专题16：双曲线的离心率问题一、单选题1．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A．1B 1C ．12D ．122．12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，直线l 为双曲线C 的一条渐近线，1F 关于直线l 的对称点为'1F ，且点'1F 在以F 2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为 AB C ．2D3．已知双曲线2222:1x y E a b-=的左、右顶点分别为A 、B ，M 是E 上一点，ABM 为等腰三角形，且外接圆面积为23a π，则双曲线E 的离心率为 AB 1CD 14．设点1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点.点A ，B 分别在双曲线C 的左，右支上，若21225AB F A AF AB AF ==⋅，，且22AF BF <，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．B C ．135D ．1775．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A ，F ，过点A 的直线l 与C 的一条渐近线交于点Q ，直线QF 与C 的一个交点为B ，若AQ AB AQ FB ⋅=⋅，且3BQ FQ =，则C 的离心率为( )A ．2B1C D ．26．已知1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ，B .若22AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ） AB C ．2D 7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，关于原点对称的两点A 、B 分别在双曲线的左、右两支上，0AF FB ⋅=，3BF FC =且点C 在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）AB C D ．28．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点2F 关于直线b y x a=对称，则该双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B C D ．29．已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左，右焦点，过点2F 的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，设点(),H H H x y ，(,)G G G x y 分别为12AF F △，12BF F △的内心，若3H G y y =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．C ．(1,2]D ．(1,2)10．双曲线上22221(0)x y b a a b-=>>有两点A 、B ，O 为坐标原点，F 为双曲线焦点，满足OA OB ⊥，当A 、B 在双曲线上运动时，使得恒222111||||||OA OB OF +≤成立，则离心率取值范围是（） A ．⎦ B ．⎦C ．⎭ D ．⎛ ⎝ 11．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，点A是双曲线C 右支上一点，若12AF F △的内切圆M 的半径为a ，且12AF F △的重心G 满足12MG F F λ=，则双曲线C 的离心率为（） AB C ．2D ．12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作斜率为2的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A．2 BC D13．已知1F ，2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左，右焦点，点A 为双曲线C 的右顶点，且直线2:b l y a=与双曲线C 的左、右两支分别交于P ，Q 两点，若122QAF PAF π∠∠+<，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．11,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．)+∞D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 、2F ，A B 、分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O 对称的两点，且直线AB 的斜率为M N 、分别为2AF 、2BF 的中点，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A．BCD 15．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A．B C ．2 D ．216．已知F 为双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 、B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF BF ⊥，且AF 的中点在双曲线C 上，则C 的离心率为A1B C D 117．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:bl y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A．B ．3C D ．218．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的左支交于P ，Q 两点，若212PF F F =，且1132PF QF =，则C 的离心率为（ ） A ．32B ．75C ．53D ．219．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点C在双曲线上，ABC ∆的三个内角分别用A ，B ，C 表示，若tan tan 2tan 0A B C ++=，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2 D 20．