北大计算机考研 高等数学真题解答2008年（5题60分）1 （12分）)(x f 有连续的二阶导数，0)(≠a f ，求)(1)()(1lima f a f a x f ax '---→。
2 （12分）)(x f 在[]b a ,上连续且0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，证明：在()b a ,上必有一点u 使得0)(=u f 。
3 （12分）求不定积分⎰--dx x x x2)ln (ln 1。
4 （12分）0)0(=f 且0)0(='f ，)(x f 有连续的导数，求dx x t x tf xx ⎰-→04220)(lim 。
5 （12分）)(x f 在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数)1(nf 发散，无穷级数)1()1(nf n -收敛。
2007年（5题60分）1 （12分）求不定积分⎰+dx x e x 22)1(tan 。
解：=+⎰dx x e x 22)1(tan +⎰xdx e x 22sec =⎰xdx e x tan 22+⎰x d e x tan 2-x e x tan 2=⎰x d e x tan 2C x e x +tan 2。
2 （12分）求连续函数)(x f ，使它满足0)0(,sin )()(10=+=⎰f x x x f dt tx f 。
解：令,tx u =则0=t 时，0=u ，1=t 时，x u =，xdt du =；⎰=1)(dt tx f ⎰=xdu u f x 0)(1⇒+x x x f sin )(⎰=xdu u f 0)(⇒+x x x xf sin )(2⇒++'+=x x x x x f x x f x f cos sin 2)()()(2⇒--='x x x x f cos sin 2)(⇒+-=C x x x x f sin cos )(⇒=+=01)0(C f ⇒-=1C 1sin cos )(--=x x x x f 。
3 （12分）设),2,1(,2,01111 =+==<<++n y x y y x x y x nn n n n n ，。
证明：n n x ∞→lim 和n n y lim ∞→都存在并相等。
解：⇒>>011x y ⇒≠>>n n n n y x y x ，0,0⇒>+n n n n y x y x 2⇒=>++),1,0(11 n x y n n ),2,1( =>n x y n n ； ⇒=>),2,1( n x y n n ⇒<-=-+021nn n n y x y y ⇒<+n n y y 1}{n y 单调递减； ⇒=>),2,1( n x y n n ⇒=>=+n n n n n n x x x y x x 1}{n x 单调递增；由以上两结论可知：⇒>>>1x x y n n }{n y 有下界，于是n n y lim ∞→存在；⇒<<<1y y x n n }{n x 有上界，于是n n x ∞→lim 存在。
令B y A x n x n x ==∞→∞→lim ,lim ，由211nn n n n n y x y y x x +==++，有： 2BA B AB A +==，解得1==B A ，所以1lim lim ==∞→∞→n x n x y x 。
4 （12分）求和n x n x x x S 23222n 32++++= 。
解：（1） 若1=x ，=n S =++++222321n 6/)12)(1(++n n n ； （2） 若1≠x ，=x S n ⇒++++-12222321n xn x x ==⎰xdx x S T 0n n )(⇒++++n nx x x x 3232=x T n ⇒++++-12321n nx x x=⎰dx x T xn )(=++++n x x x x 32⇒--x x x n 1)1(=n T ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x n1)1( ⇒-++-+21)1(])1(1[x nx x n x n n =n S ='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+21)1(])1(1[x nx x n x x n n 33222122)1()122()1(x x n x n n x n x x n n n ---+++-++++。
5 （12分）求极限nn n n n n)12()1(1lim-+∞→ 。
=-+∞→n n n n n n )12()1(1lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞→n n n n n n )12()1(1lim ln ex p =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++∞→)]11()11(ln[1lim ex p n n n n n n n=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++++++∞→)]11ln()11ln()01[ln(1lim ex p n n n n n=+⎰})1ln(ex p{10dx x []=-++⎰})1ln()1(ex p{110dx x x =-12ln 2e e /4。
