4-4所示。

图4-5 0型系统斜坡响应稳态误差响应曲线 图4-6 Matlab 仿真曲线由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位阶跃信号时，输出稳态误差趋于无穷大，符合4-5式理论计算值。

上述结果表明0型系统只能跟踪阶跃信号， 0型系统跟踪阶跃输入有稳态误差，计算公式为：Pss K R e +=10（4-5）其中)()(lim 0S S H S G K p →≅，R 0为阶跃信号的幅值。

2．I 型二阶系统设图4-4为I 型二阶系统的方框图。

图4-7 I 型二阶系统方框图● 单位阶跃输入SS S S S S R S G S E 110)1.01()1.01()()(11)(⨯+++=+=0110)1.01()1.01(lim 0=⨯+++⨯=→SS S S S S e S ss （4-6）图4-8 I 型系统阶跃响应稳态误差响应曲线 图4-9 Matlab 仿真曲线由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位阶跃信号时，输出稳态误差近似为0，符合4-6计算的理论值。

● 单位斜坡输入1.0110)1.01()1.01(lim 20=⨯+++⨯=→SS S S S S e S ss （4-7）图4-10 I 型系统斜坡响应稳态误差响应曲线 图4-11 Matlab 仿真曲线由 Matlab 仿真结果来看，输入为单位斜坡信号时，输出稳态误差近似为，符合4-7计算的理论值。

这表明I 型系统的输出信号完全能跟踪阶跃输入信号，在稳态时其误差为零。

对于单位斜坡信号输入，系统输出有稳态误差，，理论误差计算公式为：VOK V （4-8） 其中)()(lim 0S H S SG K S V →=，O V 为斜坡信号对时间的变化率。

3．II 型二阶系统设图4-5为II 型二阶系统的方框图。

图4-12 II 型二阶系统的方框图● 单位阶跃输入当单位阶跃输入时II 型二阶系统的仿真曲线如图4-13所示图4-13 II 型二阶系统单位阶跃输入仿真曲线结果趋于零。

● 单位斜坡输入当单位斜坡输入时II 型二阶系统的仿真曲线如图4-14所示图4-14 II 型二阶系统单位斜坡输入仿真曲线结果趋于零。

● 单位抛物输入当单位抛物波输入时II 型二阶系统的理论稳态偏差曲线如图4-15所示，仿真曲线如图图4-15 II 型系统的抛物波稳态误差响应曲线 图4-16 Matlab 仿真曲线表明II 型系统的输出信号完全能跟踪阶跃和斜坡输入信号，在稳态时其误差为零。

当输入信号为抛物波221)(t t r =，即31)(S S R =时，其稳态误差为：1.01)47.01(10lim 3220=⨯++⨯=→S s S S S e S ss （4-9）三、实验内容连接电路，在上位机上观察实验曲线。

1．0型二阶系统当输入u r 为一单位阶跃信号时，用上位软件观测图中e 点并记录其实验曲线，并与理论偏差值进行比较。

当输入u r 为一单位斜坡信号时，用上位软件观测图中e 点并记录其实验曲线，并与理论偏差值进行比较。

● 单位阶跃输入由4-17图可得，稳态误差为，与实际稳态误差较接近。

实验曲线如下图所示：图4-17 0型二阶系统单位阶跃响应曲线●单位斜坡输入由4-18图可得，稳态误差无穷大，与理论相符。

实验曲线如下图所示：图4-18 0型二阶系统单位阶跃响应曲线2．Ｉ型二阶系统当输入u r为一单位阶跃信号时，用上位软件观测图中e点并记录其实验曲线，并与理论偏差值进行比较。

