习题22. 设离散型随机变量Ｘ的分布律为 .4,3,2,1,12)( k k ak X P 求（1）常数a ；（2）)2( X P .解 （1）由,1)1111( a 得248315a（2（答案有误）3.一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数，试求X 的分布律。

解 X 可能取值为1,2，6, ，用二维数组表示两次的点数，则两次中最小点数为1可表示为：（1，1），（1,2），（2，1），（1,3），（3，1），)1,6(),6,1(, ， 于是 36/111 X P ，同理可得其余。

4．甲、乙两棋手约定进行10局比赛，以赢的局数多者为胜。

设在每局中甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4。

假设各局比赛是相互独立的。

（1）写出甲赢局数的分布律；（2）试分别求甲胜、乙胜、不分胜负的概率。

解 （1）设甲赢局数为X ，则)6.0,10(~B X 。

（2）甲胜概率为 )1,6.0,10,5(1516BINOMDIST X P X P =0.6332乙胜概率为 )1,6.0,10,4(4BINOMDIST X P =0.1662 不分胜负的概率 )0,6.0,10,5(5BINOMDIST X P =0.20075.某人独立地射击，设每次射击的命中率为0.02，射击400次，求至少两次击中目标的概率．解：设击中目标次数为X ，则)02.0,400(~B X 。

方法1：802.0400 np ，利用泊松定理并查泊松分布表得997.0!8282e k X P k k方法2：利用excel 函数)1,01.0,400,1(1112BINOMDIST X P X P=1-0.002835997.06．若每次射击中靶的概率为0.7，求射击10炮，命中3炮的概率，至少中3炮的概率，最可能命中几炮．解：设中靶次数为X ，n =10, p =0.7, X~B (10, 0.7)10,,2,1,3.07.01010 k C k X P k k k733103.07.03C X P ,21013 X P X P X P X P829103.07.0453.07.0103.019103.08.813.03881， 或.3.07.0)3(1010103k k kk C X P又77.010 np , 所以最有可能命中7炮.7．从学校乘汽车到火车站的途中有5个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52．设Ｘ为途中遇到红灯的次数，求Ｘ的分布律．解：)4.0,5(~B X8．设离散型随机变量Ｘ的分布律是.,2,1,!)( k e k C k X P k讨论常数C 与 应满足的条件解：因为!!11k Ce e k C k k k k)1( e Ce )1( e C ，由.1)1(eC e C １－１＝解得9．设Ｘ服从参数 的泊松分布，且P (Ｘ=1)=P (Ｘ=2)，求P (Ｘ≥1)及 P (0＜Ｘ2＜3)．解： ,,,,k ,!k e k X P k210由 ,21 X P X P 即有!2!12e e , 从而2 .因此22212211)1(!2!21e e e k e k e X P k k k k .11．进行某种试验，设每次试验成功的概率为43，以Ｘ表示首次成功所需试验的次数，试求出Ｘ取偶数的概率．（原书此处有误）12．盒内有3个黑球和6个白球，从盒内随机地摸取一个球，如果摸到黑球，则不放回，第二次再从盒中摸取一个球，如此下去，直到取到白球为止，记Ｘ为抽取次数，求Ｘ的分布律及分布函数．解：抽取次数X 的可能取值为1，2，3，4，且32961 X P ,4186932 X P ,1417682933 X P ,841867182934 X P .14. 设连续型随机变量X 的分布函数为e x d e x d cx x bx x a x F ,,1,ln ,1,)(求常数d c b a ,,,和X 的概率密度。

解 由0)( F 得0 a ；由1)( F 得1 d ； 由)(x F 在1 x 的连续性可得,0 d c 即1 c ；.2!12130222e e X P X P由)(x F 在e x 的连续性可得,d d ce be 即.1 b 15．设连续型随机变量Ｘ的概率密度为,,)1(2)(2x a x x f （1）试确定常数a ；（2）若P {a<Ｘ<b }=0.5，确定常数b ． 解：（1）由aax dx x dx x f |arctan 2)1(2)(12).arctan 2(2a 得arctan a =0，从而 a =0.（2）由 b ab dx x b X a P ,21arctan 2)1(22得,b arctan 4从而b =1. 17．已知随机变量Ｘ的概率密度,,21)(||x e x f x 试求Ｘ的分布函数．解：由于x dt t f x F ,)()( 因此当x ≤0时，x t x xt e dt e dt e x F 212121)(. 当x ＞0时，)2(212121)(00x x t t e dt e dt e x F .211x e故X 的分布函数为.0,0,211,21)(x x e e x F x x 18.设随机变量Ｘ的概率密度为.,0,10,2)(其他x x x f以Y 表示对X 的三次独立观察中事件}5.0{ X 出现的次数，试求)2( Y P 。