2006年（5题60分）1 （12分）计算积分dx e x x ⎰-232。
解：=⎰-dx e x x232=⎰-2202221dx e x x =-⎰-202221x de x =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰--22022222121x d e e x x x[]=----202221x e e )31(212--e 。
2 （12分）求))(sin (tan )1cos(1lim 302x x e x x --→。
解：0→x 时，x x x x ~sin ~tan ，；0→x 时，02→x ，2~12x e x -；0→x 时，012→-x e ，2)1(21~)1cos(122---x x e e ；所以：=--→))(sin (tan )1cos(1lim 302x x e xx =⋅-→x x e x x 320)1(21lim 221)(21lim 4220=→x x x 。
3 （12分）设10<<x ，证明不等式x e xx211-<+-。
证：10<<x 时，⇔<+--x e xx211⇔->+-x e x x 1)1(20122>-++--x e xe x x 令1)(22-++=--x e xe x f x x ，有0)0(=f ；则12)(22+--='--x x e xe x f ，有0)0(='f ；)10(,04)(2<<>=''-x xe x f x ，所以)1,0()(在x f '上单调递增，又0)0(='f ，所以)10(,0)(<<>'x x f ，可知)1,0()(在x f 上单调递增，又0)0(=f ， 所以)10(,0)(<<>x x f ，即)10(112<<<+--x e xxx ，。
4 （12分）求幂级数∑∞=+12312n nx n 的收敛域与和函数。
解：求收敛半径：=++++∞→3)12(3)1)1(2(lim 2)1(2n n n x n x n 2x ，当12<x 时级数收敛，当12>x 时级数发散，所以收敛半径1=R 。
当1±=x 时，=+∑∞=12312n nx n ∑∞=+1312n n 显然发散，所以收敛域)1,1(-=I 。
求和函数：=+∑∞=12312n n x n =+∑∑∞=∞=12123132n n n n x nx )10(,3132211<=<+∑∑∞=∞=x t t nt n nn n ； =∑∞=tntn n1∑∞=-11n n nt=⇒⎰∑∞=tn ndt tnt1=⎰∑∞=-t n n dt nt011=∑⎰∞=-11n tn dt nt=∑∞=1n n t )10(,1<<-t tt；所以：=∑∞=1n n nt ='-⋅)1(t tt )10(,)1(2<<-t t t ； =+∑∞=12312n n x n =-+-)1(3)1(322t tt t )1(,)1(3)3(2222<--x x x x 。
5 （12分）设)(x f 连续，在0=x 处可导，且4)0(,0)0(='=f f 。
求xx dtdu u f t xtx sin ))((lim3⎰⎰→。
解：令⎰⎰-==ttdu u f du u f t v 00)()()()()(t f t v -='⇒；=⎰⎰→xx dtdu u f t x tx sin ))((lim30=⎰→xx dt t tv xx sin )(lim 30=+→x x x x x xv x cos sin 3)(lim320=+→xx x x x v x cos sin 3)(lim 20=-+-→x x x x x x f x sin cos 5sin 3)(lim 20=--'-→x x x x x x f x cos sin 7cos 8)(lim 20210cos 8)0(-='-f2005年（7题70分）1 （8分）求n n n ∞→lim 。
解：=∞→n n n lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞→n n n ln 1lim ex p =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞→x x x ln 1lim ex p =⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞→x x 1lim ex p 10=e2 （10分）设22ln arctan y x xy+=，求y y ''',。
解：等式22ln arctany x xy+=两边对x 求导得： )(111)(2222222y y x yx yx xy x y y x '+⋅+⋅+=+-'，化简得y x y x y -+='（)(,x y y x y =≠是22ln arctan y x xy+=确定的隐函数）； 再次对x 求导得22)(22)()1)(())(1(y x y y x y x y y x y x y y --'=-'-+--'+=''，将y x yx y -+='代入得：322)()(2y x y x y -+=''（)(,x y y x y =≠是22ln arctan y x x y +=确定的隐函数）。
3 （8分×2）求下列不定积分： （1）dx x x ⎰+231； （2） ⎰xdx ln cos 。