4．
【解析】
由题意输出
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
5．
【分析】
根据对数函数的真数大于0，二次根号下被开方数大于等于0，即可求出答案.
（1）当 和 分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；
（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.
18．平面直角坐标系中，椭圆 过点 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作一直线与椭圆 交于 两点，过 点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为 ，试问直线 与 的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
二、解答题
15．在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积.
16．如图，在四棱锥 中, .
（1）若 是 的中点，求证： 平面 ；
（2）若 ，求证：平面 平面 .
17．园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为 米，圆心角为 (弧度）的扇形观景水池，其中 为扇形 的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.
19．设 为常数）.
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若 在区间 的极大值、极小值各有一个，求实数 的取值范围.
20．设 是各项均不相等的数列， 为它的前 项和，满足 .
（1）若 ，且 成等差数列，求 的值；
（2）若 的各项均不相等，问当且仅当 为何值时， 成等差数列？试说明理由.
21．如图， 为 的直径， 为 上一点，过 作 的切线交 的延长线于点 ，
若 ，求证： .
22．已知矩阵 ，其中 ，若点 在矩阵 的变换下得到点 ，
求矩阵 的两个特征值.
23．已知点 是曲线 ： （ 为参数， ）上一点， 为原点．若直线 的倾斜角为 ，求点 的直角坐标．
24．已知实数 满足 ，求 的最小值.
25．（1）设 ，求 .
（2）设 ，求 的整数部分的个位数字.
参
【解析】
设圆 圆心为C.则 ，又 ,因此
13．
【解析】
由题意得当 时， ；当 时， ；当 时， ；令 ，则 ，因此当 时， ；当 时， 当 时， ，综上 的取值范围是
14．
【解析】
由正弦定理得 ，由余弦定理得 ,即
因为
所以
点睛：三角形中问题，一般先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或三角函数有界性求取值范围. 最后根据等号取法确定函数值.
1．
【解析】
，所以
2．
【解析】
因为 ，所以
3．77
【分析】
根据频率分布直方图，求出时速超过 的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．
【详解】
根据频率分布直方图，得时速超过 的汽车的频率为 ；
所以时速超过 的汽车辆数为 ．
故答案为：77．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题．
11．若 且 ，则 的最小值为______________
12．已知 是圆 上的一动点， 是圆 的一条动弦（ 是直径的两个端点），则 的取值范围是______________
13．设 ，对 总有 ，则 的取值范围是______________
14．在 中，已知边 所对的角分别为 ，若 ，则 _________________
8．
【解析】
可行域为一个三角形ABC及其内部，其中 ,因为目标函数 的最小值为 ，所以 ，因此 ，解得
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15．（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）根据正弦定理将角的关系转化为边的关系: ,即得 的值；（2）根据向量数量积得 ,再利用余弦定理得 ,结合 ,解方程组可得 ，代 得 ,即得 ，最后根据三角形面积公式求面积.
7．已知正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则该四棱锥的侧面积是______________
8．设变量 满足约束条件 ，若目标函数 的最小值为 ，则 ___________
9．设函数 ，且 的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ，则 在区间 上的最大值为______________
10．设 是等比数列 的前 项和，若满足 ，则 _________
9．
【解析】
，由题意得 ，
因此 ，则 在区间 上的最大值为1.
点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为 的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
10．
【解析】
因为 ，所以 ，因此
11．
【解析】
因为 ，所以 ；因为 ，所以 ，即
江苏省南京市南京师范大学附属中学2021年高三考前模拟考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ，则 ______________
2．已知复数 满足 ，其中 为虚数单位，则复数 的模 ______________
3．某时段内共有 辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段时速超过 的汽车辆数为．
4．如图所示的流程图中，输出的 为______________
5．函数 的定义域是________.
6．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了函数定义域的求法，属于基础题.
6．
【解析】
试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为 ，则
一次取出2只球，基本事件为 、 、 、 、 、 共6种，
其中2只球的颜色不同的是 、 、 、 、 共5种；
所以所求的概率是 ．
考点：古典概型概率
7．
【解析】
四棱锥的侧面积是