⑴ 若 t = 3，求 a b 和 a b 的值；
⑵ 若向量 a b 与 a 3b 所成角为 135° ，求 t 的值． 【答案】⑴ a b = 5 ， a b 5 ；⑵ t = 2；
【解析】⑴ 当 t = 3 时， b 1,3 , a b 0,5 , a b 2, 1 所以 a b = 5， a b 5 ； ⑵ a b 0,2 t , a 3b 4,2 3t ,
【解析】⑴ 对任意的 x1 , x2 0,
，且 x1 x2 ，
f x1 f x2
1
x
3 1
x1
1
x2 3
x2
x2
x1
x2 2
x1 x 2
x
2 1
x13 x2 3
x2 x1
因为 x 2
x1
0,
x
2 2
x1x2
x
2 1
0,
x
3 1
x2
3
0 ，所以 f x1
f x2
0 ，即
f x1 f x2 ，所以函数 f x 在区间 (0,+∞ ) 上是单调减函数；
⑴ 当 c = 2 时，求 sin4 x cos4 x 的数值；
cos3
⑵ 求值：
x3 2
sin4 x
cos3 x cos4 x
（用含 c 的式子表示） ．
1 c2 1
【答案】⑴ ; ⑵
;
2 2c
【解析】⑴
sinx+ cos x=
2 ，平方得：
1+ 2sinx cosx = 2 ，所以
sinx cosx=
⑴ 运用函数单调性定义，证明：函数 f x
1 x 3 x 在区间 (0,+ ∞ )上是单调减函数；
⑵ 设 a 为实数， 0 <a < 1 ，若 0 <x < y ，试比较 a 3 y a 3x 和 a 4 x 3 y a 3 x 4 y 的大小，并
说明理由．
【答案】⑴ 答案见解析；⑵ a 3 y a 3 x < a 4 x 3 y a 3x 4 y
a b a 3b
2 t 2 3t
2
cos135
,
a b a 3b
2
2 t 16 2 3t
2
平方化简得： 3t 2 4 t 4 0 ，解得 t1 2, t2
2 .
3
经检验，当 t
2
时，夹角为 45°舍去，故 t = 2．
3
18. （ 12 分） 设实数 x 满足 sinx+ cos x= c ，其中 c 为常数．
C2 对应的解析式为
．
【答案】 y 2sin x 3
【解析】 C1 : y
sin x
3 ,C2 : y
2sin x
.
3
15. 若 AB cos , 1 , AC 2cos ,2sin ，其中 θ ∈ [0,π ]，则 BC 的最大值为 ．
【答案】 3；
【解析】 BC AC AB
cos ,2sin
1 , 所以
C. c> b> a
D. b> c> a
【解析】 a 0, b 1,0 c 1 ,所以 b> c> a．
3. 如图，已知点 C 为△ OAB 边 AB 上一点，且 AC=2CB ，若存在实数 m， n，使得
OC mOA nOB，则 m- n 的值为（
）．
1
A.
B. 0
3
【答案】 A ；
1
2
C.
D.
3
是 R 上的单调增函数 【答案】 ACD ；
【解析】 A 选项，由 f 2 f 2 ，则 f x 在 R 上必定不是增函数；
B 选项，正确； C 选项， f x x2 ，满足 f 0 0 ，但不是奇函数；
D 选项，该函数为分段函数，在
x =0 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误．
11. 设 a 为实数，则直线 y =a 和函数 y x4 1 的图象的公共点个数可以是（ ）．
3
【解析】由等和线定理，易得
OC
1
2
1
OA OB ，所以 m- n = .
3
3
3
4.已知函数 f x 2sin x
0,
的图象如图所示，则 的值为（ ）．
2
A.
6
B.
C.
D.