设双曲线()2222100y x a b a b-=＞，＞的上焦点为F ，过点F 作与y轴垂直的直线交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP OA OB λμ=+，()2259R λμλμ+=∈，，则双曲线的离心率e 的值是（ ）A ．3B C ．4D ．3221．已知1x =是方程320x ax bx c +++=的一个根，另两个实根可分别作为某椭圆，某双曲线的离心率，则22a b +的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．[)5,+∞D ．()5,+∞二、填空题22．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右顶点分别是,A B ，右焦点F，过F 垂直于x 轴的直线l 交双曲线于,M N 两点，P 为直线l 上的点，当APB ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好落在M （或N ）处，则双曲线的离心率是__________．23．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122e e +的最小值为____________． 24．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点为12,F F ，P 是双曲线上一点，且123F PF π∠=.若12F PF ∆的外接圆和内切圆的半径分别为,R r ，且4R r =，则双曲线的离心率为__________.25．如图，已知双曲线222:12x y C a a -=+的左､右焦点分别为1F ，2F ，M 是C 上位于第一象限内的一点，且直线2F M 与y 轴的正半轴交于A 点，1AMF 的内切圆在边1MF 上的切点为N ，若||4MN =，则双曲线C 的离心率为________.26．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>上一点P ，过双曲线中心O 的直线交双曲线于A 、B 两不同（点A ，B 异于点P ）．设直线P A 、PB 的斜率分别为1k 、2k ，当22121261ln ln k k k k ⋅++最小时，双曲线的离心率为_______．27．已知双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 且斜率C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为______.参考答案1．B【解析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN| ∴1||||PNm PA =，设PA的倾斜角为α，则1 sinmα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2﹣1），∴双曲线的离心率为1=．故选B．【点评】本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化PA m PF=得到1sinPNm PAα==，m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA 与抛物线相切，得到△=0，得到k 的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用. 2．B【分析】根据左焦点1F 与渐近线方程，求得1F 关于直线l 的对称点为'1F 的坐标，写出以F 2为圆心、以半虚轴长b 为半径的圆的方程，再将'1F 的坐标代入圆的方程，化简即可得离心率．【解析】因为直线l 为双曲线C 的一条渐近线，则直线:bl y x a= 因为12,F F 是双曲线C 的左、右焦点 所以1F （-c ，0），2F （c ，0）因为1F 关于直线l 的对称点为'1F ，设'1F 为（x ，y ） 则001,22y b y b x cx c a a -+-⋅=-=⋅+ 解得222,b a abx y c c -==- 所以'1F 为（222,b a abc c--） 因为'1F 是以2F 为圆心，以半虚轴长b 为半径的圆，则圆的方程为()222x c y b -+=将以'1F 的（222,b a ab c c --）代入圆的方程得222222b a ab c b c c ⎛⎫-⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简整理得225a c = ，所以e ==所以选B【点评】本题考查了双曲线渐近线方程、离心率的应用，点关于直线对称点的求法，对于几何关系的理解非常关键，属于难题．3．C【分析】不妨设M 在第二象限，由外接圆面积得其半径，设ABM AMB θ∠=∠=，利用正弦定理求出sin θ，从而可得sin 2,cos 2θθ，然后求得M 点坐标，把M 点坐标代入双曲线方程可得,a b 关系式，化简后可求得离心率．【解析】不妨设M 在第二象限，则在等腰ABM ∆中，2AB AM a ==， 设ABM AMB θ∠=∠=，则12F AM θ∠=，θ为锐角．ABM ∆外接圆面积为23a π，∴2sin aθ=，∴sin 3θ=，cos 3θ=，∴sin 223θ==，21cos 2213θ=⨯-=， 设M 点坐标为(,)x y ，则5cos 23a x a AM θ=--=-，sin 2y AM θ==， 即M点坐标为5(3a -， 由M点在双曲线上，得22225()331a a b --=，整理得222b a=，∴c e a ===故选C ．【点评】本题将解三角形和双曲线的几何性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c 之间的数量关系，其中通过解三角形得出M 点的坐标，是解题的突破点，在得到点M 坐标后，根据点在双曲线上得出,a b间的关系，最后根据222c a b =+可求得离心率． 4．B【分析】由222AF AB AF =⋅及数量积的运算律可得22F B AF ⊥，设1F A m =，则5AB m =，16BF m =，利用双曲线的定义及直角三角形可求得m a =（23m a =不合题意舍去），然后求出cos BNM ∠，再用余弦定理得出,a c 关系求得离心率．