南师附中2020-2021学年度第一学期期中高一数学一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知全集{}1,0,1,2U =-，{}1,1A =-，则集合UA =（ ）． A. {}0,2B. {}1,0-C. {}0,1D. {}1,22. “1x =”是“2540x x -+=”的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件3. 命题“2,10R x x x ∃∈-->”的否定是（ ）．A. 2,10R x x x ∃∈--<B. 2,10R x x x ∃∈--≤C. 2,10R x x x ∀∈--≤D. 2,10R x x x ∀∈-->4. 已知223x x -+=，则1x x -+的值为（ ）．A.B. 1C.D. 1±5. 函数()22,031,0x x x f x x x⎧-≤≤⎪=⎨<⎪⎩的值域为（ ）．A. []3,1-B. (),0-∞C. (),1-∞D. (],1-∞6. 下列四组函数中，()f x 与()g x （或()g t ）表示同一个函数的是（ ）A. ()f x =()g x x = B. ()f x()2g t =C. ()221x x f x x +-=- ()2g x x =+ D. ()f x x=()g t =7. 已知实数0,0a b >>，且1111a b +=+，则2a b +的最小值为（ ）．A.3+B.1 C.4D.328. 函数()321x f x x =-的图像大致为（ ）．ABCD.二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9. 设集合{}220A x x x =-=，则下列表述不正确的是（ ）．A.{}0A ∈B. 2A ∉C. {}2A ∈D. 0A ∈10. 下列四个条件中，能成为x y >的充分不必要条件的是（ ）A. 22xt yt >B. xt yt >C. x y >D. 110x y<<11. 下列命题中是真命题的有（ ）．A.若函数()f x 在(],0-∞和()0,+∞上都单调递增，则()f x 在R 上单调递增；B. 狄利克雷函数()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数在任意一个区间都不单调；C. 若函数()f x 是奇函数，则一定有()00f =；D. 若函数()f x 是偶函数，则可能有()00f =；12. 已知1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么下列结论正确的有（ ）．A. a b +有最大值2 B. a b +有最小值2 C. ab1D. ab有最小值3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 13. 已知()0,01,032,0x f x x x x >⎧⎪=-=⎨⎪-<⎩，则()()()6f f f = ．14. 已知函数()537cf x ax bx x=+++，()35f -=，则()3f = ． 15. 某水果店申报网上销售水果价格如下：梨子60元/盒，桔子65元/盒，水蜜桃80元/盒，荔枝90元/盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：一次性购买水果总价达到120元，顾客就少付x 元，每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的80%.① 10x =时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付 元；② 在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即70%），则x 的最大值是 ．16. ()f x 为定义在R 上的偶函数，()()22g x f x x =-在区间[)0,+∞上是增函数，则不等式()()1246f x f x x +-+>--的解集为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上 17. （本小题满分10分）已知,a b 均为正数，证明：22a b a b b a+≥+．18. （本小题满分12分）计算：⑴ 12ln 249e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭⑵ ()223lg 2lg5lg 20log 3log 4+⋅+⋅．19. （本小题满分12分）已知二次函数()f x 的值域为[)4,-+∞，且不等式()0f x <的解集为()1,3-． ⑴ 求()f x 的解析式；⑵ 若对于任意的[]2,2x ∈-，都有()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分12分）某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建花圃，规定ABCD 的每条边长不超过20米．如图所示，要求矩形区域EFGH 用来种花，且点,,,A B E F 四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域．设AB x =米，种花区域EFGH 的面积为S 平方米． ⑴ 将S 表示为x 的函数； ⑵ 求S 的最大值．21. （本小题满分12分）已知集合{|A y y =，集合{}22|0B x x x a a =-+-<． ⑴ 若A B A =，求a 的取值范围；⑵ 在A B 中有且仅有两个整数，求a 的取值范围．22. （本小题满分12分）设()af x x x=+（0x >，a 为大于0的常数） ⑴ 若()f x 的最小值为4，求a 的值；⑵ 用定义证明：()f x在)+∞上是增函数； ⑶ 在⑴的条件下，当1x >时，都有()1m f x m x+>-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】A ；【解析】由补集定义知选A ． 2. 【答案】B ；【解析】因为{}1是{}2540x x x -+=的真子集，所以“1x =”是“2540x x -+=”的充分不必要条件． 3. 【答案】C ；【解析】存在量词命题的否定，需要把存在量词改成全称量词，并否定后面的结论，故选C ． 4. 【答案】C ；【解析】由()212225x x x x --+=++=，知1x x -+=C ．5. 【答案】D ；【解析】当0x <时，()1f x x=单调递减，范围为(),0-∞，当03x ≤≤时，()22f x x x =-在[]0,1上单调递增，在[]1,3上单调递减，范围是[]3,1-，所以函数值域为(],1-∞，故选D ．6. 【答案】D ；【解析】A 选项，()f x x =，故错误；B 选项，定义域不同，故错误；C 选项，定义域不同，故错误；D 选项，是同一函数，故选D ．7. 【答案】B ；【解析】()()()2111221221232111b a a b a b a b a b a b +⎛⎫+=++-=+++-=++-≥⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，当且仅当1a =b =B ． 