历年高考数学真题精选（按考点分类）专题23 基本不等式（学生版）一．选择题（共10小题）1．（2015•湖南）若实数a ，b 满足12a b+=，则ab 的最小值为( )A B ．2C ．D ．42．（2015•上海）已知0a >，0b >，若4a b +=，则( )A ．22a b +有最小值 BC ．11a b+有最大值 D 有最大值3．（2015•福建）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．54．（2014•重庆）若42log (34)log a b +=a b +的最小值是( )A ．6+B ．7+C ．6+D ．7+5．（2013•山东）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=．则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．94D ．36．（2013•福建）若221x y +=，则x y +的取值范围是( ) A ．[0，2]B ．[2-，0]C ．[2-，)+∞D ．(-∞，2]-7．（2012•浙江）若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．68．（2010•四川）设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是( )A ．2B ．4C ．D ．59．（2010•四川）设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．（2010•重庆）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是( )A ．3B ．4C ．92D ．112二．填空题（共10小题）11．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为 ． 12．（2019•天津）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为 ．13．（2018•天津）已知a ，b R ∈，且360a b -+=，则128a b +的最小值为 ． 14．（2017•山东）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为 ． 15．（2014•上海）若实数x ，y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 ．16．（2013•上海）设常数0a >，若291a x a x++对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 ．17．（2013•四川）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a = ．18．（2013•天津）设2a b +=，0b >，则1||2||a a b+的最小值为 ． 19．（2013•陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x 为 ()m ．20．（2013•天津）设2a b +=，0b >，则当a = 时，1||2||a a b+取得最小值．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题23 基本不等式（教师版）一．选择题（共10小题）1．（2015•湖南）若实数a ，b 满足12a b+=，则ab 的最小值为( )A B ．2 C ．D ．4【答案】C【解析】12a b+=， 0a ∴>，0b >，1222a b ab+（当且仅当2b a =时取等号）， ∴22ab ab，解可得，22ab ，即ab 的最小值为 故选：C ．2．（2015•上海）已知0a >，0b >，若4a b +=，则( )A ．22a b +有最小值 BC ．11a b+有最大值 D 有最大值【答案】A【解析】0a >，0b >，且4a b +=， 2222()2162162()16882a b a b a b ab ab ++=+-=--=-=， 有最小值， 故选：A ．3．（2015•福建）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C 【解析】直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，∴111(0,0)a b a b+=>>， 所以11()()2224b a b aa b a b a b a b a b+=++=+++=，当且仅当b aa b=即2a b ==时取等号， a b ∴+最小值是4，故选：C ．4．（2014•重庆）若42log (34)log a b +=a b +的最小值是( ) A．6+B．7+C ．6+D ．7+【答案】D【解析】340a b +>，0ab >， 0a ∴>．0b >42log (34)log a b += 44log (34)log ()a b ab ∴+=34a b ab ∴+=，4a ≠，0a >．0b >∴304ab a =>-， 4a ∴>，则 33(4)1212123(4)74444122(4)774a a ab a a a a a a a a a a -++=+=+=++=-++-----+=-当且仅当4a =+ 故选：D ．5．（2013•山东）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=．则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为( ) A ．0 B ．1 C ．94D ．3【答案】B 【解析】22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+，又x ，y ，z 均为正实数，∴22111434432xy xy x y z x xy y x y x===-++-⨯（当且仅当2x y =时取“=” )，∴()1max xyz=，此时，2x y =． 2222234(2)3242z x xy y y y y y y ∴=-+=-⨯⨯+=，∴222121111(1)11x y z y y y y +-=+-=--+，当且仅当1y =时取得“=”，满足题意． ∴212x y z+-的最大值为1． 故选：B ．6．（2013•福建）若221x y +=，则x y +的取值范围是( ) A ．[0，2] B ．[2-，0] C ．[2-，)+∞ D ．(-∞，2]-【答案】D 【解析】1222(22xyx =+12)y，变形为124x y+，即2x y +-，当且仅当x y =时取等号． 则x y +的取值范围是(-∞，2]-． 故选：D ．7．（2012•浙江）若正数x ，y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A ．245B ．285C ．5D ．6【答案】C【解析】正数x ，y 满足35x y xy +=，∴31155x y+= 31941231312334()(34)2555555555y x y x x y x y x y x y y∴+=++=++++= 当且仅当12355y x x y=时取等号，345x y ∴+，即34x y +的最小值是5．