、不等式的概念及列不等式概念 不等号表示出不等关系1不等式的概念及其分类(1 )定义：用“〉”、“<”、“工”、及“w”等不等号把代数式连接起来，表示不等 关系的式子。

a-b>Oa>b, a-b=Oa=b, a-b<Oa<b 。

(2)分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条 件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2>3, x 2< 0② 绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式； ③ 条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。

(3 )不等号的类型：① “工”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小； ② “〉”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大； ③ “<”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小； ④读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤ “w”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

(4 )常见不等式基本语言的含义：① 若x > 0,则x 是正数；②若x < 0,则x 是负数；③若x > 0,则x 是非负数；④若x w 0, 则x 是非正数；⑤若 x-y >0，则x 大于y ;⑥若x-y < 0,则x 小于y ;⑦若x-y >0,贝U xx不小于y ;⑧若x-y w 0，则x 不大于y ;⑨若xy >0 (或一〉0),则x , y 同号；⑩若xy < 0y（或-< 0）,则x , y 异号;y(5 )等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系， 但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

2、列不等式：(1 )根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住 关键词，弄清不等关系。

(2)步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号不等式列不等式步骤设未知数列出代数式例1:列不等式：①x的2倍与y的差是非正数；②x与3的差不小于5x 2y 4m 1例2：已知关于x、y的方程组『，试列出使x w y成立的关于m的不等式x 2y 9二、不等式的解和解集1、相关概念：①不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；②不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集；③解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式；2、不等式的解和解集的区别与联系：区别：不等式的解是一些具体数值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示。

联系：不等式的每一个解都在它的解集的范围内。

3、用数轴表示不等式的解集：①x > -2表示为：②x w -2表示为：③x< 2表示为：④x>2表示为：特别提示：用数轴表示不等式的解集要注意两点：①定界点：一般在数轴上只标出原点和界点即可，定边界点时要注意点是实心还是空心，若边界点含于集合为实心点，不含于解集为空心点；②定方向："小于向左，大于向右”。

例1、表示不等式组的解集如图所示，则不等式组的解集是_ _ •例2、x的解集在数轴上表示为如图所示的不等式组，求x的解集三、不等式的性质1、不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

（1）不等式基本性质有：①一个数大于另一个数，则另一个数一定小于这个数；若a>bb<a （对称性）②一个数大于另一个数，另一个数大于其它数，则这个数一定大于其它数；若a>b,b>ca>c （传递性）③不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；a>ba+c>b+c （c € R）④不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；c>0时，a>bac>bc⑤不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；c<0时，a>bac<bc。

特别提示：①、在不等式两边同乘以（或除以）同一个数（或式）时，必须先确定这个数的性质符号，然后再确定是否改变不等号的方向；②、如果不等式乘以0,那么不等号改为等号，所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不能为0，否则不等式不成立；（2 ）、运算性质有：①a>b,c>da+c>b+d 。

②a>b>0,c>d>0ac>bd 。

③a>b>0a n>b n（n € N, n>1）。

④a>b>0>（n € N,n>1）。

应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。

一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。

解不等式就是施行一系列的等价变换。

因此，要正确理解和应用不等式性质。

2、不等式与等式性质的关系3、不等式性质的应用：主要有以下三类问题：（1）根据给定的不等式条件，禾U用不等式的性质，判断不等式能否成立。

⑵禾U用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。

⑶利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

例1、试判断4m2+4m+5：和2（2m+1）的大小2例2、若关于x的不等式（1-a）x > 2可化为x v 丄，试确定a的取值范围1 - a不等式的概念及性质练习题一、判断题（正确的打“V” ，错误的打“x” ）1、不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。