【解析】15AB F A =，∴1,,F A B 共线，且15AB F A =，2222222222()AF AB AF AF F B AF AF F B AF =⋅=+⋅=+⋅，∴220F B AF ⋅=，则22F B AF ⊥，故有22222AF BF AB+=，设1F A m =，则5AB m =，16BF m =，QQ 群333528558由双曲线的定义可得222222226225AF m a m BF aAF BF m ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎩∴222(2)(62)25m a m a m ++-=，整理得()(32)0m a m a --=，解得：m a =或23m a =，若23m a =，则283AF a =，22BF a =，不满足22AF BF <，舍去； 若m a =，2234AF a BF a =<=，符合题意，则16BF a =，5AB a =， 此时22cos 5||445a BF A a BF AB ∠===， 在12F BF 中，22212121222cos F F BF BF BF BF ABF =+-⋅∠，即2224361664542c a a a a =+-⨯⨯⨯，得到222175c e a ==，即22175c a =，∴c e a ==．故选：B ．【点评】关键点【点评】本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率及直线与双曲线的位置关系的应用，其中涉及到平面向量的线性运算和余弦定理，求解出22F B AF ⊥是本题的解题关键，属于中档题. 5．C【分析】由向量数量积等式推出l ⊥x 轴，求出点Q 坐标，进而得点B 坐标，再代入双曲线方程求解即得. 【解析】由已知得(),0A a ，设(),0F c ，由AQ AB AQ FB ⋅=⋅，得()0AQ AB BF AQ AF ⋅+=⋅=， 所以l x ⊥轴，即:l x a =，不妨设点Q 在第一象限，则(),Q a b . 设()00,B x y ，由3BQ FQ =，得2BF FQ =，()()00,2,c x y a c b ∴--=-， 00322x c a y b=-⎧∴⎨=-⎩，即()32,2B c a b --， 点()00,B x y 在双曲线上，()()22223221c a b ab--∴-=，整理得229120c ac a --=，291210e e ∴--=，解得e =e =负值舍去).故选C. 故选：C【点评】求解双曲线离心率的问题，根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2=c 2-a 2转化为a ，c 的齐次式，再转化为关于e 的方程，解之即可得e . 6．A【分析】设1AF t =，据双曲线的定义可用t 表示22AF BF ，，作2F H AB H ⊥=，构造直角三角形可计算得t ，并用勾股定理列出了)()2222c a -=，进而可求e .【解析】设1AF t =，则222AF t a BF =+=， 从而14BF t a =+，进而4BA a =.过2F 作2F H AB H ⊥=，则2AH a =.如图：在12Rt F F H △中，22sin30F H c c =︒=，122cos F H c AF θ===；在2Rt AF H △中，)()2222c a -=，即2224c a =，所以e =故选：A【点评】（1）焦点三角形为条件求圆锥曲线的离心率，常利用圆锥曲线的定义；（2）求圆锥曲线的离心率，常利用有关三角形建立关于,,a b c 的齐次等式，再化为e 的等式可求；（3）此题的关键是作2F H AB H ⊥=得直角三角形，即可求出边长，又可用来建立,,a b c 的齐次等式. 7．B【分析】由点A 、B 关于原点对称，设(),B x y ，则(),A x y --，利用3BF FC =，得()43,3C c x y --，再利用0AF FB ⋅=得到关系式222c x y =+，再用点C 、B 在双曲线上，三个式子联立求解得到2223a c +=，化简得到425702e e -+=，即可求得双曲线的离心率.【解析】由点A 、B 关于原点对称，设(),B x y ，则(),A x y --(),0F c ，设(),C m n ，(),BF c x y ∴=--，(),FC m c n =- 3BF FC =，()43333m c x c x m c n y y n =-⎧-=-⎧∴⇒⎨⎨=--=⎩⎩，即()43,3C c x y -- 0AF FB ⋅=，()(),,,AF c x y BF c x y =+=--利用向量数量积公式得：()(),,0c x y c x y +⋅--=，即222c x y =+① 又点C 、B 均在双曲线上，22221x y a b ∴-=②，()()22224331c x y a b ---=③由①②③可得：2223a c +=两边同时除以2a 可得：212e +=两边同时平方得；()()22212921ee +=-，即()()422227502510e e e e -+=⇒--=又双曲线的离心率1e >，则252e =，即2e == 故选：B.【点评】关键点【点评】本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中利用3BF FC =得到点C 坐标，利用点C 、B 均在双曲线上，得到关系式，再利用0AF FB ⋅=得到关系式，三个式子联立得到所要求的等量关系，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题． 8．B【分析】求出过焦点2F 且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入方程结合222+=a b c ，解出e 即得.【解析】由题意，设点焦点2F 且垂直渐近线的直线方程为：()0ay x c b-=--， 由()0a y x c b b y xa ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：2a x c =，ab yc =，所以，对称中心的点坐标为2,a ab c c ⎛⎫⎪⎝⎭，又()2,0F c ，设点()00,P x y ，则200202c x a c y ab c ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得20022a x c c aby c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将点222,a ab P c c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线的方程可得()222222222241a c a b a c b c--=，又222+=a b c ，化简可得225c a =，故ce a==. 