复合函数、分段函数零点个数问题
2012.12.31
1.（2013届八校联考理10）已知函数⎩⎨⎧<≥=)
0()-(log )
0(3)(3x x x x f x ，函数
)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．．
的是（ ） A .若)(,41x g t =
有一个零点 B .若)(,4
1
2-x g t <<有两个零点 C .若)(,2-x g t =有三个零点 D .若)(,2-x g t <有四个零点
2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0)
()lg()(0)x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩
，则实数2t ≤-是关
于x 的方程2
()()0f x f x t ++=.有三个不同实数根的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
3（2013荆州市12月质量检测-8）设定义域为R 的函数1251,0
()44,0
x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，
若关于x 的方程22
()(21)()0f x m f x m -++=有5个不同的实数解，则m =
A 2
B 6
C 2或6
D 4或6
4.设定义域为R 的函数2
lg (>0)
()-2(0)
x
x f x x x x ⎧=⎨
-≤⎩ 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2
+=x f x f
的零点的个数为
________.
5.已知函数1
+
(0)()0(=0)
x x f x x
x ⎧≠⎪=⎨⎪⎩
则关于x 的方程 2
()b ()0f x f x c ++= 有5个
不同的实数解的充要条件是（ ）
A b<-2且c>0
B b>-2且c<0
C b<-2且c=0
D b 2c=0≥-且
6 已知函数31
+,>0()3,0x x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪+≤⎩
， 则函数)2(-)2()(F 2
>+=a a x x f x 的零点个数不可能．．．
为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6
7．（2012武汉市四月调考-10题）已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ax ＋1，x ≤0，
log 2x ， x ＞0。

则下列关于函数y ＝f(f(x))
＋1的零点个数的判断正确的是（ ）
（A ）当a ＞0时，有4个零点；当a ＜0时，有1个零点 （B ）当a ＞0时，有3个零点；当a ＜0时，有2个零点 （C ）无论a 为何值，均有2个零点 （D ）无论a 为何值，均有4个零点
8．(2010·广东六校)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (1－x )的图象大致为( )
9.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
x ≤1log 12x x >1，则函数y ＝f (2－x )的图象可以是
10.已知函数),4()0,(,,()(2
3
+∞⋃-∞∈+++=k d c b d cx bx x x f 为常数），当时，
0)(=-k x f 只有一个实根；当k ∈（0，4）时，0)(=-k x f 只有3个相异实根，
现给出下列4个命题：
①04)(=-x f 和0)(='x f 有一个相同的实根； ②0)(0)('
==x f x f 和有一个相同的实根；
③03)(=-x f 的任一实根大于01)1(=-f 的任一实根； ④05)(=+x f 的任一实根小于02)(=-x f 任一实根. 其中正确命题的序号是________________
11．已知函数()f x 的定义域为[]15-，，部分对应值如下表．
()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示．
下列关于函数()f x 的命题： ① 函数()y f x =是周期函数； ② 函数()f x 在[]02，是减函数；
③ 如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④ 当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点．
其中真命题的个数是 ( )
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个 12．已知函数),0()0,()(+∞⋃-∞是定义在x f 上的偶函数，当0>x 时，
1)(4)(2),2(2
1,20,12)(|1|-=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x f x g x x f x x f x 则函数的零点个数为
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
13.已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是( )
A ．13
B ．16
C ．18
D ．22
14.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x ，恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，有f (x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋122
.
(1)求f (1)的值； (2)证明a >0，c >0；
(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R)是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. 15．已知函数()f x 的定义域为D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，
则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()3
2x
f f x =；③(1)2()f x f x -=-．则11()()38
f f += (A) 1
(B)
32
(C) 2 (D) 5
2
16．函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且
(1)(3)f x f x -=-．当l ≤x ≤2时，函数()f x 的导数()0f x '>，则()f x 的单调递
减区间是
（ ）
A ．[2,21]()k k k Z +∈
B ．[21,2]()k k k Z -∈
C ．[2,22]()k k k Z +∈
D ．[22,2]()k k k Z -∈
17．已知函数 2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342013
()12342013
x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，设
函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为
A ．8
B ．9
C ． 10
D ． 11
18．函数f （x ）=234
20122013123420122013x x x x x x ⎛⎫
+-+-+
-+ ⎪⎝⎭
cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
19．O 是锐角三角形ABC 的外心，由O 向边BC ，CA ，AB 引垂线，垂足分别是D ，E ，F ，
给出下列命题： ①0OA OB OC ++=； ②0OD OE OF ++=； ③||OD ：||OE ：||OF =cosA ：cosB ：cosC; ④R λ∃∈，使得()||||AB AC
AD AB SINB AC SINC
λ=+。

以上命题正确的个数是 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4；
20．()f x 是定义在()11-，上的函数，对于(),11x y ∀∈-，，有()())1(xy
y
x f y f x f --=-成立，且当()1,0x ∈-时，()0f x >．给出下列命题：
①()00f =； ②函数()f x 是偶函数；③函数()f x 只有一个零点； ④)4
1()31()21(f f f <+．其中正确命题的个数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
21．已知直角三角形ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
且不等式c
b a 111++ c
b a m
++≥
恒成立，则实数m 的最大值是___________．
22．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量L /mg P 与时间t h。