8. 【答案】A ；【解析】()f x 定义域为()()(),11,11,-∞--+∞，是奇函数，当x →+∞时，()f x →+∞，故选A ．【答案】ABC ；【解析】{}0,2A =，故选ABC ． 10.【答案】ACD ；【解析】A 选项，若22xt yt >，则20t ≠，则x y >，反之不成立，A 正确；B 选项，当0t <时，x y <，B 错误；C 选项，若x y >，由y y ≥，则x y >，反之不成立，C 正确；D 选项，()1f x x=在()0,+∞单调递减，若110x y <<，则x y >，反之不成立，D 正确；故选ACD ．11.【答案】BD ；【解析】A 选项，若(),0ln ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩是一个反例，A 错误；B 选项，在任意区间I 上总可以取12,x x Q ∈，使()()12f x f x =，则()f x 在I 上不单调，B 正确；C 选项，()1f x x=是一个反例，C 错误； D 选项，()2f x x =符合要求，D 正确； 故选BD ．12.【答案】BD ； 【解析】法一：令,a b s ab t +==，由题意可得2,1s t >>，1t s -=，由基本不等式s ≥则1t -≥1t >可得2214t t t -+≥，则3t ≥+1a b ==取等；s ≥2s >可得2440s s --≥，则2s ≥+，1a b =取等； 故选BD ； 法二：由()1ab a b -+=可得()()112a b --=，令10,10m a n b =->=->，则222a b m n +=++≥+=+m n ==()()11133ab m n mn m n m n =++=+++=++≥+m n = 故选BD ．【答案】5-；【解析】()()()()()()6015f f f f f f ==-=-． 14. 【答案】9；【解析】()()337714f f +-=+=，所以()31459f =-=．15.【答案】130；15．【解析】①608010130+-=；②由题意可知，购买总价刚好为120元时，折扣比例最高， 此时有()0.81200.7120x ⨯-≥⨯， 解得15x ≤．16.【答案】3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；【解析】由()f x 为偶函数，可知()g x 也为偶函数，且在R 上先减再增，由()()1246f x f x x +-+>--，可知()()()()22121222f x x f x x +-+>+-+，即()()12g x g x +>+，可知12x x +>+，解得32x <-.17.【答案】详见解析．【解析】法一：由基本不等式可得，()222a b b a a b b a +++≥+， 当且仅当22a b bb a a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即a b =时取等，则原式得证．法二：()223322a b a b a b a b ba b a ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，由0,0a b >>，可得0a b +>，330,0b a a b>>，0ab >，则()()22222222a b a b a b a b ab a b ba ⎛⎫++≥++=++=+ ⎪⎝⎭，由0a b +>可得22a b a b b a+≥+．法三：()()()()()222222222a b a b a b a b a b a b b a a b b a b a ab ab---+--+-+=+==， 由0,0a b >>可得()220a b a b b a +-+≥即22a b a b b a+≥+．18. 【答案】⑴32；⑵ 3． 【解析】⑴12ln 243322922e -⎛⎫++=+-= ⎪⎝⎭； ⑵ ()()2223lg2lg5lg20log 3log 4lg2lg523+⋅+⋅=++=．19.【答案】⑴ ()223f x x x =--；⑵ 7m <-． 【解析】⑴ 设()2f x ax bx c =++，由题意可知：()()()10393014f a b c f a b c f a b c -=-+=⎧⎪=++=⎨⎪=++=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，即()223f x x x =--； ⑵ 243m x x <--对[]2,2x ∈-恒成立， 令()243g x x x =--，当[]2,2x ∈-，可知()[]7,9g x ∈-， 故7m <-．20.【答案】⑴ ()200102520S x x x=--≤≤；⑵ S的最大值为102- 【解析】⑴ 因为AB x =，所以100AD x =，2EF x =-，1001FG x=-； 所以()10020021102S x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭因为100020,020x x <≤<≤，解得520x ≤≤，所以()200102520S x x x=--≤≤；⑵ 102102S ≤-=-x =所以S 的最大值为102-21.【答案】⑴ 01a ≤≤；⑵ [)(]1,01,2-；【解析】⑴ 因为AB A =所以B A ⊆， 因为244x x -≤， 所以[]0,2A =；集合B 的不等式可化为()()10x a x a +--<， ①B =∅，即0∆≤，解得12a =，符合； ②B ≠∅，即12a ≠时，此时02,012a a ≤≤≤-≤，解得01a ≤≤且12a ≠； 综上01a ≤≤；⑵ 集合A 中有三个整数0,1,2，()(){}|10B x x a x a =-+-<； 由AB 中有且仅有两个整数，可得B 中有0,1,2中的两个整数；1a a <-即12a <时，(),1B a a =-， 则B 中整数仅有有0,1或仅有1,2，若仅有0,1，则10,112a a -≤<<-≤，解得10a -≤<； 若仅有1,2，则01a ≤<，213a <-≤，无解； 1a a =-即12a =时，B =∅，不满足题意； 1a a >-即12a >时，()1,B a a =-， 则B 中整数仅有有0,1或仅有1,2，若仅有0,1，则110,12a a -≤-<<≤，解得12a <≤， 若仅有1,2，则011a ≤-<，23a <≤，无解； 综上，实数a 的取值范围是[)(]1,01,2-．22.【答案】⑴4；⑵证明见解析；⑶2m<+．【解析】⑴由基本不等式()f x≥当且仅当x=4 =解得4a=；⑵任取)12,x x∈+∞，设12x x<，()()()()()12 121221121212x x aaf x f x x x x x x xx x x x--=-+-=-，12x x≤<；所以1212,0x x a x x a>->，又因为12x x-<所以()()12f x f x-<所以()()12f x f x<所以()f x在)+∞上是增函数得证；⑶原不等式可化为241x mx m+>--即256111xm xx x+<=++--恒成立因为66112211x xx x++=-++≥--，当且仅当1x-=1 x=所以2m<．。