（）2、如果a> b，那么3-2a > 3-2b。

（）3、如果a是有理数，那么—8a>- 5a。

（）2 24、如果a v b，那么a v b。

（）5、如果a为有理数，则a>- a。

（）2 26、如果a> b，那么ac > bc。

（）7、如果一x>8，那么x>—8。

（）8、若a v b,贝U a + c v b+ c。

( )9、x 0, y 0,则-0 y ()10、若x y 0,则1(y2x) 0 ()11、若a b, c 0,则ac2bc20 ()12、若xz 2 yz2,则x y ()13、若a b a,则b 0 ( )14、若ab c,则a —b( )15、若 1a 2,则1 2a ( )、填空题1、若a b，则 1 a 1b2a 1 2b 12 2 2、当a 0 时，b 0时，ab 03、 4、 5、 x yy右x 0,则2 ---- 2 bc 2，则 3a _____ 3b b 在数轴上的位置如图所示，用 若ac 2实数a , “〉”或“v”填空: 2 + b ___ 0, ab ____ 0, a b 2,丄_1 ,| a |a bIb|6、 7、9、 则丄（b — a ） __ 02 用不等式表示“ a 的5倍与b 的和不大于8”为 ...a 是个非负数可表示为 0,则-- a 一2a,则 a 0 若 a v b v 0,10、若 3a 三、选择题1、 在数学表达式 ①-3<0;②4x+5>0; （） 个2、若 A .3、 若 A . 个 个 个 m<n,则下列各式中正确的是（ m- 3 >n — 3 B 。

3m> 3n C 。

a v 0,则下列不等关系错误的是（ 2 ③x=3;④x +x;⑤x -4;⑥x+2>x+1是不等式的有 ) —3m > — 3n D 。

ITJ ^ 3 — 1 > n / 3— 1 )a + 5 v a + 7 B 。

5a >7a C 。

5— a v 7 — a D 。

a /5> a /7 4、 下列各题中，结论正确的是（ A .若 a >0,b v 0，贝U C .若 a v 0, b v 0，贝U 5、 下列变形不正确的是（ A .若 a > b ,贝U b v a ) b /a > 0 ab v 0 ) .若 a > b ,贝U a — b > 0 .若 a > b , a v 0，贝U b /a v 0 .—a > — b ，得 b > a .由 x /2>— y ,得 x >— 2y C.由一2x > a ，得 x > — a / 2 6、有理数b 满足| b |v 3，并且有理数a 使得a v b 恒成立，则a 得取值范围是 A . C . 7、 若A . 小于或等于3的有理数B 小于或等于-3的有理数 D a — b v 0,则下列各式中一定成立的是（ a > b B . ab > 0C .小于3的有理数 .小于一3的有理数 ）.a / b v 0 D . — a > — b 8、若a b ，且c 0 ,那么在下面不等式①a c b c ②ac bc ③2 2ac bc 中成立的个数是（ A . 1 B . 2 9、已知a 、b 、c 都是实数, C 并且 ) .3 a>b>c , D . 4 那么下列式子中正确的是（ A. ab bc B 10、下列由题意列出的不等关系中 A. a 不是是负数可表示为 a>0 C. m 与4的差是非负数，可表示为 四、解答题 1、用不等式表示下列数量关系。

,错误的是（ B. xx-40 D.代数式不大于3可表示为x <3x +3必大于3x-7，可表示为 x +3>3x-7（1） a 与b 的和大于a 的2倍。

1 1（2） a 的-与b 的-的差是负数。

2 3（3）x 与y 之和的绝对值不大于x 的一半的相反数（4）a 与b 两数和的平方不能大于3。

（5）3x的绝对值不小于5。

（6）a的6倍与3的差不大于1。

2、若a b,试比较ac2与bc2的大小，ac与be的大小。

3、若a ba且a是负数，求b的取值范围。

五、应用题1、某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩. 该校骆红同学期中数学靠了85分,她希望自己学期总成绩不低于90分, 她在期末考试中数学至少应得多少分?2、某次数学测验,共有1 6道选择题,评分方法是:答对一题得6分,不大或答错一题扣2分, 某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题?（只列关系式）3、有一个两位数，个位上的数是m十位上的数是n如果把这个两位数的个位数与十位数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么m与n哪个大？。