故选：B.【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线离心率的求解和对称问题，属于中档题. 9．D【分析】结合图形，由双曲线的定义及内切圆的性质可得1212AF AF F F FF -=-，即H x a =，同理可得G x a =，从而可得12HG F F ⊥，再由3H G y y =，可得3FH FG =，设直线AB 的倾斜角为θ，在2Rt F FG △和2Rt F FH △中，分别将FH ,FG 用θ表示代入即可求出直线AB 的斜率，再结合直线AB 与双曲线右支交于两点，即可求出ba<进而可求出离心率的取值范围.【解析】不妨设直线AB 的斜率大于0．如图:连接HG ．2HF ，2GF ，设12AF F △的内切圆与三边分别切于点D ，E ，F ，则12121212()AF AF AD DF AE EF DF EF F F FF -=+-+=-=-，所以2()H H a c x c x =+--，即H x a =，同理可得G x a =，所以12HG F F ⊥， 设直线AB 的倾斜角为θ，在2Rt F FG △中，2tan ()tan 22FG FF c a θθ==-，在2Rt F FH △中，2tan ()tan 222FH FF c a πθπθ-⎛⎫==-⋅- ⎪⎝⎭，又3H G y y =，所以3FH FG =，即()tan 3()tan 222c a c a πθθ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得tan 2θ=，所以22tan2tan 1tan 2==-θθθAB由题意，直线AB与双曲线右支交于两点，故ba<所以(1,2)c a =. 故选:D【点评】本题主要考查了结合平面几何知识求双曲线的离心率的取值范围，属于难题. 10．A【分析】先根据OA OB ⊥得到12120x x y y +=，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到2222221m a b k b a=+-，从而得到22222211||||b a a b OA OB -+=为定值，即可求解离心率. 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB :y kx m =+ 因为OA OB ⊥，即12120OA OB x x y y ⋅=+=联立22221y kx mx y a b=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得()22222222220b a k x kma x a m a b ----=2122222kma x x b a k +=-，()22212222a m b x x b a k-+=-()()()2212121112y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++代入得2222212222m b a b k y y b a k -=- 所以()222222*********2220a m b m b a b k x x y y b a k b a k-+-+=+=-- 整理得2222221m a b k b a=+-即由()0,0O 到直线AB :y kx m =+的距离d =所以距离为一个定值又()()222222211||||||||||||||||||OA OB AB OA OB OA OB OA OB +==⋅⋅+又11||||||22ABCSOA OB AB d =⋅=⋅ 即()222||||||OA OB AB d ⋅=所以()2222222222211||11||||||||AB k b a d ma bOA OB OA OB +-+====⋅ 又222111||||||OA OB OF +≤所以2222211b a e a b c -≤⇒<≤又b a e >⇒< e <≤ 故选：A【点评】此题考查双曲线的离心率，难点是联立方程后的化简过程，对计算的要求较高，属于较难题目.11．C【分析】根据12MG F F λ=，得到M G y y a ==，33A G y y a ==，然后由等面积法由()12121123222AF F Sc a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅，结合122AF AF a -=，解得12,AF AF ，再利用距离公式得到2A x a =，进而得到A 的坐标，代入双曲线方程求解即可. 【解析】如图所示：因为12MG F F λ=， 所以12//MG F F ，所以M G y y a ==，33A G y y a ==， 所以()12121123222AF F Sc a AF AF c a =⋅⋅=⋅++⋅， 又122AF AF a -=， 解得122,2AF c a AF c a =+=-，设(),A A A x y ，()1,0F c -，所以1AF ==A ex a =+.所以1A AF a ex =+，解得2A x a =，所以()2,3A a a ，代入双曲线方程得：()()2222231aa ab-=，解得,2b c a ===， 所以2ce a==. 故选：C【点评】本题主要考查双曲线的第一定义和焦半径公式以及内切圆的应用，离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于难题. 12．D【分析】取AB 中点M ，连结2F M ，因为22AF BF =，所以可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，根据双曲线的定义求出1F M ，再由勾股定理得出2F M ==，得出22222x a c =+，再由直线l 的斜率为2，即可求出离心率.【解析】如图，因为22AF BF =，则取AB 中点M ，连结2F M ，可得2F M AB ⊥，设22AF BF x ==，因为212AF AF a -=，则12AF x a =-，又因为122BF BF a -=，则12BF x a =+，114AB BF AF a =-=，则2AM BM a ==，则1FM x =，在12Rt F F M 中有2=F M 2Rt AF M ∆中有2=F M=，解得22222x a c =+，因为直线l 的斜率为2，所以2121tan F M MF F F M ∠===222212c a a c -=+，223c a =，所以离心率e =故选：D【点评】本题主要考查双曲线的性质即离心率的求法，解题的关键是找出双曲线中,,a b c 间的关系. 13．