关于恰当微分方程解法的探究
摘 要：本文首先给出了微分方程的基本概念．在此基础上，探讨了恰当微分方程的解法.
关键词：恰当微分方程；通解；特解
Solving Method of The Proper Differential Equation
Abstract ： This paper firstly introduces the basic concept of differential equations ． on such a basis, the paper probes into the solutions of the proper differential equations .
Key words ：Proper differential equation; general solution; particular solution 引言
本文结合一些典型的例题，介绍微分方程解的一些基本概念，重点探究了恰当微分方程和可化为恰当微分方程的解法.
1.有关微分方程的解的一些概念
1.1解的表示形式
定义:设函数()y x ϕ=在区间I 有直到n 阶的导数,如果把()y x ϕ=及其相应
的各阶导数代入方程()()()()
,0n F x x x ϕϕ= 能使得该式成立,则函数()y x ϕ=,()x I ∈为方程的一个解.
例 1 试验证函数
tan ,,22y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭
是方程
21dy y dx
=+ 的解.
解 显然tan y x =在区间,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
上可导,把他代入方程后对一切的
,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
有 ()
'22tan sec 1tan x x x =≡+.
1. 2通解和特解
1 通解 我们知道一个重要事实,就是微分方程存在有含有任意常数的解,而且我们看到,解中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等,我们把含有任意个常数的解叫方程的通解.
例如 x y ce =为一阶方程'y y =的通解.
2 特解
如果已求得一微分方程的通解,而欲求满足一个初值条件的特解,往往可以用初值条件去确定通解中的常数从而得到特解.
对于一阶微分方程而言,设已知通解为(),y x c ϕ=,想要求满足初值条件
()00y x y =
的特解.为了确定(),y x c ϕ=中的c ,可将()00y x y =代入得到方程
()()00,y x x c ϕ=
解出c 代入通解中得到0c
即
()0,y x c ϕ=
为满足初值条件的特解.
2.恰当微分方程
2.1 一般恰当微分方程的解法
若一阶微分方程
0),(),(=+dy y x N dx y x M ()1.1.2
的左端恰好是某个二元函数的全微分，即
dy y
u dx x u y x du dy y x N dx y x M ∂∂+∂∂==+),(),(),(
则()1.1.2为恰当微分方程，其中),(y x M ，),(y x N 为某矩形区域上连续且具有连续的一阶偏导数．
那么如何判定一个微分方程是否为恰当微分方程呢，下面给出其判别方法． 若()1.1.2为恰当微分方程，则
x u M ∂∂=
()2.1.2 y
u N ∂∂= )3.1.2( 对()2.1.2，)3.1.2(分别求关于y ，x 的偏导数，有
y
x u y M ∂∂∂=∂∂2 x
y u x N ∂∂∂=∂∂2 由y M ∂∂，x N ∂∂的连续性，x
y u y x u ∂∂∂=∂∂∂22 故x
N y M ∂∂=∂∂，此即为判定微分方程是否为恰当微分方程的充要条件． 下面来讨论()1.1.2的通解形式
由()2.1.2知
⎰+=)(),(y dx y x M u ψ
()y ψ是y 的可微函数，下面来求()y ψ使()y ψ也满足)3.1.2(
N dy
y d dx y x M y y u =+∂∂=∂∂⎰)(),(ψ 由此知
⎰∂∂-=dx y x M Y
N dy y d ),()(ψ 下证⎰
∂∂-dx y x M y N ),(与x 无关即可．
[]
0),(),(),(=∂∂-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂-∂∂=-∂∂⎰⎰⎰Y M x N dx y x M x
y x N dx y x M y x x N dx y x M N x 所以左边与x 无关．
积分得 dy dx y x M y N y ⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂-=),()(ψ 所以 dy dx y x M y N dx y x M y x u ⎰⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂-+=),(),(),( 从而，原方程的通解为
C dy dx y x M y N dx y x M y x u =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂-+=⎰⎰⎰),(),(),( C 为任意常数．
例 2 求解方程()()
046633222=+++dy y y x dx xy x
解 由于()2263,xy x y x M +=，()y x y x N 26,=
所以 xy y M 12=∂∂，xy x N 12=∂∂ 因此原方程为恰当微分方程．
现在求u 使其满足
2263xy x x
u +=∂∂ 3246y y x y
u +=∂∂ 由()15.2得
()()y y x x y dx xy x u ϕϕ++=++=⎰22322363
为了确定()y ϕ对()17.2求关于y 的导数
()322466y y x dy
y d y x y u +=+=∂∂ϕ 即得
()34y dy
y d =ϕ 两边积分得
()4y y =ϕ
所以
42233y y x x u ++=
从而，原方程的解为
C y y x x =++42233
注 对于一些恰当微分方程不需要如此复杂的过程，通过观察可以采用“分项组合”的方法．
例 3 求解方程01sin cos 11cos sin 1222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-dy y y x y x x y x
dx x y x y y x y 解 原方程可以变形为
01cos 1sin 222=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-y dy dx dy x dx x y x y dy y x dx y y x 即
0cos sin
2=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛y dy dx x y d x y y x d y x 即 01sin cos =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y d dx x y d y x d 所以，原方程的通解为
C y
x y x x y =-+-1cos sin 2.2 可化为恰当微分方程的解法
对非恰当微分方程我们可引入积分因子将其化为恰当微分方程，从而加以解决.
若存在连续的函数()y x u ,且()0,≠y x u 使
()()()()0,,,,=+dy y x N y x u dx y x M y x u
为一恰当微分方程，即存在函数()y x v ,
()()()()()y x dv dy y x N y x u dx y x M y x u ,,,,,=+
则()y x u ,为原方程()1.1.2的积分因子．
注 这时原方程的解为()C y x v =,
下面只对含()y x 的积分因子作寻求．
由微分方程为恰当微分方程的必要条件得
()()x
uN y uM ∂∂=∂∂ 即得
x
N u x u N y M u y u M ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ 从而有
u y M x N x u N y u M ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ 若只含有关于x 的积分因子，则
0=∂∂y u 从而有
N
x N y M u du ∂∂-∂∂= 从而只含有与x 有关的积分因子充要条件是 ()x N
x N y M u du ϕ=∂∂-∂∂= 这里()x ϕ仅为x 的函数．所以原方程的一个积分因子为
()⎰=dx x e u ϕ
同理，可以得到原方程只含有与y 有关的积分因子的充要条件是 ()y M
x N y M ψ=-∂∂-∂∂ 这里()y ψ仅为y 的函数．求得原方程的一个积分因子
()dy y e u ⎰=ψ
例 4 求解方程()()0cos sin sin cos =++-dy x x x y dx x x x y 解 由于x y
M cos =∂∂，x x x x y x N sin cos cos -+=∂∂ 由此知方程不是恰当微分方程．
又
1c o s s i n c o s s i n =--=-∂∂-∂∂x y x x x y x x M x N y M 所以原方程含有与y 有关的积分因子
y e u =
用y e u =乘原方程的两边得
()()0cos sin sin cos =++-dy x x x y e dx x x x y e y y
令
()y x e x xe x ye y dx x xe x ye u y y y y y ϕϕ+++=+-=⎰sin cos sin )()sin cos ( 所以
()x xe x ye y x e x xe x ye x e y
u y y y y y y cos sin sin cos sin sin +=++++=∂∂ψ 从而
()x e y y sin 2-=ψ
进一步有x e x xe x ye u y y y sin cos sin -+=
原方程的解为C x e x xe x ye y y y =-+sin cos sin。