第一讲 二次函数的认识与待定系数法、配方法【问题探索】某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (2)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 答案：（1）共有(100)x +棵橙子树，平均每棵树结(6005)x -个橙子；（2）y 与x 之间的关系式为：(100)(6005)y x x =+-化简得：2510060000y x x =-++。

【新课引入】提问：1、在式子2510060000y x x =-++中，y 是x 的函数吗？若是，与我们以前学过的函数相同吗？若不相同，那是什么函数呢？答案：根据函数的定义，可知y 是x 的函数，与以前学过的一次函数和反比例函数不同，猜想它是二次函数。

2、请写一个一次函数关系式和一个反比例函数关系式，通过比较三个函数关系式，猜想2510060000y x x =-++是什么函数，并说出该函数的式子特征。

（其中）答案：比较结果见上表，由表格可猜想该函数是二次函数，该式子的特征是①含两个变量x （自变量）、y （因变量）；②式子右边有三项：二次项、一次项、常数项，最高次项是2次。

总结：一般地，形如2y ax bx c =++(,,a b c 是常数，0a ≠)的函数叫做x 的二次函数.注意：定义中只要求二次项系数a 不为零（必须存在二次项），一次项系数b 、常数项c 可以为零。

因此，最简单的二次函数形式是2(0)y ax a =≠举例：2510060000y x x =-++和2100200100y x x =++都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A 与边长a 的关系2A a =，圆面积S 与半径r 的关系2S r π=等，都是二次函数．3、(100)(6005)y x x =+-是二次函数吗？答案：是，因为化简能变成2y ax bx c =++（0a ≠）的形式。

4、通过二次三项式的配方，改变函数2510060000y x x =-++的表示形式。

答案：2225100600005(20)600005(20100)60000500y x x x x x x =-++=--+=--+++ 25(10)60500y x ∴=--+，它反过来也能变成2y ax bx c =++（0a ≠）的形式，因此，它还是二次函数。

这个式子可以让我们之间看出y 的最大值或最小值。

如：25(10)60500y x =--+中，当10x =时，y 有最大值60500。

5、一次函数、反比例函数都有图象，二次函数有图象吗？怎么画出它的图象呢？ 答案：二次函数也有图象，画二次函数的图象应该①列表；②描点；③连线。

6、请画出2510060000y x x =-++（5(100)(120)y x x =-+-、25(10)60500y x =--+）的图象，观察图象的形状是什么？观察图象与x 轴、y 轴的交点坐标，以及图象的最高点（顶点）坐标。

答案：图象是抛物线，与x 轴交点（-100,0）、（120,0），与y 轴的交点（0,60000），顶点（10,60500），同一个函数可以有三种表达形式，从解析式可以分别看出图象的哪些特征？【总结归纳】一、二次函数图象上点的横坐标、纵坐标分别与函数中的x 、y 对应也就是说：1、 二次函数图象上点的坐标满足二次函数的函数关系式，即代入解析式两边相等；2、 满足二次函数解析式的每一组(,)x y 的实数对，也对应着一个点，这些点就组成了二次函数的图象，解析式与图象的一些特征点对应关系如下图所示。

二、二次函数的三种表达形式以及它们之间的转化关系交点式因式分解一般式配方法顶点式三、待定系数法求函数关系式 1、已知图象上三个普通点的坐标，设一般式，解三元一次方程组可求解析式中的待定系数； 2、已知图象的顶点坐标和一个普通点的坐标，设顶点式，解二元一次方程组可求待定系数；图像与轴交点图像与轴交点图像的顶点3、已知图象与x 轴的两个交点坐标和一个普通点的坐标，设交点式，解方程可求待定系数。

4、后面学过二次函数图象特征和性质之后还有待定系数法的其他解法。

四、配方法其实就是二次三项式的配方，配方依据是“完全平方”公式——2222()a ab b a b ±+=±。

配方法在如下几个方面使用较多： 1、 用于求二次三项式的最值； 2、 用于解一元二次方程；3、 用于二次函数解析式变形，变一般式为顶点式，方便找图象的顶点和函数的最值。

【精选例题】（一）二次函数的概念例1、（1） 函数y=（m ＋2）x＋2x －1是二次函数，则m= ．（2）下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：（1）2y ax bx c =++Q 中，只有二次项系数0a ≠时，才是二次函数，22220m m ∴-=+≠且，故答案为2m =；（2）①④中未知项的最高次数都是1次，不是2次，因此不是二次函数；②③通过化简成一般形式，发现它们符合2y ax bx c =++Q 且0a ≠，所以答案为B 。