A【分析】首先联立直线l 与双曲线的方程，求得点P ，Q 的坐标，然后根据条件可推出0AP AQ ⋅<，由此得到关于a ，b 的不等式，从而求得22b a的范围，进而求得双曲线离心率的取值范围. 【解析】由222221x y a b by a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得x c =±，所以2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,b Q c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因为(),0A a ，所以2,b AP c a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2,b AQ c a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又122QAF PAF π∠∠+<，所以2PAQ ππ<∠<，则0AP AQ ⋅<，即()()220b b c a c a a a---+⨯<，整理，得42220b a c a -+<.因为222c a b -=，所以4220b b a -+<，所以221b a<，所以双曲线C 的离心率c e a ==1e >，所以1e << 故选：A.【点评】本题考查双曲线的几何性质、向量的数量积等，考查逻辑推理能力、运算求解能力、数形结合思想，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算，属于较难题.关于求解椭圆，双曲线的离心率问题，基本的解题思路是建立椭圆或双曲线中关于a ，b ，c 的关系式，求值问题建立关于a ，b ，c 的等式，求取值范围问题建立关于a ，b ，c 的不等式. 14．A【分析】设()00,B x ，A 点与B 点关于原点对称，M N 、分别为2AF 、2BF 的中点，可得出,,A M N的坐标，再根据原点O 在以线段MN 为直径的圆上，所以有OM ON ⊥,可得出0x 与c 的关系，代入双曲线方程化简即可得出离心率.【解析】设()()000,0B x x >，则()00,A x --，(),0F c ，如图M N 、分别为2AF 、2BF 的中点，00,2x c M -+⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，002x c N +⎛⎫ ⎪⎝⎭，原点O 在以线段MN 为直径的圆上，∴OM ON ⊥即22200204c x OM ON x →→-=-=，解得：03c x =故,33c B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，把,33c B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入双曲线方程22221x y a b -=可得：22228199c c a b -=，化简得：42249180a a c c -+=即421890e e -+=，解得：29e =+e =故选：A【点评】本题考查了双曲线的几何性质及其应用，由题意得到a 和c 的关系，接下来解关于离心率e 的方程，考查了学生的计算能力，属于较难题. 15．C【分析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，所以b a =e =即可算出结果.【解析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60，又双曲线的焦点既可在x 轴，又可在y 轴上，所以b a =2e ∴==或3. 故选：C【点评】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.16．A【分析】由题知ABF 是直角三角形，O 是斜边中点，得AO OB OF c === ，从而求出点A 坐标，得到点M 坐标，再代入双曲线方程化简可得离心率.【解析】AF BF ⊥，ABF 是直角三角形，AO OB OF c ===A 点在渐近线0bx ay -=上，设00(,)bx A x a0(0)x > ，(c,0)F 22222002b x AOx c a 解得：0x a =(,)A a b ，+(,)22c a bM 中点M 在双曲线C 上,代入方程：2222(+)144c a b a b化简得22()=5c a a ，224=0e e 则1e = 故选：A.【点评】本题考查求双曲线离心率. 求双曲线离心率的三种方法:(1)直接求出,a c 来求解e 通过已知条件列方程组，解出,a c 的值． (2)构造,a c 的齐次式，解出e 由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解． (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用双曲线的离心率()1+e ，∈∞)进行根的取舍，否则将产生增根．17．A【分析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-，联立方程得到()312222ab y y b a c +=-，()2412222a b y y b a c =-，根据向量关系化简到229b a =，得到离心率.【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为bx y c a=-.联立2222,1,b x y c a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b --+=， 则()()3241212222222,ab a b y y y y b a c b a c +==--.因为11122OP OF OQ =+，所以P 为线段1QF 的中点，所以212y y =，()()()()22622221222222224124942a b b a c y y b y y b a b a c a b -+===⋅--，整理得229b a =，故该双曲线的离心率e =故选：A .【点评】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 18．B【分析】计算得到2122PF F F c ==，122PF c a =-， ()13QF c a =-，23QF c a =-，根据1212cos cos PF F QF F ∠=-∠，利用余弦定理得到2251270c ac a -+=，计算得到答案.