故选：C ． 8．（2010•四川）设0a b c>>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是( ) A ．2 B ．4C ．D ．5【答案】B【解析】221121025()a ac c ab a a b ++-+- 2211(5)()a c a ab ab ab a a b =-+-+++- 211(5)()()a c ab a a b ab a a b =-+++-+- 0224++=当且仅当50a c -=，1ab =，()1a a b -=时等号成立如取a，b =，c 满足条件． 故选：B ．9．（2010•四川）设0a b >>，则211()a ab a a b ++-的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】21111()4()()a ab a a b ab a a b ab a a b ++=++-+-- 当且仅当11()()ab ab a a b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪-⎩取等号即2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩取等号． ∴211()a ab a a b ++-的最小值为4 故选：D ．10．（2010•重庆）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．92D ．112【答案】B【解析】考察基本不等式2228(2)8()2x y x y x y ++=--， 整理得2(2)4(2)320x y x y +++-即(24)(28)0x y x y +-++，又20x y +>， 所以24x y + 故选：B ．二．填空题（共10小题） 11．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为 ． 【答案】98【解析】113222y y x x =+∴239()822y x = 12．（2019•天津）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为 ．【答案】92【解析】0x >，0y >，24x y +=， 则(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+； 0x >，0y >，24x y +=，由基本不等式有：4222x y xy =+， 02xy ∴<，552xy，故：5592222xy ++=； （当且仅当22x y ==时，即：2x =，1y =时，等号成立）， 故(1)(21)x y xy ++的最小值为92；故答案为：92． 13．（2018•天津）已知a ，b R ∈，且360a b -+=，则128a b+的最小值为 ． 【答案】14【解析】a ，b R ∈，且360a b -+=， 可得：36b a =+， 则66611111222228222224a a aab a aa ++=+=+=， 当且仅当6122a a +=．即3a =-时取等号． 函数的最小值为：14． 14．（2017•山东）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为 8 ． 【答案】8 【解析】直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则121a b +=，由124442(2)()22442448a b a b a a b a b a b b a b a b +=+⨯+=+++=++++=，当且仅当4a bb a=，即12a =，1b =时，取等号，2a b ∴+的最小值为8，故答案为：8．15．（2014•上海）若实数x ，y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 ．【答案】【解析】1xy =，1y x∴=222222222222x y x x x x ∴+=+=当且仅当222x x=，即x =16．（2013•上海）设常数0a >，若291a x a x++对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 ． 【答案】1[5，)+∞【解析】常数0a >，若291a x a x ++对一切正实数x 成立，故2(9)1min a x a x++，又296a x a x +，当且仅当29a x x =，即3ax =时，等号成立 故必有61a a +，解得15a ,故答案为1[5，)+∞17．（2013•四川）已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a = 36 ．【答案】36【解析】由题设函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，(0,)x ∈+∞，∴得3x =必定是函数()4(0,0)af x x x a x =+>>的极值点，f ∴'（3）0=，2()4a f x x '=-，即2403a -=，解得36a =．故答案为：36． 18．（2013•天津）设2a b +=，0b >，则1||2||a a b +的最小值为 ． 【答案】34【解析】2a b +=，∴12a b+=，∴1||||2||4||4||a a b a a b a a b +=++， 0b >，||0a >，∴||14||b a a b+（当且仅当224b a =时取等号）， ∴1||12||4||a a a b a ++，故当0a <时，1||2||a a b +的最小值为34．故答案为：34．19．（2013•陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x 为 ()m ．【答案】20【解析】设矩形高为y ，由三角形相似得：404040x y-=，且0x >，0y >，40x <，40y <， 402x y xy ⇒=+，仅当20x y m ==时，矩形的面积s xy =取最大值2400m ．故答案为：20．20．（2013•天津）设2a b +=，0b >，则当a = 时，1||2||a a b+取得最小值． 【答案】2-【解析】2a b +=，0b >，∴1||1||2||2||2a a a b a a+=+-，(2)a < 设f （a ）1||2||2a a a=+-，(2)a <，画出此函数的图象，如图所示． 利用导数研究其单调性得，当0a <时，f （a ）122aa a =-+-， f '（a ）222212(32)(2)2(2)2(2)a a a a a a --+=-=--， 当2a <-时，f '（a ）0<，当20a -<<时，f '（a ）0>， 故函数在(,2)-∞-上是减函数，在(2,0)-上是增函数，∴当2a =-时，1||2||a a b +取得最小值34． 同样地，当02a <<时，得到当23a =时，1||2||a a b +取得最小值54． 综合，则当2a =-时，1||2||a a b+取得最小值． 故答案为：2-．。