i个
i个
[用途]：此性质经常用于计算 e At
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7、如果A是n×n阶对角阵，则 e At 也是n×n阶对角阵：
1
0
如果：
A
diag[1, 2,
, n]
2
0
n
e 1t
0
则有：e At diag[e1t , e2t , , ent ]
e 2t
0
e
nt
[证明]：根据定义证
(P
1
AP)
Ai
i个
i个
推导时可看到： a0 (t) a1(t)i an1(t)in1 eit
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A特征值互异，为: 1, 2, ..., n
eAt n1 (t) An1 n2 (t) An2 ... 1(t) A 0 (t)I
e1t
e At
e2t O
et
2e
2t
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4）用第四种方法－待定系数法求解.
满足初始状态x(t ) |tt0 x(t0 ) 的解是：x(t) eA(tt0 ) x(t0 ) , t t0
其中：e At I
Attk
2!
k!
k0 k!
e At定义为矩阵指数函数，和A一样也是n×n阶方阵
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求解过程：仿标量方程求解 x ax －－标量齐次状态方程
▪ 直接求解法：根据定义 ▪ 拉氏变换求解： ▪ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型－非奇异变换 ▪ 待定系数法： 凯莱－哈密顿（简称C-H）定理
1、根据矩阵指数函数的定义求解：
e At
I At
A2 2!
t2
Ak k!
tk
Ak k!
tk
k0
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
u0
x
( A, B)
齐次状态方程的解： x Ax , x(t) |t0 x(0)
2、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫
运动。
u
x
( A, B)
非齐次状态方程的解：x Ax Bu, x(t) |tt0 x(t0 )
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第一节 线性定常齐次状态 方程的解
e n t
1k
Ak
2k
O
nk
1 1
1 2
12 22
1 n 2n
n1 1
0 (t )
e1t
n1 2
1 (t )
e2t
n1 n
n 1 (t )
ent
由上式可计算 n1(t), n2 (t), ... 1(t), 0 (t)
2）A的特征值为1 (n重根）
2 1 1 s1 s2
2 2 s1 s2
2et e2t
et e2t
2et 2e2t
et
2e 2 t
1 1
s1 s2
1 s1
2 s2
3）用第三种方法－标准型法求解：
先求特征值：
|
I
A
|
2
1
3
2
3
2
(
1)(
2)
0
得： 1 1, 2 2 ，具有互异特征根，用对角线标准 型法。且A为友矩阵形式。
说明：在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程 的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。
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由定理知：A所有高于(n-1)次幂都可由A的0～(n-1)次幂线性表出。
n1
即： Am mj A j j0
将此式代入 e At 的定义中：
eAt
t m Am m0 m!
2） 求对应于 i的特征向量 vi ，并得到P阵及P的逆阵。
3） 代入上式即可得到矩阵指数函数的值。
即：A det( I A) 0 i (i I A)vi 0 vi P
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（2）当A具有n重特征根 i：约当标准型 约当矩阵A的矩阵指数函数
eit teit
e At
两边取拉氏变换得：sX (s) x(0) AX (s)
整理得：X (s) (sI A)1 x(0) 拉氏反变换得： x(t) L1[( sI A)1]x(0) －－－（6） 与直接求解的结果(5)比较，由解的唯一性得：e At L1[( sI A)1]
[本节小结]：
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[证明]： e At e A e A(t )，令 t，有e At e At e A0 I (e At )1 e At
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4、对于n×n阶方阵A和B：
如果A和B可交换，即A×B= B×A，则 e( AB)t e Ate Bt 如果A和B不可交换，即A×B B×A，则 e( AB)t e Ate Bt
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[线性定常齐次状态方程的求解方法]：直接求解，拉氏变化求解
一、直接求解：
1、标量齐次微分方程： x ax
满足初始状态 x(t) |t0 x(0) 的解是：x(t) eat x(0)
2、齐次状态方程 x&(t) Ax(t) 满足初始状态x(t) |t0 x(0)的解是：x(t) e At x(0) , t 0
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4、待定系数法：将 e At 化为A的有限项多项式来求解： （1）凯莱－哈密顿（以下简称C-H）定理：
设n×n维矩阵A的特征方程为：
f ( ) | I
A |
n
a n1 n1
a1
a0
0
则矩阵A满足其自身的特征方程，即： f ( A) An an1 An1 a1 A a0 I 0
注意求逆
a0 (t)
a1 ( t )
an2 (t )
an1(t )
0 0 0 0 1
0 0 0 1
1
21 12
0 1
1
(n 1)1
1
1 ( n1)!
1 ( n 2 )!
t t
e n1 1t e n2 1t
( n1)(n2) n3
2!
1
n1 n2
1! 1
n1 n
e
nt
推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。
e At P1e At P P1(a0 (t)I a1(t) A an1(t) An1)P a0 (t)I a1(t) A an1(t) A n1
注意：
P1Ai P
P 1 AAAP
(P1 AP)(P1A P)
则式(3)针对 1 求导n-1次，补充缺少的n-1个方程。联立求出系数。
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[例]：求以下矩阵A的矩阵指数函数 e Ait
A
0 2
1 3
[解]： 1）用第一种方法－定义求解：(略）
2）用第二种方法－拉氏变换法求解： L(eat ) 1
e At L1 (sI A)1
sa
5、对
e At
有： d (e At ) Ae At e At A
dt
由定义证明
6、如果P是非奇异阵，即 P 1 存在，则必有：
e P1APt P 1e At P 和 e At Pe P P1APt 1
[证明]：根据定义证
[注意]： (P1 AP)(P1AP) (P1 AP ) P 1 AAAP P 1 Ai P
j0
其中：a0(t), a1(t), , an1(t)为t的标量函数，可按A的特征值确定。
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1）A的特征值1, 2 , , n 两两相异时， 注意求逆
a0 (t) a1 (t )
1 1
1 2
12 22
an 1 (t )
1 n
2n
n1 1
n1 2
1
e1t e2t
1 1!
te 1t
n1 1
e 1t
推导：此时只有一个方程：
a0(t) a1(t)1 an1(t)1n1 e1t (3)
缺少n-1个独立方程，对上式求导n-1次(按特征值)，
得到其余n-1个方程
说明：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。
特征值互异时，对于每个特征值，直接得到方程(3)；特征值为n重根时，
Qe Q At 1
Q
0
0
0
(
n
1
1)
t n1e !
i
t
Q
1
te i t
e it
其中： Q为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。
约当标准型法求矩阵指数函数的步骤：
此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和 变换阵Q。
说明：对于所有重特征值i ，构造约当块，并和非重特征值一 起构成约当矩阵。根据矩阵指数函数的性质8和9，求得e At 。
tm m0 m!
n1
mj A j
j0
n1 j0
A
j
m0
tm m!
mj
并令
j
(t)
m0
tm m!
mj
即可得到如下的结论：
（2）将 e At化为A的有限项多项式来求解
根据C-H定理，可将eAt 化为A的有限项表达式，即封闭形式：
n1
e At aj (t) A j a0 (t)I a1(t) A an1(t) An1
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e At
PeAt P1
e1t P
0
0 e2t
P
1
1 1 1 1