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1、某测量低频振动用的测振仪（倒置摆）如下图所示。

试根据能量原理推导系统静平衡稳定条件。

若已知整个系统的转动惯量23010725.1m kg I ⋅⨯=-，弹簧刚度m N k /5.24=，小球质量
kg m 0856.0=，直角折杆的一边cm l 4=。

另一边cm b 5=。

试求固有频率。

k
b l θθ
I 0m
解：弹性势能
2
)(2
1θb k U k =, 重力势能 )cos (θl l mg U g --=
总势能 m g l m g l kb U U U g k -+=+=θθcos 2
122 代入0==i x x dx
dU
可得 可求得0=θ满足上式。

再根据公式02
2>=i x x dx U d 判别0=θ位置是否稳定及其条件：
即满足mgl kb >2条件时，振动系统方可在0=θ位置附近作微幅振动。

系统的动能为 22
10θ∙=I T 代入0)(=+dt
U T d 可得
由0=θ为稳定位置，则在微振动时0sin ≈θ，可得线性振动方程为：
固有频率
代入已知数据，可得
2、用能量法解此题：一个质量为均匀半圆柱体在水平面上做无滑动的往复滚动，如上图所示，设圆柱体半径为R ，重心在c 点,oc=r,，物体对重心的回转体半径为L ，试导出运动微分方程。

解：如图所示，在任意角度θ（t ）时，重心c 的升高量为
∆=r （1－cos θ）=2rsin 22θ
取重心c 的最低位置为势能零点，并进行线性化处理，则柱体势能为
V=mg ∆=2mg r sin 22θ
≈ 21mgr 2θ （a ）
I b =I c +m bc 2=m(L 2+bc 2) （b ）
bc 2=r 2+R 2-2rRcos θ(t) （c ）
而柱体的动能为 T=21
I b ∙
θ2 把（b ）式，（c ）式两式代入，并线性化有 T=21
m[L 2＋（R －r ）2]∙
θ2 （d ） 根据能量守恒定理，有
21
m[L 2＋（R －r ）2]∙
θ2＋21mgr 2θ=E=const 对上式求导并化简，得运动微分方程为
[L 2＋（R －r ）2]∙
∙θ＋gr θ=0 （e ） 3、一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。

解：取圆柱体的转角θ为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0θ=，则当m 有θ转角时，系统有：
由()0T d E U +=可知：
解得
22/()n
kr I mr ω=+（rad/s ） 4、图中，半径为r 的圆柱在半径为R 的槽内作无滑滚动，试写出系统作微小振动时的微分方程 解 1）建立广义坐标。

设槽圆心O 与圆柱轴线O 1的连线偏离平衡位置的转角为广义坐标，逆时针方向为正。

2）写出系统的动能和势能。

圆柱的动能由两部分组成，即它跟随质心的移动动能和绕质心转动的动能，而质心的速度为r θ∙（R-），圆柱相对于质心的角速度=r /r φθ∙∙
（R-），因此系统的动能为
若取系统静平衡时的势能为零，则在一般位置系统的势能为
U=mg(R-r)(1-cos θ) 3）利用能量守恒原理得到 当系统作微小振动时θ 很小，sin θ≈θ，θ∙
不恒等于零，方程就简化为。

5、单圆盘转子如图（a ）所示，可化简为图（b ）所示的简支梁系统，求其
在跨度中点垂直方向的刚度及系统的自然频率。

解：当忽略轴的质量时，系统简化为图（b ）的模型，这是一个弯曲变形振动问题。

为了求其刚度，按照材料力学中的公式，其跨度中点在集中力P 的作用下，产生的挠度y 为
则由k=P/y 得到
系统可进一步简化为“m-k ”系统，则单自由度系统的自然频率为
6、机械式振动仪原理图如图所示。

支承于水平轴o 的摆oc 连接一个刚度为k 的螺线弹簧，在重力作用下摆的平衡位置偏离水平线成β角。

设摆在水平线上方成α角处，螺线弹簧不受力。

摆的质量为m ，它绕o 轴的转动惯量为J ，摆重心c 至o 轴的距离为d ,摆oc 可围绕平衡位置作微幅振动，求其固有频率。

振动仪原理图
解：
方法一：
当摆处于平衡位置时，有
摆的微振动角位移记为θ，由动量矩定理，可得摆的运动微分方程为
考虑到式)(a ，并精确到一阶小量，上式可线性化为
因此，摆的振动固有频率为
方法二：能量法
由于不考虑阻尼，因而系统的机械能守恒。

这时系统的动能和势能可以分别表示为
由0,常数===+dt
dE E E E p k ,可得 因此，摆的振动固有频率为
7、例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞,梁长 L ，抗弯刚度 EJ
其中给出
由材料力学 ：
3
48mgl EJ λ= 求：梁的自由振动频率和最大挠度
解：
取平衡位置
以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系
静变形：λ
自由振动频率为 ：03
48g EJ ml ωλ== 撞击时刻为零时刻，则 t =0 时，有：
则自由振动振幅为 ：
梁的最大扰度：
8、质量m=0.5Kg 的物块，沿光滑斜面无初速度滑下，如上图所示。

当物块从高度h=0.1m 时撞于弹簧上并不在分离。

弹簧的刚度系数为k=0.8KN/m,倾角β=30°，求此系统的固有频率和振幅，并写出物块的运动方程。

解：物块平衡时，弹簧的变形为
k
/sin mg 0βδ= (1)
m
h
0 l l x λ
m
h
0 l/2 l/2
以物块平衡位置O 为原点，建立图示x 坐标。

物块受力如图所示，其运动微分方程为 ()x k mg x
+-=0sin m δβ 将式（1）带入上式，化简后得
系统的固有频率为
当物块碰上弹簧时，取时间t=0,作为振动的起点。

则运动的的初始条件为：
初位移： m 301006.3x -⨯-=-=δ 初速度：s m gh /4.12v 0== 代入式22020x n x
A ω += 和 00tan x x n ωθ=得 则物块的运动方程为
()087.040sin 1.35x -=t （mm)
9、今有离心式自动脱水洗衣机，质量为M=2000kg ，有四个垂直的螺旋弹簧支撑，每个弹簧的刚度由试验测定为k=830N/cm ，另有四个阻尼器，总的相对阻尼系数为ζ=0.15。

简化如图所示。

洗衣机在初次脱水时以n=300r/min 运行。

此时衣物的偏心质量为m=13kg ，偏心距为e=50cm 。

试计算其垂直振幅。

由于结构的对称性，在计算其垂直方向振幅时，可作为单自由度系统来处理。

解 偏心质量的离心惯性力在垂直方向的分量引起洗衣机机体在垂直方向上的受迫运动，其振动方程为：
式中右边分子上的2ωme 为离心惯性力，ω为激振力频率：
系统的四个弹簧为并联，总刚度为K=4k=3320N/cm ，固有频率n ω为
频率比为
这说明此时超过共振点较远，不会发生共振。

振幅为：
10、为了估计机器基座的阻尼比ζ，用激振器使机器上下振动。

激振器有两个相同的偏心块组成，它们沿相反的方向以同一角速度ω如下图所示回转，这样可以产生垂直惯性力。

当转速ω逐渐提高时机器达到最大振幅X cm 2max =，继续提高ω时，机器振幅达到稳态值X cm 25.0=，求其阻尼比ζ。

解： ()()22222-1M me X ζλλλ+=
当max X X =时共振，1=λ，221M me X max =⨯=
ζ M ω
x
k
ξ k
稳态时1=β，所以25.0M me X == 所以 063.02225.0=⨯=ζ。