当输入u r为一单位斜坡信号时，用上位软件观测图中e点并记录其实验曲线，并与理论偏差值进行比较。

●单位阶跃输入由4-19图可得，Ｉ型二阶系统在单位阶跃输入下稳态误差为零，与理论相符。

实验曲线如下图所示：图4-19 I型二阶系统单位阶跃响应曲线●单位斜坡输入由4-20图可得，Ｉ型二阶系统在单位斜坡输入下稳态误差为零，与理论相符。

试验曲线如下图所示：图4-20 I型二阶系统单位斜坡响应曲线3．II型二阶系统当输入u r为一单位斜坡(或单位阶跃)信号时，用上位软件观测图中e点并记录其实验曲线，并与理论偏差值进行比较。

当输入u r为一单位单位抛物波信号时，用上位软件观测图中e点并记录其实验曲线，并与理论偏差值进行比较。

●单位阶跃输入由4-21图可得，II型二阶系统在单位阶跃输入下稳态误差为零，与理论相符。

试验曲线如下图所示：图4-21 II型二阶系统单位阶跃响应曲线●单位斜坡输入由4-22图可得，II型二阶系统在单位斜坡输入下稳态误差为零，与理论相符。

试验曲线如下图所示：图4-22 II型二阶系统单位斜坡响应曲线●单位抛物波输入由4-23图可得，Ｉ型二阶系统在单位抛物波输入下稳态误差近似为，与理论相符。

试验曲线如下图所示：图4-23 II 型二阶系统单位抛物波响应曲线四、实验思考题1. 为什么0型系统不能跟踪斜坡输入信号？ 答： 以实验要求中给出的系统为例，图4-24 0型二阶系统的方框图从0型系统的方框图可以推知，对阶跃信号稳态误差为3112)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim 0=⨯+++++⨯=→S S S S S S e S ss对斜坡信号的稳态误差为∞=⨯+++++⨯=→2012)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim S S S S S S e S ss可见，由于0型系统的E(S)在原点处没有零点，而斜坡信号拉氏变换后在原点有一个二阶极点，极点不能被抵消，造成了误差的不断累积，因此0型系统不能跟踪斜坡输入信号。

2. 为什么0型系统在阶跃信号输入时一定有误差存在，决定误差的因素有哪些？答：同样以以实验要求中给出的系统为例，从0型系统的方框图可以推知，对阶跃信号稳态误差为：3112)1.01)(2.01()1.01)(2.01(lim 0=⨯+++++⨯=→S S S S S S e S ss可见，由于阶跃信号拉氏变换后在原点只有一个一阶极点，能够被抵消，同时也不存在未被抵消的零点，这时的就是常数。

从系统框图可见，0型系统由两个惯性环节串联，再做负反馈构成，惯性环节的传递函数：稳态误差决定于两个惯性环节的放大倍数。

3. 为使系统的稳态误差减小，系统的开环增益应取大些还是小些？答：从上面的计算式子就可以看出，为了减少0型系统的稳态误差，系统的开环增益应当取大些。

对于I 型系统，前面也已推导过，对斜坡信号输入存在稳态误差，其值为VO K V ，其中)()(lim 0S H S SG K S V →=，O V 为斜坡信号对时间的变化率。

对于II 型系统，情况类似，可见，为了减少稳态误差，开环增益都应该增大。

五、心得体会此次实验有让我增长了许多知识，在学习理论知识的同时锻炼；了自己的动手能力，在实验过程中遇到了很多问题，包括THKKL-6型试验仪的接线问题，上位机的调试问题，然后通过仔细的阅读使用说明书并细心检查线路后，排除了相应的困难，在不断的解决问题的过程中逐步提升自己的实践动手能力以及对知识的熟悉掌握程度。

这次实验加深了我对线性系统稳态误差的理解，通过实物模拟学习到了0型、I 型、II 型二阶系统跟踪阶跃等信号的稳态误差，让我对自动控制这门学科的奇妙之处颇为惊讶，同时激发了我继续探索控制领域其他理论知识的兴趣，这些经验对我们以后的学习将有着一定的帮助与启示，使我们对自己的专业和以后将从事的工作拥有更加全面的了解和认识。