【解析】2122PF F F c ==，故12222PF PF a c a =-=-，1132PF QF =，故()13QF c a =-，故2123QF a QF c a =+=-.根据余弦定理222112212112cos 2PF F F PF PF F PF F F +-∠=⋅，222112212112cos 2QF F F QF QF F QF F F +-∠=⋅，1212cos cos PF F QF F ∠=-∠，化简整理得到：2251270c ac a -+=，即251270e e -+=，解得75e =或1e =（舍去）. 故选：B .【点评】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 19．A【分析】由式子tan tan()C A B =-+和tan tan 2tan 0A B C ++=可得：2(tan tan )tan tan 01tan tan A B A B A B++-=-，进而可得出tan tan 1A B =-，设点(,)c c C x y 在第一象限，分别求得tan c c y A x a =+，tan cc y B x a =--，代入tan tan 1A B =-可得：221b a =，最后求出离心率即可.【解析】tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B +=-+=--，2(tan tan )tan tan 01tan tan A B A B A B++-=-， ∵2(tan tan )101tan tan A B A B ⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭，tan tan 0A B +≠， ∴1tan tan 2A B -=，即tan tan 1A B =-， 设点(,)c c C x y 在第一象限，则tan c c y A x a =+，tan c cy B x a =--，222tan tan c c y A B x a =--，22221c cx y a b -=，∴22221c cx y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，22tan tan 1b A B a =-=-，∴221b a =，e ==故选：A.【点评】本题考查两角和的正切公式，考查双曲线的简单几何性质，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 20．C【分析】根据,,A B P 三点共线得到1λμ+=，计算得到,3bc P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线方程，化简得到答案.【解析】渐近线为：a y x b =±，取y c =，解得bcx a=±，则,,,bc bc A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. OP OA OB λμ=+，且,,A B P 三点共线，故1λμ+=，2259λμ+=， 则1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不妨取1323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则,3bc P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 代入双曲线方程得到：222219c c a a -=，即281,94e e ==. 故选：C .【点评】本题考查了双曲线的离心率，根据共线得到1λμ+=是解题的关键. 21．D【分析】由题意，求出1c a b =---，分解函数的表达方式为一个一次因式与一个二次因式的乘积，通过函数的零点即可推出a ，b 的关系利用线性规划求解22a b +的取值范围即可. 【解析】依题意得10a b c +++=，故1c a b =---，所以()()()2111f x x x a x a b ⎡⎤=-+++++⎣⎦.另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故()()211g x x a x a b +=++++有两个分别属于()0,1和()1,+∞的零点.故有()00g >且()10g <，即10a b ++>且230a b ++<. 运用线性规划知识，以横轴为a ，以纵轴为b ，作出不等式组10230a b a b ++>⎧⎨++<⎩所表达平面区域,为阴影部分可求得()225,a b +∈+∞.故选D.【点评】椭圆离心率()0,1e ∈，双曲线离心率()1,e ∈+∞，本题考查函数零点问题，线性规划问题，综合性比较强，有一定难度. 22【解析】【分析】设点P 的坐标为(),c t ，求出点M 的坐标2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，由APB ∆的外接圆面积取最小值时，APB ∠取到最大值，则()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，利用基本不等式求出tan APB ∠的最小值，利用等号成立求出t 的表达式，令2bt a=求出双曲线的离心率的值．【解析】如下图所示，将x c =代入双曲线的方程得22221c y a b-=，得2by a =±，所以点2,b M c a ⎛⎫⎪⎝⎭，设点P 的坐标为()(),0c t t >，由APB ∆的外接圆面积取最小值时，则APB ∠取到最大值，则tan APB ∠取到最大值，tan a c APF t +∠=，tan c aBPF t-∠=， ()tan tan tan tan 1tan tan APF BPFAPB APF BPF APF BPF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠2222211c a c a aa a t t t c a c ab b b t t t t t +--===≤=+-+⋅++，当且仅当()20b t t t=>，即当t b =时，等号成立，所以，当t b =时，APB ∠最大，此时APB ∆的外接圆面积取最小值，由题意可得2b b a =，则1b a =，此时，双曲线的离心率为e ==，．【点评】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用基本不等式求最值，本题中将三角形的外接圆面积最小转化为对应的角取最大值，转化为三角函数值的最值求解，考查化归与转化思想的应用，运算量较大，属于难题． 