高一学年第二学期期中模块考试数学 试题 2015.4注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题,共50分;第Ⅱ卷为非选择题,共100分,满分150分,考试时间为120分钟.2.第Ⅰ卷共2页,10小题,每小题5分;每小题只有一个正确答案,请将选出的答案标号（A 、B 、C 、D ）涂在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共60分.下列各题的四个选项中只有一个正确,请选出)1.已知sin α=45,并且α是第二象限的角,那么tan α的值等于 （ ）A.- 43B.- 34C. 34D. 432.已知sin(π+α)=32,则cos(α-π2)的值是（ ） A.12 B.- 12 C.32 D.- 323.设a=sin330,b=cos550,c=tan350,则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b4.设函数f(x)=sin(2x-π2),则f(x)是 （ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数5.将函数y=sin2x 的图象（ ）可得到函数y=sin(2x-π4)的图象A.向左平移π8B.向右平移π8C.向左平移π4D.向右平移π46.已知|a →|=3, |b →|=4,且a →⊥(2a →-b →),则a →,b →的夹角为（ ） A.π3 B.π6 C.2π3 D.5π6 7.在△ABC 中,若tanAtanB<1,则△ABC 是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定 8.设角α是第二象限角,且|cos α2|=- cos α2 ,则α2 角的终边在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 9.已知锐角α,β满足sin α=55,cos β=31010,则α+β= （ ）, A.π4 B.3π4 C.π4 或3π4 D.π2 10.已知tan θ=2,则sin 2θ+sin θcos θ-2cos 2θ=A.- 43B.54C.- 34D.45第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：1.第Ⅱ卷共 2 页,用蓝、黑色钢笔或圆珠笔直接答在答卷纸上.2.答卷前先将密封线的项目填写清楚.密封线不准答题.二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分.请将结果直接填在答卷纸相应题中横线上) 11.已知点P(cos 2π3,sin π3)是角α终边上一点,则sin α=_____________12.已知向量a →=(1,2),b →=(1,0),c →=(3,4),若λ为实数,(a →+λb →)∥c →,则λ=_________ 13.已知向量a →=(2,1),b →=(3,4),则a →在b →方向上的投影为____ 14.已知|a →|=|b →|=|a →-b →|=1,则|a →+b →|=15.函数y=2sin(ωx+φ)的图像,其部分图象如图所示,则f(0)=_______.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)如图,以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π),它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q, 已知点P(- 35,45),OP →•OQ →=0.求:(1)Q 点坐标; (2)sin(α+β)17.(12分)已知m →与n →是夹角为60°的两个单位向量,a →＝2m →+n →,b →＝-3m →＋2n →,求a →与b →的夹角. 18.(12分)已知向量a →=(cos α,sin α),b →=(cos β,sin β),(a →―b →)2=45 .(1)求cos(α―β)的值；(2)若―π2<β<0<α<π2,且sin β=―513 ,求cos α的值.19.(12分)若cos(π4+x)=35,17π12<x<7π4,求(1)sin(π4+x); (2)cos2x 的值.20.(13分)已知f(x)=3sinxcosx+3sin 2x- 32(1)求f(x)的最小正周期;(2)求y=f(x)的单调增区间；一中高2014级高一学年第二学期期中模块考试数学试题参考答案 2015.4一. 选择题ADCBB BCCAD 二．填空题 3 2; 12; 2; 3 ; - 2三．解答题 16.解:(1)∵P(- 35,45) ∴cos α=- 35 ,sin α=452分设Q(x,y),由OP →•OQ →=0得,OP →⊥OQ →∴β=α-π2 3分∴x=cos β=cos(α-π2)=cos(π2-α)=sin α=45∴y=sin β=sin(α-π2)=-sin(π2-α)=-cos α=35∴Q(45,35) 6分(2)∵β=α-π2∴sin(α+β)=sin(2α-π2)=- sin(π2 -2α)=- sin2α 9分∴sin2α=2sin αcos α=-242511分 ∴sin(α+β)=2425 12分17.解:∵m →与n →是夹角为60°的两个单位向量 ∴|m →|=|n →|=1,m →•n →=12 2分∴a →2＝(2m →+n →)2=4m →2+4m →•n →+n →2=4+2+1=7 ∴|a →|=7 4分 ∴b →2＝(-3m →＋2n →)2=9m →2-12m →•n →+4n →2=9-6+4=7 ∴|b →|=7 6分 ∴a →•b →=(2m →+n →)•(-3m →＋2n →)=-6m →2+m →•n →+2n →2=-6+12+2=- 72 8分∴cos θ=a →•b →|a →||b →|=- 12 10分∵θ∈[0,π] ∴θ= 23π 12分18.解:(1)∵a →=(cos α,sin α),b →=(cos β,sin β) ∴a →2=cos 2α+sin 2α=1,b →2＝cos 2β+sin 2β=1,∴|a →|=1,|b →|=1,a →•b →=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β) 3分 由(a →―b →)2=45得a →2-2a →•b →+b →2=45∴1-2cos(α-β)+1=45∴cos(α-β)= 35 6分(2)∵―π2<β<0<α<π2∴0<α-β<π∴sin(α-β)= 45 8分∵―π2<β<0,sin β=―513∴cos β=1-sin 2β =1213 9分∴cos α=cos[(α-β)+β]=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β =35⨯1213 - 45⨯(―513 )=5665 12分 19.解:(1)∵17π12<x<7π4 ∴5π3<x+π4<2π 2分又∵cos(π4+x)=35∴sin(π4+x)=-1-cos 2(π4+x)=- 456分(2)∵cos(π4+x)=35,sin(π4+x)=- 45∴cosx-sinx=352,cosx+sinx=- 45 2 9分∴cos2x=cos 2x-sin 2x =(cosx+sinx)(cosx-sinx) =-242512分 20.解:(1)f(x)=3sinxcosx+3sin 2x- 32=32sin2x+32(1-cos2x)- 32 =32sin2x-32cos2x =3(12sin2x-32cos2x)=3sin(2x- π3) 5分∴f(x)的最小正周期T=π 6分 (2)由2k π- π2≤2x- π3≤2k π+π2(k ∈Z)得 k π- π12≤x ≤k π+5π12(k ∈Z)∴y=f(x)的单调增区间是[k π-π12,k π+5π12](k ∈Z) 9分 (3)∵x ∈[π3,5π6] ∴2x- π3∈[π3,4π3]∴sin(2x- π3)∈[- 32,1]∴y=f(x)的值域是[- 32,3] 13分21.解: (1)f(x)=OM →•ON →=(1+cos2x)+(3sin2x+a) =3sin2x+cos2x+a+1 =2(32sin2x+12cos2x)+a+1 =2sin(2x+π6)+a+1 6分(2)∵x ∈[0,π2] ∴2x+π6∈[π6,7π6]∴sin(2x+π6)的最大值为1∴f(x)的最大值为a+3由题意得a+3=2 ∴a=-1 10分 (3)在满足(2)的条件下,f(x)=2sin(2x+π6)∴f(x)的图象可由y=sinx 的图象先向左平移π6个单位;再把所得图像上点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变;最后把所得图像点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的2倍得到. 14分(3)当x ∈[π3,5π6]时,求y=f(x)的值域.21.(14分)若M(1+cos2x,1),N(1,3sin2x+a)(x ∈R,a ∈R),且f(x)=OM →•ON →(O 为原点) (1)求f(x)的解析式;(2)若x ∈[0,π2]时,f(x)的最大值为2,求a 的值；(3)在满足(2)的条件下,说明f(x)的图象可由y=sinx 的图象如何变化而得到？。