被竖直上抛物体的初速度与回到抛出点 时速度大小之比为k，空气阻力在物体 运动过程中大小不变，则重力与空气阻 力的大小之比等于: (K2+1)/(k2-1)
如图所示，斜面的倾角为θ，质量为m的物体 距挡板P距离为S0，以初速度v0沿斜面下滑。 物体与斜面的动摩擦因数为μ，物体所受摩擦 力小于物体沿斜面的下滑力。若物体每次与 挡板相碰均无机械能损失，求物体通过的路 程是多大？
1 由动能定理：WF +Wf = mVm2 – 1 mV02 2 2
WF =Pt Wf = – fs
P= fVm
1 Pt – fs = 2 mVm2 – 1 mV02 2 1 1 Pt – P s = 2 mVm2 – 2 mV02 Vm
质量为m 的物体在光滑水平桌面上静止， 系在物体上轻绳跨过光滑的定滑轮，另 一端由地面上以速度v0向右匀速走动的 人拉着，人从桌子的边缘开始向右行至 绳和水平方向成30°角处，在此过程中 人所做的功为:
简析：由动能定理得：原金属块 – µ mgs= 0 – 1 mV02
V02 ∴s= 2g
2
∴当初速度加倍后，滑行的距离为4s
9.一质量为2kg的滑块，以4m/s的速度在光滑水平面上向 左滑行，从某时刻起，在滑块上作用一向右的水平力， 经过一段时间，滑块的速度变为向右，大小为4m/s，在 这段时间里，水平力做的功为多大？
合
1、合力做正功，即W合＞０，Ek2＞Ek1 ，动能增大
k2 k1
说 明 过程量
W合＝Ek2－Ek1 状态量
状态量
做功的过程伴随着能量的变化
动能定理的适用范围：
既适用于直线运动，也适用于曲线运动； 既适用于恒力做功，也适用于变力做功； 既适用于单个物体，也适用于多个物体； 既适用于一个过程，也适用于整个过程。
由平衡条件得：F=mg tan ，故F为变力 ， WF =F Lsin 错误
正确解答：本题中的变力功可由动能定理求解.
小球由P到Q，由动能定理得：WF + WG = 0
即WF – mgL（1 –cos ）=0
∴ WF = mgL（1 – cos ）
15. 质量为500t的列车以恒定的功率沿水平轨道行驶， 在3min内行驶了1.45km，其速率由36km/h增大到最大 值54 km/h，设机车所受阻力恒定，求： P=3.75x105W 机车的功率和机车所受的阻力. f=2.5x104N
2
其中W合 =W手 +（- mgh） 或：Vt2 =2as ∴a = 2m/s2 由牛顿第二定律得 F – mg =ma
∴ W合 =2J ∴ W手 =12J
物体克服重力做功W克 =mgh =10J ∴ F=m（g+a）=12N
W手=Fh = 12J
AD
7. 速度为V的子弹恰可穿透一块固定的木板，如果子弹 的速度为2V，子弹射穿木板时受的阻力视为不变，则可 穿透同样的木板：[ C ] A. 2块 B. 3块能定理得：
n= 4
–f ns= 0 – 1 m（2V）2
2
8.质量为m的金属块，当初速度为V0时，在水平面上滑 行的距离为s ，如果将金属块的质量增加为2m ，初速度 增加到2V0，在同一水平面上该金属块滑行的距离为[C ] A. s B. 2 s C. 4 s D. s/2
mv02
① ②
动能定理： 1 mv 2 由动能定理得 W合= -F阻l = 0 - 2 0
∴F阻= 2l
mv02
用动能定理解题的一般步骤： ① 确定研究对象和研究过程。 ② 分析物理过程，分析研究对象在运动 过程中的受力情况，画受力示意图， 及过程状态草图，明确各力做功情 况，即是否做功，是正功还是负功。 ③ 找出研究过程中物体的初、末状态的 动能（或动能的变化量） ④ 根据动能定理建立方程，代入数据求 解，对结果进行分析、说明或讨论。
2 2
v v 又F m a m 2l 2 2 v2 v1 1 mv 2 1 mv 2 l WF Fl m 2 1 2 2 2l
2 1
v v a 2l
2 2
2 1
二、动能的表达式
1 2 1 2 WF mv 2 mv1 2 2 1 2 Ek mv 2
W1 :W2 =1:3
11. 质量为m的物体从高h的斜面上由静止开始滑下，经 过一段水平距离后停止. 若斜面及水平面与物体间的动 摩擦因数相同，整个过程中物体的水平位移为s ， 求证： µ =h/s 物体从A到B过程，由动能定理得： A WG +Wf =0 L mgh – µmg cos θ •L –µ mg s2 =0 h B mgh – µ mg s1 –µ mg s2 =0 s1 s2 mgh – µ mg s =0 s ∴µ =h/s
例3.物体沿高H的光滑斜面从顶端由静止下滑，求它滑 到底端时的速度大小.
