美博教育任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置，绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α，记作：角α或α∠ 可以简记成α。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x 轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若οο13590<<<αβ，求βα-和βα+的范围。
（0,45） （180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ．3、 “象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30︒ ；390︒ ；-330︒是第 象限角 300︒ ； -60︒是第 象限角585︒ ； 1180︒是第 象限角 -2000︒是第 象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）.①{小于90°的角} ②{0°～90°的角}③ {第一象限的角} ④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B=A∩C B．B∪C=C C．A⊂C D．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：α的终边所在位置.例4、若α是第二象限的角，试分别确定2α,2解∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k∈Z）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k∈Z），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.α＜k·180°+90°（k∈Z），（2）∵k·180°+45°＜2当k=2n（n∈Z）时，α＜n·360°+90°；n·360°+45°＜2当k=2n+1（n∈Z）时，α＜n·360°+270°.n·360°+225°＜2α是第一或第三象限的角.∴2α是哪个象限的角？拓展：已知α是第三象限角，问3∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k∈Z），α＜90°+k·120°.60°+k·120°＜3①当k=3m(m∈Z)时，可得α＜90°+m·360°（m∈Z）.60°+m·360°＜3α的终边在第一象限.故3②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得α＜210°+m·360°（m∈Z).180°+m·360°＜3α的终边在第三象限.故3③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得α＜330°+m·360°（m∈Z）.300°+m·360°＜3故3α的终边在第四象限. 综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法1、终边相同的角：（1）终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)(Z k k ∈个周角的和。
（2）所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。
终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、（1）若θ角的终边与58π角的终边相同，则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 。
若θ角的终边与8π/5的终边相同则有：θ=2kπ+8π/5 (k 为整数)所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5当：0≤kπ/2+2π/5≤2π有：k=0 时，有2π/5 与θ/4角的终边相同的角k=1 时，有9π/10 与θ/4角的终边相同的角（2）若βα和是终边相同的角。
那么βα-在例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1）ο210-； （2）731484'-ο．例3、求θ，使θ与ο900-角的终边相同，且[]οο1260180，-∈θ．2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180|οββ终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180|οοββ终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90|οββ3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180|οοββ终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180|οοββ4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k 若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk例1、若θα+⋅=ο360k ，),(360Z m k m ∈-⋅=θβο则角α与角β的中变得位置关系是（ ）。
A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称例2、将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式（1） π319 （2）ο315- 例3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360|οοοο,{}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360|οοο,求B A I ,B A Y . 二、弧度与弧度制1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
o rC 2rad 1radr l=2r o AA B如图：∠AOB=1rad ，∠AOC=2rad ， 周角=2πrad注意：1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是02、角α的弧度数的绝对值 rl =α（l 为弧长，r 为半径） 3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。
2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度角度与弧度的互换关系：∵ 360︒= rad 180︒= rad∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 例1、 把'3067ο化成弧度∴例2、 把rad π53化成度例3、将下列各角从弧度化成角度（1）36π rad （2）2.1 rad （3） rad π53 例4、用弧度制表示：1︒终边在x 轴上的角的集合 2︒终边在y 轴上的角的集合三、弧长公式和扇形面积公式r l α= ； 22121r lR S α== 例1、已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是 1或4 .例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为ο1，求这连个角的大小分别为 。
例3、 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵ ο165 例4、（1）一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？.例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？（七）任意角的三角函数（定义）1． 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ），则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r 2．比值ry 叫做α的正弦 记作： r y =αsin ；比值r x 叫做α的余弦 记作： rx =αcos 比值xy 叫做α的正切 记作： x y =αtan ；比值y x 叫做α的余切 记作：yx =αcot 比值x r 叫做α的正割 记作： xr =αsec ；比值y r 叫做α的余割 记作： yr =αcsc 注意突出几个问题：①角是“任意角”，当β=2k π+α(k ∈Z)时，β与α的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。
③三角函数是以“比值”为函数值的函数④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定三角函数在各象限的符号：⑤定义域： αααtan cos sin ===y y y αααcsc sec cot ===y y y4. α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且cos α=x 42,则sin α= 410 .. 已知角α的终边落在直线y=-3x (x ＜0)上，则=-ααααcos cos sin sin 2 .例8、 已知α的终边经过点P(2,-3)，求α的六个三角函数值例9、 求下列各角的六个三角函数值⑴ 0 ⑵ π ⑶ 23π⑷ 2π例10、 ⑴ 已知角α的终边经过P(4,-3),求2sin α+cos α的值⑵已知角α的终边经过P(4a,-3a),(a ≠0)求2sin α+。