解：每次观察的观察值不大于0.5的概率为.25.021.05.00 dx x X P从而 1406.0)75.0()25.0(21223 C Y P19．设某汽车站每隔20分钟有一辆汽车通过，乘客在20分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间不超过15分钟的概率．解：由题意知，乘客到达汽车站的等待时间X 服从[0，20]上的匀均分布，故1504320115dx X P 20．设随机变量Ｘ~U[1，6]，求一元二次方程t 2+t Ｘ+1=0有实根的概率． 解：设P 表示方程有实根的概率，由△=X 2－4≥0，得X ≥2或X ≤－2，所以625451222dx X P X P X P P =0.821．某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，其分布密度,0,0,0,6001)(600x x e x f x试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率 ． 解：设电子元件的寿命为X , 一只电子元件寿命大于200小时的概率为.1600120031600200e dx e X P p x3只元件寿命均大于200小时的概率为.))1(1()1(13313e e p故3只元件中至少有一只损坏的概率为.1)1(113 e P22．某厂生产的某种电子元件的寿命Ｘ（小时）服从正态分布N （1600， 2），如果要求元件的寿命在1200小时以上的概率不小于0.96，试求常数 ．解：因X ~N ),1600(2 ,故)1.0(~1600N X. 要 .96.01200 X P 即要 .96.0160012001600X P因此 ..960400反查标准正态分布表，得7550400., 即3227. 23．抽样调查结果表明，考生的数学成绩（百分制）近似地服从正态分布，平均成绩（即参数 的值）为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的数学成绩在60分至84分之间的概率．解：由题意知，学生成绩X 近似服从正态分布，即).,(N ~X 272 由023.072967296X P X P得.977.0023.01)24(查正态分布表得 12,224即，从而72847272608460X P X P6826.018413.021)1(2)1()1( ,即考生成绩在60分至84分之间的概率为0.6826.24. 设随机变量Ｘ～Ｎ（2, ），且方程02 X x x 有实根的概率为0.5，求未知参数 。

解 由5.0)041( X P ，得5.0)4/1( X P ，由于X 服从正态分布，所以.4/125. 设随机变量Ｘ的分布函数为F （x ），概率密度)()()(21x bf x af x f ，其中1()f x 为标准正态分布的概率密度，2()f x 是参数为 的指数分布的概率密度，已知81)0( F ，求常数.,b a解 由 8105.0)()()()0(02010 a dx x f b dx x f a dx x f F得.4/1 a （原书答案有误）由1)()()()(21b a dx x f b dx x f a dx x f F得.4/3 b26.设随机变量Ｘ的概率密度.,0,10,2)(其它x x x f现对Ｘ进行n 次独立重复观测，以Y n 表示观测值不大于0.1的次数，求Y n 的分布律．解：每次观察的观察值不大于0.5的概率为.01.021.01.00 dx x X P从而 n k C k Y P k n k kn n ,,2,1,0,)99.0()01.0(27．设测量的随机误差Ｘ~N （0，102），试求在100次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率 ．解：因X~N (0,102), 则)1,0(~10N X，所以 975.022)96.1(2296.1106.19X P X P 5.0 .设100次测量中，测量误差的绝对值大于19.6的次数为Y ，则)5.0,100(~B Y .从而k kh .C Y P 10010010039503.因55.0100 np ，由泊松定理得!5351003k e Y P k k ,查泊松分布表得 875.03 Y P .28．设随机变量Ｘ的分布律Ｘ 1 0 1 2P1031015152 求Y=Ｘ2+1的概率分布．解：由于随机变量X 的可能取值为0, ,2,1 所以随机变量12 X Y 的可能取值为1，2，5..103}2{}5{,2152101}1{}1{}2{,51}0{}1{ X P Y P X P X P Y P X P Y P所以Y 的分布律为Y 1 2 5 P 0.2 0.50.329．设X ~U （0，1），试求X 1的分布。