6
4
4
【答案】 D；
T3
【解析】由图可知，
，所以
22
22
2
，所以 f x 2sin x
T3
3
，又因为
3 f
8
2 ，所以 2 3 38
．
【答案】 1 ； 4；
【解析】 f f 3 f 1 1; 令 f a t ，即满足 f t t ，
①t=1 ，即 a=± 1 时，经检验，均满足题意；
②t <1 ，即 - 1 <a <1 或 a >1 时， f t t 2 ，由 t
t2 ，解得 t =0 或 1（舍去）；再由
t f a 0 解得 a = 0 或 2 ；
【解析】 f x 为开口向上的二次函数，对称轴为直线
x
m
,要使得函数在 (- ∞ ,2)上递
2
减，则 m 2 ，解得 m 4 . 2
14. 把函数 y sin 2x
图象上每一点的横坐标变为原来的
3
2 倍（纵坐标不变） ，得到
图象为 C1 ；再把 C 1 上每一点的纵坐标变为原来的 2 倍（横坐标不变） ，得到图象为 C 2 ，则
P0 ）开始计算时间．
【答案】⑴ h a sin t 66
a , t 0; ⑵ 4s ； 2
【解析】⑴ 如图，以水轮圆心 O 为原点，与水面平行的直线为
x 轴建立直
角坐标系． 当 t= 0 时， 点 P 的坐标为
3 a,
a
，角度为
22
;根据水轮每分钟逆时针转
6
动 5 圈， 可知水轮转动的角速度为
rad / s,所以 t 时刻， 角度为 t
所以
.
4
2k ，解得
2k k Z ，因为
，
2
4
2
5. 函数 f x
1x log2
1x
2x
1 1 的定义域是 ( )
3
A. [1,+ ∞ ) 【答案】 C；
B. (0,1)
C. (-1,0 ] D. (- ∞ - 1]
【解析】由对数的真数大于
0 ，及二次根式内非负，得
1x 1x
2x
1
0且
1 0，
3
解得 1 x 1 且 x≤ 0 ，所以定义域为 (-1,0 ] ．
，
f x2 与
2
f x1 x2 的大小关系是（
）．
2
f x1
A.
f x2
2
f x1 x2 2
f x1
B.
f x2
2
f x1 x 2 2
f x1 f x2
C.
2
f x1 x2 2
D.不确定
【答案】 B；
【解析】观察图象，可得函数“凹凸性”如图，故选
B．
二、多项选择题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
6. 设 a，b 是实数，已知角 θ 的顶点为坐标原点，始边与
x 轴的非负半轴重合，终边上有两
点 A (a， 1 )， B(-2 ， b )，且 sin
1
a
，则 的值为（ ）．
3
b
A. -4
B.-2
C. 4
【答案】 A ；
D. ±4
1
【解析】 由三角函数的定义，
3
1 a2 1
b ，且 a< 0，解得 b
4 b2
2 ,a
2
2 2，
a
所以
4.
b
7. 函数 y 2 x sin2 x x R 的图象大致为（
）．
【答案】 D；
【解析】由该函数为奇函数，排除选项 故选 D．
A ，B ，由 x
时，函数值为 0，可排除选项 C，
2
8. 若函数 f x lg x 1 2 ，则对于任意的 x1, x2 1,
f x1
;根据三角函数定
6
66
义，可得 h a sin t 66
a , t 0; 2
⑵ 当 h 3a 时， sin t
2
66
1 ，所以 t
2k ，解得 t=4+12k k N ，
6 62
所以当 k= 0 时， t = 4，即第一次达到最高点时需要 20. （ 12 分）
4s ．
设向量 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，其中 a 0 ．
所以 x2 y2
x1 y1
,则
x1 y2
x2 y1
x1
y1
x1 y1 0
⑵ 反之，如果 x1 y2 x2 y1 0 ，因为 x1 0 ，所以
x1, y1
x1, y1 ,
y2
x2 x1
y1 ,
x2, y2
x2,
x2 x1
y1
x2 x1
x1 , y1
，
令
x 2 ，则 b
x1
21. （ 12 分）
a ，所以 a // b ．
对于 D，当 x
所以选 AC ．
时， 函数值为 - 1，此时不存在自变量 y，使得函数值为 - 3 ,故 D 不满足，
2
三、填空题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．