前思后想：一个函数是不是二次函数，关键看两个方面，①最高次项为2次，化简后符合一般形式；②二次项系数不等于0. 牛刀小试：1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 2．当m 时，y =（m －2）x是二次函数．3．下列不是二次函数的是（ ） A ．y=3x 2＋4B ．y=－x 2C ．y=D ．y=（x ＋1）（x －2）答案：1、0a ≠，0,0a b =≠，0,0,0a b c =≠=； 2、2m =-； 3、C.（二）根据等量关系列二次函数关系式例2 1、正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的函数表达式． 解析：22-m x 121x 22-m 3152-x等量关系：增加的面积=新正方形面积—原正方形面积，则22(5)5y x =+-整理得210y x x =+前思后想：根据实际情境列函数关系式，跟方程应用题一样，先找等量关系，再用代数式分别表示各个量，根据等量关系即可列出函数关系式。

变式：1、 已知正方形的周长为20，若其边长增加x ，面积增加y ，求y 与x 之间的表达式．2、 已知正方形的周长是x ，面积为y ，求y 与x 之间的函数表达式．3、已知正方形的边长为x ，若边长增加5，求面积y 与x 的函数表达式． 牛刀小试：1、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装售价每提高1元，销量就减少5套，如果商场将售价定为x 元，请你得出每天销售利润y （元）与售价x （元）的函数表达式．2、如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP =x ，△ADQ 的面积为y ，用含x 的代数式表示y ． 答案：1、[](40)3005(50)y x x =---化简得2575022000y x x =-+-；2、先证ABP PCQ ∆∆:得1(4)4CQ x x =-，在根据面积公式得21282y x x =-+。

（三）画二次函数图象例3. 画出函数y ＝2x 2－3x 的图象，并说出它与坐标轴的交点坐标以及顶点坐标. 解析： 列表：x 34- 0 343294y27898- 0278描点并连线：前思后想：1、 列表：画二次函数的图象，必须先配方找到顶点，再将x 取五个数，正中取顶点，向两边平均取点；2、 描点：根据表格中每个(,)x y 的实数对，在坐标系中描出相应的点；3、 连线：按照从左到右的顺序沿着各点用平滑的线连起来。

牛刀小试：1、画出下列函数的图象．（1）2235y x x =--； （2）234y x x =--+2、画函数y ＝－14x 2＋32x ＋4的图象，并写出它与坐标轴的交点及顶点坐标。

答案：略（四）利用配方法把函数解析式配成顶点式例4. 把y=x 2+3x -4化成顶点式； 解析：299(3)444y x x =++-- 2325()24y x =+-例5.把 y=2x 2-8x +6配成顶点式； 解析：22(44)68y x x =-++- 22(2)2y x =--例6．把y ＝－x 2＋x ＋1配成顶点式； 解析：211()144y x x =--+++ 215()24y x =--+例7．把y=12-x 2+3x -2配成顶点式。

解析：219(69)222y x x =--++- 215(3)22y x =--+前思后想：以上四道配方题可以看出配方的过程：①把二次项和一次项添上括号，提取二次项系数；②在括号内把二次项和一次项添加一个常数项配成完全平方式，里面添了项，外面就要减去添的项，注意括号外的系数；③把括号内写成平方形式即可。

牛刀小试：1、把Q =－(50－x )2＋ (50－x )＋308配成顶点式；2、把y ＝－3x 2－6x ＋8配成顶点式；3、把y =2x 2-8x +1配成顶点式。

答案：1、2992142Q x x =-+-配方得299()12332Q x =--+ 2、23(1)11y x =-++ 3、22(2)7y x =--（五）用待定系数法求二次函数解析式例8. 已知二次函数的图象过(1，0)，(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函数解析式。

解析：设二次函数解析式为2y ax bx c =++ （0a ≠），因为图象过三点，则043a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩解得：1a =，2b =，3c =-。

所以二次函数的解析式为：223y x x =+-。

例9. 已知二次函数的图象经过原点，且当x ＝1时，y 有最小值－1，求这个二次函数的解析式。

解析：因为二次函数当x ＝1时，y 有最小值－1，所以，设2(1)1y a x =--，由于图象过原点， 所以10a -=，1a ∴=。

故二次函数为2(1)1y x =--。

例10. 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1=－3，x 2=1，且与y 轴交点为 (0，－3)，求这个二次函数解析式。

解析：因为函数图象与x 轴相交于（-3,0），（1,0）两点，故设二次函数为(3)(1)y a x x =+- 由于图象与y 轴交于点（0，-3），所以，33a -=-，即1a =。