解 设X Y 1，由于X 的概率密度为.,0)1,0(,1)(其它x x f X利用公式|)(|)]([)(y h y h f y f X Y 可得Y 的概率密度为)1,0(1,0)1,0(1,1)1(|)(|)]([)(y y y f y h y h f y f X X Y 即.,0)1,0(,1)(其它y y f Y 即X 1仍服从（0,1）上均匀分布。

30．设随机变量X ~U[1，2]，求随机变量X e Y 2 的概率密度函数)(y Y ． 解 X 的概率密度为.,0)2,1(,1)(其它x x f XY 的分布函数为}.{}{)(2y e P y Y P y F X Y 由y e X 2可得：当2e y 时，1 X ，故0)( y F Y ； 当2e y 时，1 X ，因此有214ln 21142.,1,,1}ln 21{)(e y dx e y e dx y X P y F y Y 所以Y 的概率密度为.,0,21)(')(42其它e y e yy F y F Y Y31．设随机变量Ｘ服从标准正态分布，求以下随机变量的概率密度． （1）Y=e X ； （2）Y=2Ｘ2+1； （3）Y=|Ｘ|．解 （1）因为X e Y ，故Y 不取负值，从而，当0 y 时，则0)( y f Y ；当0 y 时，Y 的分布函数为).(ln }ln {}0{}0{}{)(y y X P y e P y Y P y Y P y F X Y从而，0 y 时，.1211|)()()(2)(ln 21ln yeyx y F y f y y x Y Y于是，X e Y 的概率密度为其它,0,0,21)(2/)(ln 2y e yy f y Y（2）因122 X Y ，故Y 在),1[ 取值，从而1 y 时,0)( y f Y ；1 y ，由于X ~N (0,1)，故Y 的分布函数为.121221212121}12{}{)(2y y y y X y P y X P y Y P y F Y 故1 y 时，.)1(21)1(21212121212)()(4/)1(4/)1(y y Y Y e y y e y y F y f于是122 X Y 的概率密度为.,0,1,)1(21)(4/)1(其它y e y y f y Y（3）对于||X Y ，显然，当0 y 时,0)( y f Y ；当0 y 时，.1)(2)()(}{}|{|)( y y y y X y P y X P y F Y因此，0 y 时，.22]1)(2[)()(2/2yY Y e y y F y f故||X Y 的概率密度为.,0,0,2)(22其它y e y f yY32．设随机变量Ｘ服从指数分布，试求随机变量Y=min {Ｘ，2}的分布函数． 解 X 的密度函数为.0,0,0,)(x x e x f x由于.2,,2,2}2,min{时当时当X X X X Y因此，当2 y 时，;1}{ y Y P 当0 y 时，;0}{}{ y X P y Y P当20 y 时，.1}{}{0y yx e dx e y X P y Y P 所以Y 的分布函数为.2,1,20,1,0,0)(y y e y y F y Y34．设随机变量Ｘ的概率密度,)1(1)(2x x f X 试求31X Y 的概率密度．解 Y 的分布函数].)1arctan(2[1|arctan 1)1(})1({}1{}{)(3)1()1(2333y x x dx y X P y X P y Y P y F y y Y 所以Y 的概率密度为.])1(1[)1(3))(()(62y y y F y f Y Y 35．设随机变量Ｘ服从参数为2的指数分布，证明：Y=1 e 2X 在区间[0，1]上服从均匀分布．证 由于X 的概率密度为0,00,2)(2x x e x f x X Y 的分布函数为}1{}{)(2y e P y Y P y f X Y所以，当X ＞0时，,1102 X e Y 从而当 y 0时，;0)( y F Y 当1 y 时，;1)( y F Y 当10 y 时，.2)}1ln(21{)()1ln(2102y x Y dx e y X P y F当10 y 时，Y 的概率密度为 .1)1(21)1(2))'1ln(21(2)()()1ln(' y y y e y F y f y y Y所以Y 的概率密度为.,010,1)(其它y y f Y 即Y 在(0,1)上服从均匀分布.。