23．6【分析】由于线段1PF 的垂直平分线过2F ，所以有122F F PF =，再根据双曲线和椭圆的定义，求出2c 的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.【解析】设椭圆对应的参数为11,,a b c ，双曲线对应的参数为22,,a b c ，由于线段1PF 的垂直平分线过2F ，所以有1222F F PF c ==.根据双曲线和椭圆的定义有11122222PF c a PF c a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，两式相减得到()1242c a a =-，即122a a c -=.所以2121222224222e a a c c e c a c a +=+=++46≥+=，即最小值为6.【点评】本小题考查双曲线的定义和几何性质，考查椭圆的定义和几何性质，是一个综合性较强的题目.由于椭圆和双曲线有公共的焦点，所以焦距相同，也就是有相同c .对于两个曲线的公共交点来说，即满足椭圆的定义，又满足双曲线的定义，根据定义可列出方程.再利用基本不等式可求得最小值. 24【分析】在12F PF △中，利用正弦定理：12122sin F F R F PF =∠，求得3R c =，146r R ==，设12,PF m PF n ==，再利用余弦定理求得mn ，然后由121sin 23F PF Smn π=()122m n c r =++求解． 【解析】双曲线的焦点为()()1212,0,,0,2F c F c F F c -=， 在12F PF △中，由正弦定理得：121222sin sin3F F c R F PF π===∠，解得R =，14r R ==， 设12,PF m PF n ==，在12F PF △中，由余弦定理得：()222242cos3c m n mn m n mn π=+-=-+，解得()224mn c a =-，所以)12221sin23P F F S c mn a π==-△，因为()()()222222244161612m n m n mn a c a c a +=-+=+-=-又()()12212212F PF m n c Sm n c r ++=++=，)()22212m c a n c ++-=，则221012c a m n c -+=所以()22222210121612c a m n c a c ⎛⎫-+==- ⎪⎝⎭整理得44222136570c a a c +-=，则()()222221360c a c a --=解得c e a ==1e =（舍去）故答案为：7． 【点评】关键点【点评】本题的关键在于结合正余定理以及121sin 23F PF Smn π=()122m n c r =++化简求解．25．4【分析】根据双曲线的定义以及圆的切线定理得到2242GF MF a +-=，进而得到28a =，求出a ，即可求出双曲线的离心率.【解析】解：如图所示：设1AMF 的内切圆在1,AF AM 上的切点分别为,E G ，由双曲线的定义知：122MF MF a -=， 即1242NF MF a +-=， 又112NF EF GF ==， 即2242GF MF a +-=， 即42GM a +=， 又4GM MN ==，28a ∴=，即4a =，则216a =，2426a +=+=，222166=22c a a ∴=++=+，即c =4e ∴=故答案为：4. 【点评】关键点【点评】本题解题的关键是利用双曲线的定义以及切线长定理得到2242GF MF a +-=. 26．2【分析】设(),P x y ，()11,A x y ，()11,B x y --，显然1x x ≠，1x x ≠-，又由点A ，P 在双曲线上得221122222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，结合斜率公式可推得2122b k k a =，令12t k k =，构造函数62ln y t t=+，利用导数求出函数的最小值，然后计算出双曲线的离心率.【解析】设(),P x y ，()11,A x y ，()11,B x y --，显然1x x ≠，1x x ≠-．∵点A ，P 在双曲线上，∴221122222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式相减得22212221y y b x x a-=-，∴222111122221110AP BP y y y y y y b k k k k x x x x x x a-+-==⋅==>-+-， ∵()2212121212616ln ln 2ln y k k k k k k k k =⋅++=+⋅⋅， 设12t k k =，则()62ln 0y t t t=+>， ∴求导得226226t y t t t-'=-+=， ∴62ln y t t=+在()0,3单调递减，在()3,+∞单调递增， ∴当3t =时，62ln y t t=+取最小值，此时2e ===．故答案为：2【点评】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，利用导数求函数的最值，直线的斜率公式，考查了学生的运算求解能力. 27．65【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，将直线的方程和双曲线的方程联立消元得出24121222223,33c b y y y y a b a b-+==--，由4AF FB =可得124y y =-，这几个式子再结合222b c a =-化简可得65c a =【解析】因为直线AB 过点(c,0)F所以直线AB的方程为：)y x c =-与双曲线22221x y a b-=联立消去x ，得22224103b a y cy b ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭设()()1122,,,A x y B x y所以412122233b y y y y a b-+==-因为4AF FB =，可得124y y =-代入上式得4222223343b y y a b--=-=-消去2y 并化简整理得：22243(3)34c a b =- 将222b c a =-代入化简得：223625c a = 解之得65c a =因此，该双曲线的离心率65c e a== 故答案为：65【点评】1.直线与双曲线相交的问题，常将两个的方程联立消元，用韦达定理表示出横（纵）坐标之和、积，然后再结合条件求解 2.求离心率即是求a 与c 的关系.。