H
解：由动能定理得
mgH= 1 mV2
2
∴V= 2gH
若物体沿高H的光滑曲面从顶端由静止下滑，结果如何？
仍由动能定理得 mgH= 1 mV2
2
∴V= 2gH 注意：速度不一定相同
若由H高处自由下落，结果如何呢？ 仍为 V= 2gH
思 考 ： 外 力 做 功
类型一：质量为m 的物体在光滑水平面上，受与运 动方向相同的恒力F 的作用下发生一段位移l ，速 度从v1 增加到v2
类型二：质量为m 的物体在水平粗糙面上受到摩擦 力Ff 的作用下发生一段位移l ，速度从v1 减小到v2
类型三：质量为m 的物体在与运动方向相同的恒力 F 的作用下，沿粗糙水平面运动了一段位移l ，受 到的摩擦力为Ff ，速度从v1 变为v2
简析：因始末动能相等，由动能定理知水平力做的功为0
10.物体在水平恒力的作用下沿粗糙水平面运动，在物 体的速度有0增为V的过程中，恒力做功为W1 ；在物体 的速度有V增为2V的过程中，恒力做功为W2 ，求W1与 W2 的比值. W1= 1 mV2
2 W2 = 1 m(2V)2 – 1 mV2 2 2
2 gS0 sin v0 S 2g cos
2
v0
P
N
f
S0
mg

图6 27
• 上端悬点为O的细绳长度L=1m，其下端系一小 球m，自悬绳与竖直方向成60°角处由静止释 放，若在O点正下方适当位置有一水平长钉O1， 当小球运动到最低点后又以O1为圆心做圆周运 动，且小球经过圆周轨道最高点时绳上拉力刚 好减小到零，试计算O1的确切位置。 故O1位于O点正下方的距离为 OO1=0.8m
① ②
F合=F-F阻=F- kmg =ma
2 mv ∴F= 2l + kmg
动能定理: 由动能定理得 1 mv2 W合=（F-F阻）l =（F-kmg）l = 2
课 本 例 题 2
一质量为m、速度为v0 的汽车在关闭发动机后于水 平地面滑行了距离l 后停了下来。试求汽车受到的 阻力。
牛顿运动定律： 2 v 由 v2－v02 =2al 得 a＝- 2l0 F合= 0 -F阻= ma 由 ①②得F阻= 2l
解法2. 分段用动能定理 V F s1 s v
t
0 1 2 3 4
撤去F前，由动能定理得 撤去F后，由动能定理得
（F – f）s1 = 1 mV2
2
– f(s –s1) = 0 – 1 mV2
2
两式相加得
由解法1 知
Fs1 +（ –fs）= 0
F ：f = 4 ：1
解法3. 牛顿定律结合匀变速直线运动规律
动 能 的 表 达 式
1、物体的动能等于它的质量跟 它的速度平方的乘积的一半 物体的质量 物体的 动能
1 Ek＝2 mv2
物体的速度
2、动能是标量，是一个状态量 单位是焦耳（J）
三、动能定理
1 2 1 2 WF mv 2 mv1 2 2
1 2 Ek mv 2
WF Ek 2 Ek1
例4. 物体在恒定水平推力F的作用下沿粗糙水平面由静 止开始运动，发生位移s1后即撤去力F ，物体由运动一 段距离后停止运动. 整个过程的V–t图线如图所示.求推 力F与阻力f的比值. v F s1 t s 0 1 2 3 4
解法1. 由动能定理得 WF + Wf =0
即：Fs1 +（ –fs）=0 所以 F ：f = s ：s1 由V–t图线知 s ：s1 = 4 ：1 结果：F ：f = 4 ：1
第五章
机械能及其守恒定律
7.7 动能和动能定理
周建树
一、动能的概念
物体由于运动而具有的能叫做动能
二、动能的表达式
在光滑的水平面上有一个质量为m的 物体，在与运动方向相同的水平恒力的 作用下发生一段位移，速度由v1增加到 v2，求这个过程中该力所做的功。
二、动能的表达式
v v 2al
2 2 2 1
3mv
2 0
8
• 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质 量为m的物体，如图所示：绳的P端拴在车后的 挂钩上，Q端拴在物体上，设绳的总长不变； 绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩 擦都忽略不计．开始时，车在A点，左右两侧 绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为 H．提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经过B驶向C．设A到B的距离也为H，车经过B 点时的速度为vB．求车由A移到B的过程中，绳 Q端的拉力对物体做的功？
例5.从离地面H高处落下一只质量为m的小 球，小球在运动过程中所受到的空气阻力 大小恒为f，而小球与地面相碰后，能以 相同大小的速率反弹，则小球从释放开始， 直至停止弹跳为止，所通过的总路程为?
解：皮球运动的整个过程据动能定理： mgH-fS=0 f=kmg 得：S=H/k
6. 一质量为1kg的物体被人用手由静止向上提升1m时,物 体的速度为2m/s,取g=10m/s,下列说法正确的是:[ ] A. 提升过程中手对物体做功 12J; B. 提升过程中合外力对物体做功12J; C.提升过程中手对物体做功2J; D.提升过程中物体克服重力做功10J. 简析：由动能定理得 W合= 1 mv2